Dependencia condicional

Una red bayesiana que ilustra la dependencia condicional

En teoría de probabilidad , la dependencia condicional es una relación entre dos o más eventos que son dependientes cuando ocurre un tercer evento. ^{[1] [2]} Por ejemplo, si y son dos eventos que individualmente aumentan la probabilidad de un tercer evento y no se afectan directamente entre sí, entonces inicialmente (cuando no se ha observado si el evento ocurre o no) ^{[3] [4]} ( son independientes). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {P} (B\mid A)=\operatorname {P} (B)}$$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B}$

Pero supongamos que ahora se observa que ocurre. Si el evento ocurre, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento disminuirá porque su relación positiva con es menos necesaria como explicación de la ocurrencia de (de manera similar, la ocurrencia del evento disminuirá la probabilidad de ocurrencia de ). Por lo tanto, ahora los dos eventos y son condicionalmente dependientes negativamente entre sí porque la probabilidad de ocurrencia de cada uno depende negativamente de si el otro ocurre. Tenemos ^[5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)<\operatorname {P} (A\mid C).}$$

La dependencia condicional de A y B dado C es la negación lógica de la independencia condicional . ^[6] En la independencia condicional, dos eventos (que pueden ser dependientes o no) se vuelven independientes dada la ocurrencia de un tercer evento. ^[7] ${\displaystyle ((A\perp \!\!\!\perp B)\mid C)}$

Ejemplo

En esencia , la probabilidad está influida por la información que una persona tiene sobre la posible ocurrencia de un evento. Por ejemplo, supongamos que el evento es “tengo un teléfono nuevo”, el evento es “tengo un reloj nuevo” y el evento es “soy feliz”; y supongamos que tener un teléfono nuevo o un reloj nuevo aumenta la probabilidad de que yo sea feliz. Supongamos que el evento ha ocurrido, es decir, “soy feliz”. Ahora bien, si otra persona ve mi reloj nuevo, razonará que mi probabilidad de ser feliz aumentó gracias a mi nuevo reloj, por lo que hay menos necesidad de atribuir mi felicidad a un teléfono nuevo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Para hacer el ejemplo más específico numéricamente, supongamos que hay cuatro estados posibles dados en las cuatro columnas del medio de la siguiente tabla, en la que la ocurrencia del evento está significada por un en la fila y su no ocurrencia está significada por un y lo mismo para y Es decir, y La probabilidad de es para cada ${\displaystyle \Omega =\left\{s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\right\},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle A=\left\{s_{2},s_{4}\right\},B=\left\{s_{3},s_{4}\right\},}$ ${\displaystyle C=\left\{s_{2},s_{3},s_{4}\right\}.}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle i.}$

y entonces

En este ejemplo, ocurre si y solo si ocurre al menos uno de . Incondicionalmente (es decir, sin referencia a ), y son independientes entre sí porque —la suma de las probabilidades asociadas con un en la fila —es mientras Pero condicional a que haya ocurrido (las últimas tres columnas de la tabla), tenemos mientras Dado que en presencia de la probabilidad de se ve afectada por la presencia o ausencia de y son mutuamente dependientes condicional a ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (A)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}=\operatorname {P} (A).}$$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C)/\operatorname {P} (C)={\tfrac {1/2}{3/4}}={\tfrac {2}{3}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (C{\text{ and }}B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}<\operatorname {P} (A\mid C).}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C.}$

Véase también

• Independencia condicional  – Concepto de teoría de la probabilidad
• Teorema de De Finetti  – Independencia condicional de observaciones intercambiables
• Expectativa condicional  : valor esperado de una variable aleatoria dado que se sabe que ocurren ciertas condiciones

Referencias

1. Introducción a la Inteligencia Artificial por Sebastian Thrun y Peter Norvig, 2011 "Unidad 3: Dependencia condicional" ^{[ enlace muerto permanente ]}
2. Introducción al aprendizaje de redes bayesianas a partir de datos por Dirk Husmeier [1] ^{[ enlace muerto permanente ]} "Introducción al aprendizaje de redes bayesianas a partir de datos -Dirk Husmeier"
3. Independencia condicional en la teoría estadística "Independencia condicional en la teoría estadística", AP Dawid" Archivado el 27 de diciembre de 2013 en Wayback Machine.
4. Independencia probabilística en Britannica "Probabilidad->Aplicaciones de la probabilidad condicional->independencia (ecuación 7)"
5. Introducción a la Inteligencia Artificial por Sebastian Thrun y Peter Norvig, 2011 "Unidad 3: Explicando" ^{[ enlace muerto permanente ]}
6. Bouckaert, Remco R. (1994). "11. Dependencia condicional en redes probabilísticas". En Cheeseman, P.; Oldford, RW (eds.). Selección de modelos a partir de datos, Inteligencia artificial y estadística IV . Apuntes de clase sobre estadística. Vol. 89. Springer-Verlag . págs. 101–111, especialmente 104. ISBN. 978-0-387-94281-0.
7. Independencia condicional en la teoría estadística "Independencia condicional en la teoría estadística", AP Dawid Archivado el 27 de diciembre de 2013 en Wayback Machine.