Modelo de seis rayos

Modelo matemático

Geometría del modelo de seis rayos con ubicación de antenas de alturas iguales en cualquier punto de la calle en vista superior.

El modelo de seis rayos se aplica en un entorno urbano o interior donde una señal de radio transmitida se encuentra con algunos objetos que producen copias reflejadas, refractadas o dispersas de la señal transmitida. Estos se denominan componentes de señal de trayectos múltiples, se atenúan, retrasan y desplazan con respecto a la señal original (LOS) debido a un número finito de reflectores con ubicación y propiedades dieléctricas conocidas ; la LOS y la señal de trayectos múltiples se suman en el receptor.

Este modelo aborda la propagación de las ondas electromagnéticas mediante la representación del frente de onda como partículas simples. De este modo, los efectos de reflexión, refracción y dispersión se aproximan utilizando ecuaciones geométricas simples en lugar de ecuaciones de onda de Maxwell.[1]

El modelo más simple es el de dos rayos, que predice la variación de la señal resultante de una reflexión del suelo que interfiere con la ruta de pérdida. Este modelo es aplicable en áreas aisladas con algunos reflectores, como caminos rurales o pasillos.

El enfoque de dos rayos anterior se puede ampliar fácilmente para agregar tantos rayos como se requiera. Podemos agregar rayos que reboten en cada lado de una calle en un corredor urbano, lo que da como resultado un modelo de seis rayos. La deducción del modelo de seis rayos se presenta a continuación.

Deducción matemática

Antenas de alturas iguales ubicadas en el centro de la calle

Vista angular de los seis rayos transmitidos con choque en la pared para antenas de igual altura

Geometría del modelo de 6 rayos con ubicación de la antena en el centro de la calle

Para el análisis de antenas con alturas iguales entonces , determinando que para los dos rayos siguientes que se reflejan una vez en la pared, el punto en el que chocan es igual a dicha altura . Además por cada rayo que se refleja en la pared, hay otro rayo que se refleja en el suelo en un número igual a las reflexiones en la pared más uno, en estos rayos hay distancias diagonales para cada reflexión y la suma de estas distancias se denomina . ${\displaystyle h_{t}=h_{r}=h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle d'}$

Al estar ubicado en el centro de la calle la distancia entre las antenas y , los edificios y el ancho de las calles son iguales en ambos lados por lo que , definiendo así una única distancia . ${\displaystyle T_{X}}$ ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle w_{t1}=w_{r1}=w_{t2}=w_{r2}}$ ${\displaystyle w}$

El modelo matemático de propagación de seis rayos se basa en el modelo de dos rayos, para hallar las ecuaciones de cada rayo involucrado. La distancia que separa las dos antenas, es igual al primer rayo directo o línea de visión (LOS), es decir: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle R_{0}=d}$

Para el rayo reflejado bajo se aplica el teorema de Pitágoras , en el triángulo rectángulo que se forma entre la reflexión de como la hipotenusa y el rayo directo obteniendo: ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle R_{0}'={\sqrt {d^{2}+(2*h)^{2}}}}$

Para ello se vuelve a aplicar el teorema de Pitágoras, sabiendo que una de las bisagras está al doble de la distancia entre el transmisor y el edificio debido a la reflexión y la distancia diagonal a la pared: ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle w}$

Vista lateral de seis rayos transmitidos con choque sobre la pared y receptor montado en la pared para antenas de igual altura

${\displaystyle R_{1}={\sqrt {d^{2}+(2*w)^{2}}}}$

Para el segundo rayo se multiplica dos veces pero se tiene en cuenta que la distancia es la mitad del tercer rayo para formar el triangulo equivalente considerando que es la mitad de la distancia de y estas deben ser la mitad de la distancia de la linea de vista : ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{1}'=2*{\sqrt {\left({\frac {R_{1}}{2}}\right)^{2}+(2h)^{2}}}}$

Para y la deducción y las distancias son iguales, por lo tanto: ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle R_{2}=R_{1}}$

${\displaystyle R_{2}'=R_{1}'}$

Antenas de alturas iguales ubicadas en cualquier punto de la calle

Como la LOS del rayo directo no varía y no tiene variación angular entre los rayos, la distancia de los dos primeros rayos y del modelo no varía y se deduce según el modelo matemático para dos rayos . ^[1] Para los otros cuatro rayos se aplica el siguiente proceso matemático: ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}^{'}}$

${\displaystyle R_{1}}$Se obtiene mediante un análisis geométrico de la vista superior del modelo y se aplica el Teorema de Pitágoras triángulos, teniendo en cuenta la distancia entre la pared y las antenas , , , son diferentes: ${\displaystyle w_{t1}}$ ${\displaystyle w_{r1}}$ ${\displaystyle w_{t2}}$ ${\displaystyle w_{r2}}$

${\displaystyle R_{1}={\sqrt {d^{2}-(w_{t1}-w_{r2})^{2}+(w_{t1}+w_{t2}-w_{r2})^{2}}}}$

Para la semejanza de triángulos en la vista superior del modelo se determina la ecuación : ${\displaystyle R_{1}}$

${\displaystyle d'={\sqrt {d^{2}-(w_{t1}-w_{r2})^{2}}}}$

${\displaystyle x={\frac {(w_{r2}*R_{1})}{w_{r2}+w_{t2}+w_{t1}-w_{r2}}}}$

${\displaystyle R_{1}'={\sqrt {(R_{1}-x^{2})+(2*h^{2})}}+{\sqrt {(x)^{2}+(2*h)^{2}}}}$

Para y la deducción y las distancias son iguales entonces: ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle R_{2}=R_{1}}$

${\displaystyle R_{2}'=R_{1}'}$

Vista lateral de antenas a diferentes alturas, sin obstrucciones.

Antenas de diferentes alturas ubicadas en el centro de la calle

Para antenas de diferentes alturas con rayos que rebotan en la pared, se observa que la pared es el punto medio, donde los dos rayos transmitidos inciden sobre dicha pared. Esta pared tiene la mitad de altura entre la altura de la y , es decir menor que el transmisor y mayor que el receptor y esta altura es donde los dos rayos inciden en el punto, para luego rebotar al receptor. El rayo reflejado deja dos reflexiones, una que tiene la misma altura de la pared y la otra del receptor, y el rayo de la línea de visión mantiene la misma dirección entre la y la . La distancia diagonal d´ que separa las dos antenas se divide en dos distancias a través de la pared, una se llama y la otra . ^[2] ${\displaystyle T_{X}}$ ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle T_{X}}$ ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle d-a}$

Antenas de diferentes alturas ubicadas en cualquier punto de la calle

Para el modelo matemático de propagación de seis rayos para antenas de diferentes alturas ubicadas en cualquier punto de la calle, , existe una distancia directa que separa las dos antenas, el primer rayo se forma aplicando el teorema de Pitágoras a partir de la diferencia de alturas de las antenas con respecto a la línea de visión: ${\displaystyle h_{t}\neq h_{r}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{0}={\sqrt {d^{2}+(h_{t}-h_{r})^{2}}}}$

Vista angular de dos rayos transmitidos con choque sobre la pared en antenas de diferentes alturas.

El segundo rayo o rayo reflejado se calcula como el primer rayo pero se suman las alturas de las antenas para formar el triángulo rectángulo.

${\displaystyle R_{0}'={\sqrt {d^{2}+(h_{t}+h_{r})^{2}}}}$

Para deducir el tercer rayo se calcula el ángulo entre la distancia directa y la distancia de la línea de visión. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {h_{t}-h_{r}}{R_{0}}}}$

Ahora deduciendo la altura que resta del muro respecto de la altura del receptor llamado por semejanza los triángulos: ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {z}{a}}={\frac {h_{t}}{d'}}}$

${\displaystyle z={\frac {h_{t}*~a}{d'}}}$

Por semejanza de triángulos se puede deducir la distancia donde el rayo incide en la pared hasta alcanzar la perpendicular del receptor llamada a :

${\displaystyle {\frac {a}{w^{t2}}}={\frac {d'}{w_{t1}+w_{r1}}}}$

${\displaystyle a={\frac {d'*w_{t2}}{\left(w_{t1}+w_{r1}\right)}}}$

${\displaystyle R_{1}={\frac {{\sqrt {(h_{t}-h_{r}-z)^{2}+(d'-a)^{2}}}+{\sqrt {z^{2}+a^{2}}}}{\cos \theta }}}$

Por semejanza de los triángulos se puede deducir la ecuación del cuarto rayo:

${\displaystyle R_{1}'={\frac {{\sqrt {(h_{t}+h_{r}+z)^{2}+(d'-a)^{2}}}+{\sqrt {(2h_{r}+z)^{2}+a^{2}}}}{\cos \theta }}}$

Para y la deducción y las distancias son iguales, por lo tanto: ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle R_{2}=R_{1}}$

${\displaystyle R_{2}'=R_{1}'}$

Pérdida de trayectoria en el espacio libre en el modelo

Pérdida de trayectoria en el espacio libre en el modelo de seis rayos.

Consideremos una señal transmitida en el espacio libre, un receptor ubicado a una distancia d del transmisor. Se pueden agregar rayos que rebotan en cada lado de una calle en un corredor urbano, lo que da como resultado un modelo de seis rayos, con rayos , y cada uno con un rayo directo y un rayo que rebota en el suelo. ^[3] ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

Para simplificar el modelo es necesario hacer una suposición importante: es pequeña en comparación con la longitud del símbolo de la información útil, es decir . Para los rayos que rebotan fuera de la tierra y a cada lado de la calle, esta suposición es bastante segura, pero en general habrá que recordar que estas suposiciones significan que la dispersión de los retardos (difusión de los valores ) es menor que la velocidad de transmisión de los símbolos. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s(t)=s(t-T)}$ ${\displaystyle T}$

El modelo de pérdida de trayectoria en el espacio libre de seis rayos se define como:

${\displaystyle p_{0}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{r})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}\left({\frac {\exp(j*2\pi *R_{0}/{\lambda })}{R_{0}}}+\Gamma {\frac {\exp(j*2\pi *R_{0}'/{\lambda })}{R_{0}'}}\right)}$

${\displaystyle p_{1}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{r})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}~\Gamma _{1}\left({\frac {\exp(j*2\pi *R_{1}/{\lambda })}{R_{1}}}+\Gamma {\frac {\exp(j*2\pi *R_{1}'/{\lambda })}{R_{1}'}}\right)}$

${\displaystyle p_{2}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{r})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}~\Gamma _{1}\left({\frac {\exp(j*2\pi *R_{2}/{\lambda })}{R_{2}}}+\Gamma {\frac {\exp(j*2\pi *R_{2}'/{\lambda })}{R_{2}'}}\right)}$

${\displaystyle P_{l}~(dB)=20\log \left|~\sum _{i=0}^{N}P_{i}~\right|}$

${\displaystyle {\lambda }=}$ ${\displaystyle {c \over f}}$ es la longitud de onda.

${\displaystyle T=}$¿Es la diferencia de tiempo entre los dos caminos?

${\displaystyle \Gamma =}$Es el coeficiente de reflexión del suelo.

${\displaystyle G_{i}=}$Ganancia del transmisor.

${\displaystyle G_{r}=}$Ganancia del receptor.

Véase también

• Modelo de reflexión terrestre de dos rayos
• Modelo de diez rayos
• Trazado de rayos (física)

Referencias

1. T. Rappaport (2002). Comunicaciones inalámbricas: principios y práctica . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0137192878.
2. AJ Rustako, Jr., Noach Amitay, GJ Owens, RS Roman. (1991). Propagación de radio en frecuencias de microondas para comunicaciones personales y móviles microcelulares con línea de visión directa .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Schwengler, Thomas (2016). Notas de clase sobre comunicaciones móviles e inalámbricas para TLEN-5510-Fall . Universidad de Colorado. págs. http://morse.colorado.edu/~tlen5510/text/classwebch3.html. Capítulo 3: Modelado de propagación de radio