En física , los grados de libertad ( GDL ) de un sistema mecánico son el número de parámetros independientes que definen su configuración o estado. Es importante en el análisis de sistemas de cuerpos en ingeniería mecánica , ingeniería estructural , ingeniería aeroespacial , robótica y otros campos.
La posición de un solo vagón (locomotora) que se desplaza a lo largo de una vía tiene un grado de libertad porque la posición del vagón está definida por la distancia a lo largo de la vía. Un tren de vagones rígidos conectados por bisagras a una locomotora tiene solamente un grado de libertad porque las posiciones de los vagones detrás de la locomotora están limitadas por la forma de la vía.
Un automóvil con suspensión muy rígida puede considerarse un cuerpo rígido que se desplaza sobre un plano (un espacio plano bidimensional). Este cuerpo tiene tres grados de libertad independientes que consisten en dos componentes de traslación y un ángulo de rotación. El derrape o el derrape son un buen ejemplo de los tres grados de libertad independientes de un automóvil.
La posición y orientación de un cuerpo rígido en el espacio está definida por tres componentes de traslación y tres componentes de rotación , lo que significa que tiene seis grados de libertad.
El método de diseño mecánico con restricción exacta gestiona los grados de libertad para no restringir demasiado ni demasiado el dispositivo. [1]
La posición de un cuerpo rígido n -dimensional se define mediante la transformación rígida , [ T ] = [ A , d ], donde d es una traslación n -dimensional y A es una matriz de rotación n × n , que tiene n grados de libertad de traslación y n ( n − 1)/2 grados de libertad de rotación. El número de grados de libertad de rotación proviene de la dimensión del grupo de rotación SO(n) .
Un cuerpo no rígido o deformable puede considerarse como una colección de muchas partículas diminutas (número infinito de grados de libertad), lo que a menudo se aproxima mediante un sistema de grados de libertad finitos. Cuando el objetivo principal del estudio es el movimiento que implica grandes desplazamientos (por ejemplo, para analizar el movimiento de los satélites), un cuerpo deformable puede aproximarse como un cuerpo rígido (o incluso una partícula) para simplificar el análisis.
El grado de libertad de un sistema puede considerarse como el número mínimo de coordenadas necesarias para especificar una configuración. Aplicando esta definición, tenemos:
Un solo cuerpo rígido tiene como máximo seis grados de libertad (6 DOF) 3T3R que consisten en tres traslaciones 3T y tres rotaciones 3R .
Véase también ángulos de Euler .
Por ejemplo, el movimiento de un barco en el mar tiene los seis grados de libertad de un cuerpo rígido, y se describe como: [2]
Por ejemplo, la trayectoria de un avión en vuelo tiene tres grados de libertad y su actitud a lo largo de la trayectoria tiene tres grados de libertad, para un total de seis grados de libertad.
Las restricciones físicas pueden limitar el número de grados de libertad de un único cuerpo rígido. Por ejemplo, un bloque que se desliza sobre una mesa plana tiene 3 grados de libertad 2T1R que consisten en dos traslaciones 2T y 1 rotación 1R . Un robot de posicionamiento XYZ como SCARA tiene 3 grados de libertad 3T de movilidad inferior.
La fórmula de movilidad cuenta el número de parámetros que definen la configuración de un conjunto de cuerpos rígidos que están restringidos por articulaciones que conectan estos cuerpos. [3] [4]
Consideremos un sistema de n cuerpos rígidos que se mueven en el espacio y que tiene 6 n grados de libertad medidos en relación con un marco fijo. Para contar los grados de libertad de este sistema, incluya el cuerpo fijo en el recuento de cuerpos, de modo que la movilidad sea independiente de la elección del cuerpo que forma el marco fijo. Entonces, el grado de libertad del sistema sin restricciones de N = n + 1 es
porque el cuerpo fijo tiene cero grados de libertad respecto a sí mismo.
Las articulaciones que conectan cuerpos en este sistema eliminan grados de libertad y reducen la movilidad. En concreto, las bisagras y los deslizadores imponen cinco restricciones cada uno y, por tanto, eliminan cinco grados de libertad. Es conveniente definir el número de restricciones c que impone una articulación en términos de la libertad de la articulación f , donde c = 6 − f . En el caso de una bisagra o deslizador, que son articulaciones de un grado de libertad, tienen f = 1 y, por tanto, c = 6 − 1 = 5.
El resultado es que la movilidad de un sistema formado por n eslabones móviles y j articulaciones cada una con libertad f i , i = 1, ..., j, viene dada por
Recordemos que N incluye el enlace fijo.
Existen dos casos especiales importantes: (i) una cadena abierta simple y (ii) una cadena cerrada simple. Una cadena abierta simple consta de n eslabones móviles conectados de extremo a extremo por n juntas, con un extremo conectado a un eslabón de tierra. Por lo tanto, en este caso N = j + 1 y la movilidad de la cadena es
Para una cadena cerrada simple, n eslabones móviles están conectados de extremo a extremo por n + 1 articulaciones de manera que los dos extremos están conectados al eslabón de tierra formando un bucle. En este caso, tenemos N = j y la movilidad de la cadena es
Un ejemplo de una cadena abierta simple es un robot manipulador en serie. Estos sistemas robóticos se construyen a partir de una serie de eslabones conectados por seis articulaciones prismáticas o giratorias de un grado de libertad, por lo que el sistema tiene seis grados de libertad.
Un ejemplo de cadena cerrada simple es el acoplamiento espacial de cuatro barras RSSR. La suma de los grados de libertad de estas uniones es ocho, por lo que la movilidad del acoplamiento es dos, donde uno de los grados de libertad es la rotación del acoplador alrededor de la línea que une las dos uniones en S.
Es una práctica común diseñar el sistema de enlace de modo que el movimiento de todos los cuerpos esté restringido a encontrarse en planos paralelos, para formar lo que se conoce como un enlace plano . También es posible construir el sistema de enlace de modo que todos los cuerpos se muevan en esferas concéntricas, formando un enlace esférico . En ambos casos, los grados de libertad de los enlaces en cada sistema son ahora tres en lugar de seis, y las restricciones impuestas por las articulaciones son ahora c = 3 − f .
En este caso, la fórmula de movilidad viene dada por
y los casos especiales se convierten en
Un ejemplo de una cadena cerrada simple plana es el eslabón plano de cuatro barras , que es un bucle de cuatro barras con cuatro articulaciones de un grado de libertad y, por lo tanto, tiene una movilidad M = 1.
Un sistema con varios cuerpos tendría un grado de libertad combinado que es la suma de los grados de libertad de los cuerpos, menos las restricciones internas que puedan tener sobre el movimiento relativo. Un mecanismo o un mecanismo que contenga varios cuerpos rígidos conectados puede tener más grados de libertad que los de un solo cuerpo rígido. Aquí, el término grados de libertad se utiliza para describir la cantidad de parámetros necesarios para especificar la posición espacial de un mecanismo. También se define en el contexto del espacio de configuración, el espacio de tareas y el espacio de trabajo de un robot.
Un tipo específico de enlace es la cadena cinemática abierta , donde un conjunto de enlaces rígidos están conectados en las articulaciones ; una articulación puede proporcionar un grado de libertad (bisagra/deslizante), o dos (cilíndrica). Tales cadenas ocurren comúnmente en robótica , biomecánica y para satélites y otras estructuras espaciales. Se considera que un brazo humano tiene siete grados de libertad. Un hombro proporciona inclinación, guiñada y balanceo, un codo permite la inclinación y una muñeca permite la inclinación, la guiñada y el balanceo. Solo 3 de esos movimientos serían necesarios para mover la mano a cualquier punto en el espacio, pero las personas carecerían de la capacidad de agarrar cosas desde diferentes ángulos o direcciones. Un robot (u objeto) que tiene mecanismos para controlar los 6 grados de libertad físicos se dice que es holonómico. Un objeto con menos grados de libertad controlables que grados de libertad totales se dice que no es holonómico, y un objeto con más grados de libertad controlables que grados de libertad totales (como el brazo humano) se dice que es redundante. Aunque hay que tener en cuenta que no es redundante en el brazo humano porque los dos grados de libertad; muñeca y hombro, que representan el mismo movimiento; rodar, se abastecen mutuamente ya que no pueden hacer un giro de 360 grados. Los grados de libertad son como los diferentes movimientos que se pueden realizar.
En robótica móvil, un robot tipo automóvil puede alcanzar cualquier posición y orientación en un espacio 2D, por lo que necesita 3 grados de libertad para describir su postura, pero en cualquier punto, solo se puede mover con un movimiento hacia adelante y un ángulo de dirección. Por lo tanto, tiene dos grados de libertad de control y tres grados de libertad de representación; es decir, no es holonómico. Una aeronave de ala fija, con 3 o 4 grados de libertad de control (movimiento hacia adelante, alabeo, cabeceo y, en cierta medida, guiñada) en un espacio 3D, tampoco es holonómica, ya que no puede moverse directamente hacia arriba/abajo o hacia la izquierda/derecha.
Pennestri, Cavacece y Vita han proporcionado un resumen de fórmulas y métodos para calcular los grados de libertad en sistemas mecánicos. [5]
En ingeniería eléctrica, los grados de libertad se utilizan a menudo para describir el número de direcciones en las que una antena de matriz en fase puede formar haces o nulos . Es igual a uno menos que el número de elementos contenidos en la matriz, ya que un elemento se utiliza como referencia contra la cual se puede aplicar una interferencia constructiva o destructiva utilizando cada uno de los elementos de antena restantes. Práctica de radar y práctica de enlace de comunicación, donde la dirección del haz es más frecuente para aplicaciones de radar y la dirección de nulos es más frecuente para la supresión de interferencias en enlaces de comunicación.
