Modelo multicompartimento

Tipo de modelo matemático

Un modelo multicompartimento es un tipo de modelo matemático que se utiliza para describir la forma en que se transmiten materiales o energías entre los compartimentos de un sistema. En ocasiones, el sistema físico que intentamos modelar en ecuaciones es demasiado complejo, por lo que es mucho más fácil discretizar el problema y reducir el número de parámetros. Se supone que cada compartimento es una entidad homogénea dentro de la cual las entidades modeladas son equivalentes. Un modelo multicompartimento se clasifica como modelo de parámetros agrupados . De manera similar a los modelos matemáticos más generales , los modelos multicompartimentales pueden tratar variables como continuas, como una ecuación diferencial , o discretas, como una cadena de Markov . Dependiendo del sistema que se modele, pueden tratarse como estocásticos o deterministas.

Los modelos multicompartimentales se utilizan en muchos campos, incluidos la farmacocinética , la epidemiología , la biomedicina , la teoría de sistemas , la teoría de la complejidad , la ingeniería, la física, las ciencias de la información y las ciencias sociales. Los sistemas de circuitos también pueden verse como un modelo de múltiples compartimentos. Lo más habitual es que las matemáticas de los modelos multicompartimentales se simplifiquen para proporcionar un único parámetro (como la concentración) dentro de un compartimento.

En teoría de sistemas

En teoría de sistemas, implica la descripción de una red cuyos componentes son compartimentos que representan una población de elementos que son equivalentes con respecto a la manera en que procesan las señales de entrada al compartimento.

• Distribución homogénea instantánea de materiales o energías dentro de un "compartimento".
• El tipo de cambio de materiales o energías entre los compartimentos está relacionado con las densidades de estos compartimentos.
• Normalmente, es deseable que los materiales no sufran reacciones químicas mientras se transmiten entre los compartimentos.
• Cuando lo que interesa es la concentración de la célula, normalmente se supone que el volumen es constante en el tiempo, aunque esto puede no ser totalmente cierto en la realidad.

Modelo de un solo compartimento

Posiblemente la aplicación más simple del modelo multicompartimento sea el monitoreo de la concentración de una sola celda (consulte la figura anterior). Si el volumen de una célula es V , la masa de soluto es q , la entrada es u ( t ) y la secreción de la solución es proporcional a la densidad de la misma dentro de la célula, entonces la concentración de la solución C dentro de la célula el tiempo está dado por

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=u(t)-kq}$

${\displaystyle C={\frac {q}{V}}}$

Donde k es la proporcionalidad.

Software

Análisis y modelado de simulación 2 SAAM II es un sistema de software diseñado específicamente para ayudar en el desarrollo y prueba de modelos multicompartimentales. Tiene una interfaz gráfica de usuario fácil de usar en la que se construyen modelos compartimentales creando una representación visual del modelo. A partir de este modelo, el programa crea automáticamente sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. El programa puede simular y ajustar modelos a los datos, generando estimaciones de parámetros óptimas y estadísticas asociadas. Fue desarrollado por científicos que trabajan en el metabolismo y la cinética de las hormonas (p. ej., glucosa, lípidos o insulina). ^[1] Luego se utilizó para estudios de trazadores y farmacocinética. Aunque en principio un modelo multicompartimento puede desarrollarse y ejecutarse a través de otro software, como MATLAB o lenguajes C++, la interfaz de usuario ofrecida por SAAM II permite al modelador (y a los no modeladores) controlar mejor el sistema, especialmente cuando aumenta la complejidad. .

Modelo compartimental discreto

Los modelos discretos se ocupan de variables discretas, a menudo un intervalo de tiempo . Un ejemplo de modelo multicompartimental discreto es una versión discreta del modelo Lotka-Volterra . ^[2] Consideremos aquí dos compartimentos, presa y depredadores, denotados por y respectivamente. Los compartimentos están acoplados entre sí mediante términos de acción de masas en cada ecuación. En un paso de tiempo discreto , obtenemos ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+\alpha x(t)\Delta t-\beta x(t)y(t)\Delta t\\y(t+\Delta t)&=y(t)+\delta x(t)y(t)\Delta t-\gamma y(t)\Delta t.\end{aligned}}}$

Aquí

• los términos y representan el número de esa población en un momento dado ; ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t}$
• el término representa el nacimiento de la presa; ${\displaystyle \alpha x(t)\Delta t}$
• el término de acción masiva es el número de presas que mueren a causa de los depredadores; ${\displaystyle \beta x(t)y(t)\Delta t}$
• el término acción masiva representa el nacimiento de depredadores en función de las presas consumidas; ${\displaystyle \delta x(t)y(t)\Delta t}$
• el término es la muerte de los depredadores; ${\displaystyle \gamma y(t)\Delta t}$
• ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta ,}$y son parámetros de valor real que determinan los pesos de cada término de transición. ${\displaystyle \gamma }$

Estas ecuaciones se resuelven fácilmente de forma iterativa.

Modelo compartimental continuo

El ejemplo discreto de Lotka-Volterra anterior se puede convertir en una versión continua reorganizándolo y tomando el límite como . ${\displaystyle \Delta t\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}\equiv {\frac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy\\&\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}}\equiv {\frac {dy}{dt}}=\delta xy-\gamma y\end{aligned}}}$

Esto produce un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Tratar este modelo como ecuaciones diferenciales permite la implementación de métodos de cálculo para estudiar la dinámica del sistema con mayor profundidad.

Modelo de múltiples compartimentos

A medida que aumenta el número de compartimentos, el modelo puede volverse muy complejo y las soluciones suelen ir más allá de los cálculos ordinarios.

Las fórmulas para los modelos multicompartimentales de n celdas se convierten en:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{1}=q_{1}k_{11}+q_{2}k_{12}+\cdots +q_{n}k_{1n}+u_{1}(t)\\{\dot {q}}_{2}=q_{1}k_{21}+q_{2}k_{22}+\cdots +q_{n}k_{2n}+u_{2}(t)\\\vdots \\{\dot {q}}_{n}=q_{1}k_{n1}+q_{2}k_{n2}+\cdots +q_{n}k_{nn}+u_{n}(t)\end{aligned}}}$

Dónde

${\displaystyle 0=\sum _{i=1}^{n}{k_{ij}}}$para (ya que el 'contenido' total de todos los compartimentos es constante en un sistema cerrado) ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$

O en formas matriciales:

${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} =\mathbf {Kq} +\mathbf {u} }$

Dónde

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\\\end{bmatrix}}\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{1}\\q_{2}\\\vdots \\q_{n}\end{bmatrix}}\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{n}(t)\end{bmatrix}}}$y (dado que el 'contenido' total de todos los compartimentos es constante en un sistema cerrado) ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}$

En el caso especial de un sistema cerrado (ver más abajo), es decir, donde existe una solución general. ${\displaystyle \mathbf {u} =0}$

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

Donde , , ... y son los valores propios de ; , , ... y son los respectivos vectores propios de ; y , , .... y son constantes. ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {v_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {v_{2}} }$ ${\displaystyle \mathbf {v_{n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{n}}$

Sin embargo, se puede demostrar que, dado el requisito anterior para garantizar que los 'contenidos' de un sistema cerrado sean constantes, entonces, para cada par de valores propios y vectores propios , entonces o y también ese valor propio es 0, digamos ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v} =0}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$

Entonces

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

Dónde

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v_{i}} =0}$para ${\displaystyle \mathbf {i} =2,3,\dots n}$

Esta solución se puede reorganizar:

${\displaystyle \mathbf {q} ={\Bigg [}\mathbf {v_{1}} {\begin{bmatrix}c_{1}&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\mathbf {v_{2}} {\begin{bmatrix}0&c_{2}&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\dots +\mathbf {v_{n}} {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &c_{n}\\\end{bmatrix}}{\Bigg ]}{\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}}$

Esta ecuación algo poco elegante demuestra que todas las soluciones de un modelo multicompartimental de n celdas con entradas constantes o sin entradas son de la forma:

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {A} {\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}}$

Donde es una matriz nxn y , , ... y son constantes. Dónde ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}$

Topologías de modelos

En términos generales, a medida que aumenta el número de compartimentos, resulta difícil encontrar las soluciones algebraicas y numéricas del modelo. Sin embargo, hay casos especiales de modelos, que rara vez existen en la naturaleza, cuando las topologías exhiben ciertas regularidades que hacen que las soluciones sean más fáciles de encontrar. El modelo se puede clasificar según la interconexión de celdas y las características de entrada/salida:

1. Modelo cerrado : Sin lavabos ni fuente, iluminado. todos k _oi = 0 y u _i = 0;
2. Modelo abierto : Hay sumideros y/o fuentes entre celdas.
3. Modelo de catenaria : todos los compartimentos están dispuestos en cadena, y cada piscina se conecta únicamente con sus vecinas. Este modelo tiene dos o más celdas.
4. Modelo cíclico : Es un caso especial del modelo catenario, con tres o más celdas, en el que la primera y la última celda están conectadas, es decir k _{1 n} ≠ 0 o/y k _{n 1} ≠ 0.
5. Modelo mamilar : Consta de un compartimento central con compartimentos periféricos conectados a él. No existen interconexiones entre otros compartimentos.
6. Modelo reducible : Es un conjunto de modelos no conectados. Tiene un gran parecido con el concepto informático de bosque frente a árboles .

Ver también

• Modelo matemático
• Ingeniería Biomédica
• Modelos de neuronas biológicas.
• Modelos compartimentales en epidemiología.
• Modelado farmacocinético con base fisiológica.

Referencias

1. Cobelli, Claudio; Fomentar, David (1998). "Modelos compartimentales: teoría y práctica utilizando el sistema software SAAM II". Adv Exp Med Biol (445): 79-101. doi :10.1007/978-1-4899-1959-5_5.
2. Torres, Jerez. "Introducción al modelado compartimental | Polymatheia" . Consultado el 20 de marzo de 2022 .

• Godfrey, K., Modelos compartimentales y su aplicación , Academic Press, 1983 ( ISBN 0-12-286970-2 ). 
• Anderson, DH, Modelado compartimental y cinética de trazadores , Springer-Verlag Lecture Notes in Biomatematics #50, 1983 ( ISBN 0-387-12303-2 ). 
• Jacquez, J. A, Análisis compartimental en biología y medicina , 2ª ed., The University of Michigan Press, 1985.
• Evans, WC, Sistemas lineales, modelado compartimental y cuestiones de estimabilidad en estudios de calidad del aire interior, en Tichenor, B., Caracterización de fuentes de contaminación del aire interior y efectos de sumidero relacionados , ASTM STP 1287, págs. 239–262, 1996 ( ISBN 0-8031 -2030-3 ).