modelo grafico

modelo probabilístico

Un modelo gráfico o modelo gráfico probabilístico ( PGM ) o modelo probabilístico estructurado es un modelo probabilístico para el cual un gráfico expresa la estructura de dependencia condicional entre variables aleatorias . Se utilizan comúnmente en teoría de la probabilidad , estadística (particularmente estadística bayesiana ) y aprendizaje automático .

Tipos de modelos gráficos

Generalmente, los modelos gráficos probabilísticos utilizan una representación basada en gráficos como base para codificar una distribución en un espacio multidimensional y un gráfico que es una representación compacta o factorizada de un conjunto de independencias que se cumplen en la distribución específica. Se utilizan comúnmente dos ramas de representaciones gráficas de distribuciones, a saber, redes bayesianas y campos aleatorios de Markov . Ambas familias abarcan las propiedades de factorización e independencias, pero difieren en el conjunto de independencias que pueden codificar y la factorización de la distribución que inducen. ^[1]

Modelo gráfico no dirigido

Un gráfico no dirigido con cuatro vértices.

El gráfico no dirigido que se muestra puede tener una de varias interpretaciones; la característica común es que la presencia de una arista implica algún tipo de dependencia entre las variables aleatorias correspondientes. De este gráfico podríamos deducir que todos son mutuamente independientes, una vez que se conoce, o (de manera equivalente en este caso) que ${\displaystyle B,C,D}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P[A,B,C,D]=f_{AB}[A,B]\cdot f_{AC}[A,C]\cdot f_{AD}[A,D]}$

para algunas funciones no negativas . ${\displaystyle f_{AB},f_{AC},f_{AD}}$

red bayesiana

Ejemplo de gráfico acíclico dirigido sobre cuatro vértices.

Si la estructura de red del modelo es un gráfico acíclico dirigido , el modelo representa una factorización de la probabilidad conjunta de todas las variables aleatorias. Más precisamente, si los eventos son entonces la probabilidad conjunta satisface ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle P[X_{1},\ldots ,X_{n}]=\prod _{i=1}^{n}P[X_{i}|{\text{pa}}(X_{i})]}$

donde está el conjunto de padres del nodo (nodos con aristas dirigidas hacia ). En otras palabras, la distribución conjunta se factoriza en un producto de distribuciones condicionales. Por ejemplo, en el gráfico acíclico dirigido que se muestra en la figura, esta factorización sería ${\displaystyle {\text{pa}}(X_{i})}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle P[A,B,C,D]=P[A]\cdot P[B|A]\cdot P[C|A]\cdot P[D|A,C]}$.

Dos nodos cualesquiera son condicionalmente independientes dados los valores de sus padres. En general, dos conjuntos cualesquiera de nodos son condicionalmente independientes dado un tercer conjunto si se cumple un criterio llamado d -separación en el gráfico. Las independencias locales y las independencias globales son equivalentes en las redes bayesianas.

Este tipo de modelo gráfico se conoce como modelo gráfico dirigido, red bayesiana o red de creencias. Los modelos clásicos de aprendizaje automático, como los modelos ocultos de Markov , las redes neuronales y los modelos más nuevos, como los modelos de Markov de orden variable, pueden considerarse casos especiales de redes bayesianas.

Una de las redes bayesianas más simples es el clasificador Naive Bayes .

Modelos gráficos dirigidos cíclicamente

Un ejemplo de un modelo gráfico cíclico dirigido. Cada flecha indica una dependencia. En este ejemplo: D depende de A, B y C; y C depende de B y D; mientras que A y B son independientes.

La siguiente figura muestra un modelo gráfico con un ciclo. Esto puede interpretarse en términos de que cada variable "depende" de alguna manera de los valores de sus padres. El gráfico particular que se muestra sugiere una densidad de probabilidad conjunta que se factoriza como

${\displaystyle P[A,B,C,D]=P[A]\cdot P[B]\cdot P[C,D|A,B]}$,

pero otras interpretaciones son posibles. ^[2]

Otros tipos

• Red de dependencia donde se permiten ciclos
• Clasificador aumentado por árbol o modelo TAN

Modelo TAN para "conjunto de datos de corral".

• Aprendizaje en red bayesiano dirigido (TBNL)

  

  Modelo TBNL para "conjunto de datos de corral"

• Un gráfico de factores es un gráfico bipartito no dirigido que conecta variables y factores. Cada factor representa una función sobre las variables a las que está conectado. Esta es una representación útil para comprender e implementar la propagación de creencias .
• Un árbol de camarillas o árbol de unión es un árbol de camarillas , utilizado en el algoritmo del árbol de unión .
• Un gráfico en cadena es un gráfico que puede tener aristas dirigidas y no dirigidas, pero sin ciclos dirigidos (es decir, si comenzamos en cualquier vértice y nos movemos a lo largo del gráfico respetando las direcciones de cualquier flecha, no podemos regresar al vértice desde el que comenzamos si hemos pasado una flecha). Tanto los gráficos acíclicos dirigidos como los no dirigidos son casos especiales de gráficos en cadena, que por lo tanto pueden proporcionar una forma de unificar y generalizar las redes bayesianas y de Markov. ^[3]
• Un gráfico ancestral es una extensión adicional, que tiene aristas dirigidas, bidireccionales y no dirigidas. ^[4]
• Técnicas de campo aleatorio
  • Un campo aleatorio de Markov , también conocido como red de Markov, es un modelo sobre un gráfico no dirigido . Un modelo gráfico con muchas subunidades repetidas se puede representar con notación de placas .
  • Un campo aleatorio condicional es un modelo discriminativo especificado sobre un gráfico no dirigido.
• Una máquina de Boltzmann restringida es un modelo generativo bipartito especificado sobre un gráfico no dirigido.

Aplicaciones

El marco de los modelos, que proporciona algoritmos para descubrir y analizar estructuras en distribuciones complejas para describirlas de manera sucinta y extraer la información no estructurada, permite construirlos y utilizarlos de manera efectiva. ^[1] Las aplicaciones de los modelos gráficos incluyen inferencia causal , extracción de información , reconocimiento de voz , visión por computadora , decodificación de códigos de verificación de paridad de baja densidad , modelado de redes reguladoras de genes , búsqueda de genes y diagnóstico de enfermedades, y modelos gráficos para la estructura de proteínas .

Ver también

• Propagación de la creencia
• Modelo de ecuación estructural

Notas

1. Koller, D .; Friedman, N. (2009). Modelos gráficos probabilísticos. Massachusetts: MIT Press. pag. 1208.ISBN​ 978-0-262-01319-2. Archivado desde el original el 27 de abril de 2014.
2. Richardson, Thomas (1996). "Un algoritmo de descubrimiento para gráficos cíclicos dirigidos". Actas de la Duodécima Conferencia sobre la incertidumbre en la inteligencia artificial . ISBN 978-1-55860-412-4.
3. Frydenberg, Morten (1990). "La propiedad de Markov del gráfico de cadenas". Revista escandinava de estadística . 17 (4): 333–353. JSTOR  4616181. SEÑOR  1096723.
4. Richardson, Thomas; Espíritus, Peter (2002). "Modelos de Markov de gráficos ancestrales". Anales de Estadística . 30 (4): 962–1030. CiteSeerX 10.1.1.33.4906 . doi :10.1214/aos/1031689015. SEÑOR  1926166. Zbl  1033.60008. 

Otras lecturas

Libros y capítulos de libros.

• Barbero, David (2012). Razonamiento bayesiano y aprendizaje automático . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-51814-7.

• Obispo, Christopher M. (2006). «Capítulo 8. Modelos gráficos» (PDF) . Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático. Saltador. págs. 359–422. ISBN 978-0-387-31073-2. SEÑOR  2247587.
• Cowell, Robert G.; David, A. Felipe ; Lauritzen, Steffen L.; Spiegelhalter, David J. (1999). Redes probabilísticas y sistemas expertos . Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-98767-5. SEÑOR  1697175.Un libro más avanzado y orientado estadísticamente.
• Jensen, finlandés (1996). Una introducción a las redes bayesianas . Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-91502-9.
• Perla, Judea (1988). Razonamiento probabilístico en sistemas inteligentes (2ª edición revisada). San Mateo, California: Morgan Kaufmann . ISBN 978-1-55860-479-7. SEÑOR  0965765.Un enfoque de razonamiento computacional, donde se introdujeron formalmente las relaciones entre gráficas y probabilidades.

artículos periodísticos

• Edoardo M. Airoldi (2007). "Introducción a los modelos gráficos probabilísticos". PLOS Biología Computacional . 3 (12): e252. arXiv : 0706.2040 . Código Bib : 2007PLSCB...3..252A. doi : 10.1371/journal.pcbi.0030252 . PMC  2134967 . PMID  18069887.
• Jordania, MI (2004). "Modelos gráficos". Ciencia estadística . 19 : 140-155. doi : 10.1214/088342304000000026 .
• Ghahramani, Zoubin (mayo de 2015). "Aprendizaje automático probabilístico e inteligencia artificial". Naturaleza . 521 (7553): 452–459. Código Bib :2015Natur.521..452G. doi : 10.1038/naturaleza14541 . PMID  26017444. S2CID  216356.

Otro

• Tutorial de aprendizaje de red Bayes de Heckerman
• Una breve introducción a los modelos gráficos y las redes bayesianas
• La conferencia de Sargur Srihari se desliza sobre modelos gráficos probabilísticos

enlaces externos

• Modelos gráficos y campos aleatorios condicionales
• Modelos gráficos probabilísticos impartidos por Eric Xing en CMU