En geofísica y geodesia física , un modelo geopotencial es el análisis teórico de medir y calcular los efectos del campo gravitacional de la Tierra (el geopotencial ).
La ley de gravitación universal de Newton establece que la fuerza gravitacional F que actúa entre dos masas puntuales m 1 y m 2 con centro de separación de masas r está dada por
donde G es la constante gravitacional y r̂ es el vector unitario radial . Para un objeto no puntual de distribución de masa continua, cada elemento de masa dm puede tratarse como masa distribuida en un volumen pequeño, por lo que la integral de volumen sobre la extensión del objeto 2 da:
con el potencial gravitacional correspondiente
donde ρ 2 = ρ( x , y , z ) es la densidad de masa en el elemento de volumen y de la dirección desde el elemento de volumen hasta la masa puntual 1. es la energía potencial gravitacional por unidad de masa.
En el caso especial de una esfera con una densidad de masa esféricamente simétrica, entonces ρ = ρ( s ); es decir, la densidad depende sólo de la distancia radial
Estas integrales se pueden evaluar analíticamente. Este es el teorema de la capa que dice que en este caso:
donde M = ∫ V ρ( s ) dxdydz es la masa total de la esfera.
En realidad, la Tierra no es exactamente esférica, principalmente debido a su rotación alrededor del eje polar que hace que su forma sea ligeramente achatada. Si se conociera perfectamente esta forma junto con la densidad de masa exacta ρ = ρ( x , y , z ), las integrales ( 1 ) y ( 2 ) podrían evaluarse con métodos numéricos para encontrar un modelo más preciso para el campo gravitacional de la Tierra. Sin embargo, la situación es en realidad la contraria. Al observar las órbitas de las naves espaciales y la Luna, el campo gravitacional de la Tierra se puede determinar con bastante precisión y la mejor estimación de la masa de la Tierra se obtiene dividiendo el producto GM determinado a partir del análisis de la órbita de las naves espaciales por un valor de G determinado a un valor relativo inferior. precisión utilizando otros métodos físicos.
De las ecuaciones definitorias ( 1 ) y ( 2 ) queda claro (tomando las derivadas parciales del integrando) que fuera del cuerpo en el espacio vacío las siguientes ecuaciones diferenciales son válidas para el campo causado por el cuerpo:
Las funciones de la forma donde ( r , θ, φ) son las coordenadas esféricas que satisfacen la ecuación diferencial parcial ( 6 ) (la ecuación de Laplace ) se llaman funciones armónicas esféricas .
Toman las formas:
donde se utilizan coordenadas esféricas ( r , θ, φ ), dadas aquí en términos de cartesiano ( x, y, z ) como referencia:
también P 0 n son los polinomios de Legendre y P m n para 1 ≤ m ≤ n son las funciones de Legendre asociadas .
Los primeros armónicos esféricos con n = 0, 1, 2, 3 se presentan en la siguiente tabla. [Tenga en cuenta que la convención de signos difiere de la de la página sobre los polinomios de Legendre asociados, aquí y allá .]
El modelo del potencial gravitacional de la Tierra es una suma
donde y las coordenadas ( 8 ) son relativas al sistema de referencia geodésico estándar extendido en el espacio con origen en el centro del elipsoide de referencia y con eje z en la dirección del eje polar.
Los términos zonales se refieren a términos de la forma:
y los términos teserales se refieren a términos de la forma:
Los términos zonal y teseral para n = 1 se omiten en ( 9 ). Los coeficientes para n=1 con ambos términos m=0 y m=1 corresponden a un término dipolar orientado arbitrariamente en la expansión multipolar. La gravedad no exhibe físicamente ningún carácter dipolar y, por lo tanto, la integral que caracteriza a n = 1 debe ser cero.
A los diferentes coeficientes J n , C n m , S n m , se les dan los valores para los cuales se obtiene la mejor concordancia posible entre las órbitas calculadas y observadas de la nave espacial.
Como P 0 n ( x ) = − P 0 n (− x ), los coeficientes J n distintos de cero para n impar corresponden a una falta de simetría "norte-sur" en relación con el plano ecuatorial para la distribución de masa de la Tierra. Los coeficientes distintos de cero C n m , S n m corresponden a una falta de simetría rotacional alrededor del eje polar para la distribución de masa de la Tierra, es decir, a una "triaxialidad" de la Tierra.
Para valores grandes de n, los coeficientes anteriores (que se dividen por r ( n + 1) en ( 9 )) toman valores muy grandes cuando, por ejemplo, se utilizan kilómetros y segundos como unidades. En la literatura es común introducir algún "radio de referencia" arbitrario R cercano al radio de la Tierra y trabajar con coeficientes adimensionales.
y escribir el potencial como
El término dominante (después del término −μ/ r ) en ( 9 ) es el " coeficiente J 2 ", que representa el achatamiento de la Tierra:
Relativo al sistema de coordenadas.
Como se ilustra en la figura 1, las componentes de la fuerza causada por el " término J 2 " son
En el sistema de coordenadas rectangular ( x, y, z ) con vectores unitarios ( x̂ ŷ ẑ ) las componentes de la fuerza son:
Las componentes de la fuerza correspondientes al " término J 3 "
son
y
Los valores numéricos exactos de los coeficientes se desvían (algo) entre los diferentes modelos de la Tierra, pero para los coeficientes más bajos todos coinciden casi exactamente.
Para el modelo JGM-3 (ver más abajo) los valores son:
Por ejemplo, en un radio de 6600 km (unos 200 km sobre la superficie de la Tierra) J 3 /( J 2 r ) es aproximadamente 0,002; es decir, la corrección a la " fuerza J 2 " del " término J 3 " es del orden de 2 por mil. El valor negativo de J 3 implica que para una masa puntual en el plano ecuatorial de la Tierra, la fuerza gravitacional está ligeramente inclinada hacia el sur debido a la falta de simetría en la distribución de masa del "norte-sur" de la Tierra.
Las órbitas de las naves espaciales se calculan mediante la integración numérica de la ecuación de movimiento . Para ello se debe calcular la fuerza gravitacional, es decir, el gradiente del potencial. Se han diseñado algoritmos recursivos eficientes para calcular la fuerza gravitacional para cualquier y (el grado máximo de términos zonales y teselares) y dichos algoritmos se utilizan en el software de propagación de órbitas estándar.
Los primeros modelos de la Tierra de uso general por la NASA y ESRO / ESA fueron los "Modelos de la Tierra Goddard" desarrollados por el Centro de Vuelos Espaciales Goddard (GSFC) denominados "GEM-1", "GEM-2", "GEM-3", etc. en. Posteriormente estuvieron disponibles los "Modelos conjuntos de gravedad terrestre", denominados "JGM-1", "JGM-2", "JGM-3", desarrollados por GSFC en cooperación con universidades y empresas privadas. Los modelos más nuevos generalmente proporcionaron términos de orden superior que sus precursores. El EGM96 utiliza N z = N t = 360, lo que da como resultado 130317 coeficientes. También está disponible un modelo EGM2008.
Para un satélite terrestre normal que requiere una precisión de determinación/predicción de la órbita de unos pocos metros, el "JGM-3" truncado a N z = N t = 36 (1365 coeficientes) suele ser suficiente. Las imprecisiones del modelado de la resistencia del aire y, en menor medida, la presión de la radiación solar superarán las imprecisiones causadas por los errores del modelado de la gravitación.
Los coeficientes adimensionales , , para los primeros términos zonales y teselares (usando =6 378 .1363 km y =398 600 .4415 km 3 /s 2 ) del modelo JGM-3 son
Por lo tanto, según JGM-3 se tiene que J 2 =0,108 263 5854 × 10 −2 × 6378,1363 2 ×398 600 .4415 km 5 /s 2 =1,755 53 × 10 10 km 5 /s 2 y J 3 =−0,253 243 5346 × 10 −5 × 6378,1363 3 ×398 600 .4415 km 6 /s 2 =−2,619 13 × 10 11 km 6 /s 2 .
