Un modelo numérico del Sistema Solar es un conjunto de ecuaciones matemáticas que, una vez resueltas, dan las posiciones aproximadas de los planetas en función del tiempo. Los intentos de crear tal modelo establecieron el campo más general de la mecánica celeste . Los resultados de esta simulación se pueden comparar con mediciones anteriores para verificar la precisión y luego usarse para predecir posiciones futuras. Por tanto, su uso principal es en la preparación de almanaques.
Las simulaciones se pueden realizar en coordenadas cartesianas o esféricas . Los primeros son más fáciles, pero requieren muchos cálculos y sólo son prácticos en una computadora electrónica. Por lo tanto, en el pasado sólo se utilizaba este último. Estrictamente hablando, este último no requería mucho menos cálculo, pero era posible comenzar con algunas aproximaciones simples y luego agregar perturbaciones , tantas como fuera necesario para alcanzar la precisión deseada.
En esencia, esta simulación matemática del Sistema Solar es una forma del problema de N cuerpos . El símbolo N representa el número de cuerpos, que puede crecer bastante si se incluye el Sol, 8 planetas, docenas de lunas e innumerables planetoides, cometas, etc. Sin embargo, la influencia del Sol sobre cualquier otro cuerpo es tan grande, y la influencia de todos los demás cuerpos entre sí tan pequeña, que el problema puede reducirse al problema de dos cuerpos analíticamente solucionable. El resultado para cada planeta es una órbita, una descripción simple de su posición en función del tiempo. Una vez resuelto esto, se añaden como pequeñas correcciones las influencias que las lunas y los planetas tienen entre sí. Son pequeños en comparación con una órbita planetaria completa. Algunas correcciones pueden ser todavía de varios grados, mientras que las mediciones se pueden realizar con una precisión superior a 1 ″.
Aunque este método ya no se utiliza para simulaciones, sigue siendo útil para encontrar una efeméride aproximada , ya que se puede tomar la solución principal relativamente simple, tal vez agregar algunas de las perturbaciones más grandes y llegar sin demasiado esfuerzo a la posición planetaria deseada. La desventaja es que la teoría de la perturbación es una matemática muy avanzada.
El método moderno consiste en la integración numérica en un espacio tridimensional. Se comienza con un valor de alta precisión para la posición ( x , y , z ) y la velocidad ( v x , v y , v z ) para cada uno de los cuerpos involucrados. Cuando también se conoce la masa de cada cuerpo, la aceleración ( a x , a y , a z ) se puede calcular a partir de la Ley de Gravitación de Newton . Cada cuerpo se atrae entre sí, siendo la aceleración total la suma de todas estas atracciones. El siguiente elige un pequeño paso de tiempo Δ t y aplica la Segunda Ley del Movimiento de Newton . La aceleración multiplicada por Δ t da una corrección a la velocidad. La velocidad multiplicada por Δ t da una corrección a la posición. Este procedimiento se repite para todos los demás cuerpos.
El resultado es un nuevo valor de posición y velocidad para todos los cuerpos. Luego, utilizando estos nuevos valores se comienza de nuevo el cálculo completo para el siguiente paso de tiempo Δ t . Si se repite este procedimiento con bastante frecuencia, se obtiene una descripción de las posiciones de todos los cuerpos a lo largo del tiempo.
La ventaja de este método es que para un ordenador es un trabajo muy fácil de realizar y produce resultados muy precisos para todos los cuerpos al mismo tiempo, eliminando los complejos y difíciles procedimientos para determinar las perturbaciones. La desventaja es que, en primer lugar, hay que empezar con cifras muy precisas, o los resultados se alejarán de la realidad con el tiempo; que se obtienen posiciones x , y , z que a menudo son las primeras en transformarse en coordenadas eclípticas o ecuatoriales más prácticas antes de poder usarse; y que es un enfoque de todo o nada. Si se quiere conocer la posición de un planeta en un momento determinado, entonces se deben calcular también todos los demás planetas y todos los pasos de tiempo intermedios.
En la sección anterior se supuso que la aceleración permanece constante durante un pequeño intervalo de tiempo Δt, de modo que el cálculo se reduce a simplemente la suma de V × Δt a R y así sucesivamente. En realidad, este no es el caso, excepto cuando se toma Δt tan pequeño que el número de pasos a dar sería prohibitivamente alto. Porque mientras que en cualquier momento la posición cambia por la aceleración, el valor de la aceleración está determinado por la posición instantánea. Evidentemente se necesita una integración total.
Hay varios métodos disponibles. Primero observe las ecuaciones necesarias:
Esta ecuación describe la aceleración que todos los cuerpos i que van desde 1 a N ejercen sobre un cuerpo j en particular . Es una ecuación vectorial, por lo que se debe dividir en 3 ecuaciones para cada uno de los componentes X, Y, Z, obteniendo:
con las relaciones adicionales
,
lo mismo para Y y Z.
La primera ecuación (gravitación) puede parecer premonitoria, pero su cálculo no supone ningún problema. Las últimas ecuaciones (leyes del movimiento) parecen más simples, pero aún así no se pueden calcular. Las computadoras no pueden integrar, no pueden trabajar con valores infinitesimales, por eso en lugar de dt usamos Δt y llevamos la variable resultante a la izquierda:
, y:
Recuerde que a sigue siendo una función del tiempo. La forma más sencilla de resolverlos es simplemente el algoritmo de Euler , que en esencia es la suma lineal descrita anteriormente. Limitándonos a 1 dimensión solo en algún lenguaje informático general:
a.old = función de gravitación (x.old)x.nuevo = x.antiguo + v.antiguo * dtv.nuevo = v.viejo + a.viejo * dt
Como en esencia la aceleración utilizada durante todo el paso de tiempo es la misma que estaba al principio del paso de tiempo, este método simple no tiene una alta precisión. Se logran resultados mucho mejores tomando una aceleración media, el promedio entre el valor inicial y el valor final esperado (sin perturbaciones):
a.old = función de gravitación (x.old)x.esperar = x.antiguo + v.antiguo * dta.esperar = función de gravitación (x.esperar)v.nuevo = v.antiguo + (a.antiguo + a.esperado) * 0,5 * dtx.nuevo = x.antiguo + (v.nuevo + v.antiguo) * 0,5 * dt
Por supuesto, se pueden esperar resultados aún mejores si se toman valores intermedios. Esto es lo que sucede cuando se utiliza el método Runge-Kutta , especialmente los de grado 4 o 5 son los más útiles. El método más común utilizado es el método de salto debido a su buena conservación de energía a largo plazo.
Un método completamente diferente es el uso de series de Taylor . En ese caso escribimos:
pero en lugar de desarrollar hasta alguna derivada superior sólo en r, se puede desarrollar en r y v (es decir, r') escribiendo y luego escribiendo los factores f y g en una serie.
Para calcular las aceleraciones se debe tener en cuenta la atracción gravitacional de cada cuerpo sobre otro. Como consecuencia, la cantidad de cálculo en la simulación aumenta con el cuadrado del número de cuerpos: duplicar el número de cuerpos aumenta el trabajo en un factor cuatro. Para aumentar la precisión de la simulación no sólo se deben tomar más decimales sino también pasos de tiempo más pequeños, lo que nuevamente aumenta rápidamente la cantidad de trabajo. Evidentemente hay que aplicar trucos para reducir la cantidad de trabajo. Algunos de estos trucos se dan aquí.
Con diferencia, el truco más importante es el uso de un método de integración adecuado, como ya se describió anteriormente.
La elección de las unidades es importante. En lugar de trabajar en unidades SI , lo que haría que algunos valores fueran extremadamente pequeños y otros extremadamente grandes, todas las unidades deben escalarse de modo que estén en la vecindad de 1. Por ejemplo, para distancias en el Sistema Solar, la unidad astronómica es más directo. Si no se hace esto, es casi seguro que se abandonará una simulación en medio de un cálculo sobre un desbordamiento o un desbordamiento de coma flotante , y si no es tan malo, es probable que se pierda la precisión debido a errores de truncamiento .
Si N es grande (no tanto en simulaciones del Sistema Solar, pero sí más en simulaciones de galaxias) es habitual crear grupos dinámicos de cuerpos. Todos los cuerpos en una dirección particular y a una gran distancia del cuerpo de referencia, que se está calculando en ese momento, se toman juntos y su atracción gravitacional se promedia en todo el grupo.
La cantidad total de energía y momento angular de un sistema cerrado son cantidades conservadas. Al calcular estas cantidades después de cada paso de tiempo, la simulación se puede programar para aumentar el tamaño del paso Δt si no cambian significativamente y para reducirlo si comienzan a hacerlo. También es posible combinar los cuerpos en grupos como en el caso anterior y aplicar pasos de tiempo más grandes y, por tanto, menos tiempos en los cuerpos lejanos que en los más cercanos.
Para permitir un cambio excesivamente rápido de la aceleración cuando un cuerpo particular está cerca del cuerpo de referencia, se acostumbra introducir un pequeño parámetro e de modo que
Si se necesita la mayor precisión posible, los cálculos se vuelven mucho más complejos. En el caso de los cometas, se deben tener en cuenta las fuerzas no gravitacionales, como la presión de la radiación y el arrastre del gas. En el caso de Mercurio y otros planetas para cálculos a largo plazo, no se pueden ignorar los efectos relativistas. Entonces, la energía total ya no es constante (porque la energía de los cuatro vectores con impulso lineal lo es). La velocidad finita de la luz también hace que sea importante tener en cuenta los efectos del tiempo de luz, tanto clásicos como relativistas. Los planetas ya no pueden considerarse partículas, pero también hay que tener en cuenta su forma y densidad. Por ejemplo, el aplanamiento de la Tierra provoca precesión, lo que provoca un cambio en la inclinación del eje, lo que afecta a los movimientos a largo plazo de todos los planetas. Los modelos a largo plazo, que van más allá de unas pocas decenas de millones de años, no son posibles debido a la falta de estabilidad del Sistema Solar .
