En la teoría de la probabilidad , el teorema de De Finetti establece que las observaciones intercambiables son condicionalmente independientes en relación con alguna variable latente . Luego se podría asignar una distribución de probabilidad epistémica a esta variable. Lleva el nombre en honor a Bruno de Finetti .
Para el caso especial de una secuencia intercambiable de variables aleatorias de Bernoulli , se afirma que dicha secuencia es una " mezcla " de secuencias de variables aleatorias de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas (iid).
Una secuencia de variables aleatorias se llama intercambiable si la distribución conjunta de la secuencia no cambia por ninguna permutación de los índices. Si bien las variables de la secuencia intercambiable no son independientes en sí mismas , sólo intercambiables, existe una familia subyacente de variables aleatorias iid. Es decir, hay cantidades subyacentes, generalmente no observables, que son iid; las secuencias intercambiables son mezclas de secuencias iid.
Un estadístico bayesiano a menudo busca la distribución de probabilidad condicional de una cantidad aleatoria dados los datos. El concepto de intercambiabilidad fue introducido por De Finetti. El teorema de De Finetti explica una relación matemática entre independencia e intercambiabilidad. [1]
Una secuencia infinita
de variables aleatorias se dice que es intercambiable si para cualquier número natural n y cualquier secuencia finita i 1 , ..., i n y cualquier permutación de la secuencia π:{ i 1 , ..., i n } → { i 1 , ..., en } ,
ambos tienen la misma distribución de probabilidad conjunta .
Si una secuencia distribuida idénticamente es independiente , entonces la secuencia es intercambiable; sin embargo, lo contrario es falso: existen variables aleatorias intercambiables que no son estadísticamente independientes, por ejemplo, el modelo de urna de Pólya .
Una variable aleatoria X tiene una distribución de Bernoulli si Pr( X = 1) = p y Pr( X = 0) = 1 − p para algún p ∈ (0, 1).
El teorema de De Finetti establece que la distribución de probabilidad de cualquier secuencia infinita intercambiable de variables aleatorias de Bernoulli es una " mezcla " de las distribuciones de probabilidad de secuencias independientes e idénticamente distribuidas de variables aleatorias de Bernoulli. "Mezcla", en este sentido, significa un promedio ponderado, pero esto no tiene por qué significar un promedio ponderado finito o contablemente infinito (es decir, discreto): puede ser una integral sobre una medida en lugar de una suma.
Más precisamente, supongamos que X 1 , X 2 , X 3 , ... es una secuencia infinita intercambiable de variables aleatorias distribuidas por Bernoulli. Entonces hay alguna medida de probabilidad m en el intervalo [0, 1] y alguna variable aleatoria Y tal que
Supongamos que es una secuencia infinita intercambiable de variables aleatorias de Bernoulli. Entonces son condicionalmente independientes y están distribuidos idénticamente dada la sigma-álgebra intercambiable (es decir, la sigma-álgebra que consta de eventos que son mensurables con respecto a e invariantes bajo permutaciones finitas de los índices).
He aquí un ejemplo concreto. Construimos una secuencia
de variables aleatorias, "mezclando" dos secuencias iid de la siguiente manera.
Suponemos p = 2/3 con probabilidad 1/2 y p = 9/10 con probabilidad 1/2. Dado el evento p = 2/3, la distribución condicional de la secuencia es que los X i son independientes y están distribuidos idénticamente y X 1 = 1 con probabilidad 2/3 y X 1 = 0 con probabilidad 1 − 2/3. Dado el evento p = 9/10, la distribución condicional de la secuencia es que los X i son independientes y están distribuidos idénticamente y X 1 = 1 con probabilidad 9/10 y X 1 = 0 con probabilidad 1 − 9/10.
Esto se puede interpretar de la siguiente manera: haga dos monedas sesgadas, una que muestre "cara" con una probabilidad de 2/3 y otra que muestre "cara" con una probabilidad de 9/10. Lanza una moneda justa una vez para decidir qué moneda sesgada usar en todos los lanzamientos que se registren. Aquí "cara" en el giro i significa X i =1.
La independencia afirmada aquí es independencia condicional , es decir, las variables aleatorias de Bernoulli en la secuencia son condicionalmente independientes dado el evento de que p = 2/3, y son condicionalmente independientes dado el evento de que p = 9/10. Pero no son incondicionalmente independientes; están correlacionados positivamente .
En vista de la ley fuerte de los grandes números , podemos decir que
En lugar de concentrar la probabilidad 1/2 en cada uno de los dos puntos entre 0 y 1, la "distribución mixta" puede ser cualquier distribución de probabilidad soportada en el intervalo de 0 a 1; cuál es depende de la distribución conjunta de la secuencia infinita de variables aleatorias de Bernoulli.
La definición de intercambiabilidad y el enunciado del teorema también tienen sentido para secuencias de longitud finita.
pero el teorema no es generalmente cierto en ese caso. Es cierto si la secuencia se puede extender a una secuencia intercambiable que sea infinitamente larga. El ejemplo más simple de una secuencia intercambiable de variables aleatorias de Bernoulli que no puede extenderse de esa manera es aquella en la que X 1 = 1 − X 2 y X 1 es 0 o 1, cada uno con probabilidad 1/2. Esta secuencia es intercambiable, pero no se puede extender a una secuencia intercambiable de longitud 3, y mucho menos a una secuencia infinitamente larga.
Diaconis y Freedman y Kerns y Szekely han demostrado versiones del teorema de De Finetti para secuencias intercambiables finitas , [2] [3] y para secuencias intercambiables de Markov [4] . Dos nociones de intercambiabilidad parcial de matrices, conocidas como intercambiabilidad separada y conjunta , llevaron a extensiones del teorema de De Finetti para matrices por parte de Aldous y Hoover. [5]
El teorema computable de Finetti muestra que si un programa de computadora proporciona una secuencia intercambiable de variables aleatorias reales, entonces se puede recuperar automáticamente un programa que tome muestras de la medida de mezcla. [6]
En el contexto de la probabilidad libre , existe una extensión no conmutativa del teorema de De Finetti que caracteriza secuencias no conmutativas invariantes bajo permutaciones cuánticas. [7]
Se ha descubierto que las extensiones del teorema de De Finetti a los estados cuánticos son útiles en información cuántica , [8] [9] [10] en temas como la distribución de claves cuánticas [11] y la detección de entrelazamientos . [12] Se puede utilizar una extensión multivariada del teorema de De Finetti para derivar estadísticas de Bose-Einstein a partir de las estadísticas de partículas clásicas (es decir, independientes). [13]
