Ley de Hewitt-Savage cero-uno

La ley cero-uno de Hewitt-Savage es un teorema de la teoría de la probabilidad , similar a la ley cero-uno de Kolmogorov y al lema de Borel-Cantelli , que especifica que un cierto tipo de evento ocurrirá casi con seguridad o no sucederá. A veces se la conoce como ley de Savage-Hewitt para eventos simétricos . Lleva el nombre de Edwin Hewitt y Leonard Jimmie Savage . ^[1]

Declaración de la ley cero uno de Hewitt-Savage

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes y distribuidas idénticamente que toman valores en un conjunto . La ley cero-uno de Hewitt-Savage dice que cualquier evento cuya ocurrencia o no ocurrencia esté determinada por los valores de estas variables aleatorias y cuya ocurrencia o no ocurrencia no cambie por permutaciones finitas de los índices, tiene probabilidad 0 o 1 ( una permutación "finita" es aquella que deja fijos todos los índices excepto un número finito). ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {X} }$

De manera algo más abstracta, defina el álgebra sigma intercambiable o el álgebra sigma de eventos simétricos como el conjunto de eventos (dependiendo de la secuencia de variables ) que son invariantes bajo permutaciones finitas de los índices en la secuencia . Entonces . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {E}}\implies \mathbb {P} (A)\in \{0,1\}}$

Dado que cualquier permutación finita puede escribirse como un producto de transposiciones , si queremos comprobar si un evento es simétrico o no (está en ), basta con comprobar si su ocurrencia no cambia mediante una transposición arbitraria ,. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }$

Ejemplos

Ejemplo 1

Deje que la secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tome valores en . Entonces, el evento de que la serie converge (a un valor finito) es un evento simétrico en , ya que su ocurrencia no cambia bajo transposiciones (para un reordenamiento finito, la convergencia o divergencia de la serie y, de hecho, el valor numérico de la suma misma es independiente del orden en que sumamos los términos). Por lo tanto, la serie converge casi con seguridad o diverge con casi seguridad. Si asumimos además que el valor esperado común (lo que esencialmente significa que debido a la no negatividad de las variables aleatorias), podemos concluir que ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{n}]>0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{n}=0)<1}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}=+\infty \right)=1,}$

es decir, la serie diverge casi con seguridad. Ésta es una aplicación particularmente sencilla de la ley cero uno de Hewitt-Savage. En muchas situaciones, puede ser fácil aplicar la ley cero-uno de Hewitt-Savage para demostrar que algún evento tiene probabilidad 0 o 1, pero sorprendentemente difícil determinar cuál de estos dos valores extremos es el correcto.

Ejemplo 2

Siguiendo con el ejemplo anterior, defina

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n},}$

que es la posición en el paso N de un paseo aleatorio con los incrementos de iid X _n . El evento {  S _N  = 0 infinitamente frecuente } es invariante bajo permutaciones finitas. Por lo tanto, la ley cero-uno es aplicable y se infiere que la probabilidad de que un paseo aleatorio con incrementos de iid reales visite el origen infinitamente a menudo es uno o cero. Visitar el origen infinitamente a menudo es un evento de cola con respecto a la secuencia ( S _N ), pero S _N no son independientes y, por lo tanto, la ley cero-uno de Kolmogorov no es directamente aplicable aquí. ^[2]

Referencias

1. Hewitt, E .; Salvaje, LJ (1955). "Medidas simétricas sobre productos cartesianos". Trans. América. Matemáticas. Soc . 80 : 470–501. doi : 10.1090/s0002-9947-1955-0076206-8 .
2. Este ejemplo es de Shiryaev, A. (1996). Teoría de la probabilidad (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 381–82.