Modelo de reflexión terrestre de dos rayos

Modelo de propagación de radio por trayectos múltiples

El modelo de reflexión terrestre de dos rayos es un modelo de propagación de radio por trayectos múltiples que predice las pérdidas de trayectoria entre una antena transmisora ​​y una antena receptora cuando están en línea de visión (LOS) . Generalmente, las dos antenas tienen alturas diferentes. La señal recibida tiene dos componentes, el componente LOS y el componente de reflexión formado predominantemente por una sola onda reflejada en el suelo.

Diagrama de reflexión terrestre de 2 rayos que incluye variables para el algoritmo de propagación de reflexión terrestre de 2 rayos.

Derivación matemática[1][2]

A partir de la figura, el componente de la línea de visión recibida se puede escribir como

${\displaystyle r_{los}(t)=Re\left\{{\frac {\lambda {\sqrt {G_{los}}}}{4\pi }}\times {\frac {s(t)e^{-j2\pi l/\lambda }}{l}}\right\}}$

y el componente reflejado en el suelo puede escribirse como

${\displaystyle r_{gr}(t)=Re\left\{{\frac {\lambda \Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}}{4\pi }}\times {\frac {s(t-\tau )e^{-j2\pi (x+x')/\lambda }}{x+x'}}\right\}}$

donde es la señal transmitida, es la longitud del rayo de línea de visión directa (LOS), es la longitud del rayo reflejado en el suelo, es la ganancia de antena combinada a lo largo de la trayectoria LOS, es la ganancia de antena combinada a lo largo de la trayectoria reflejada en el suelo, es la longitud de onda de la transmisión ( , donde es la velocidad de la luz y es la frecuencia de transmisión), es el coeficiente de reflexión del suelo y es la dispersión del retardo del modelo que es igual a . El coeficiente de reflexión del suelo es ^[1] ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle x+x'}$ ${\displaystyle G_{los}}$ ${\displaystyle G_{gr}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {c}{f}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma (\theta )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (x+x'-l)/c}$

${\displaystyle \Gamma (\theta )={\frac {\sin \theta -X}{\sin \theta +X}}}$

donde o dependiendo de si la señal está polarizada horizontal o verticalmente, respectivamente. se calcula de la siguiente manera. ${\displaystyle X=X_{h}}$ ${\displaystyle X=X_{v}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{h}={\sqrt {\varepsilon _{g}-{\cos }^{2}\theta }},\ X_{v}={\frac {\sqrt {\varepsilon _{g}-{\cos }^{2}\theta }}{\varepsilon _{g}}}={\frac {X_{h}}{\varepsilon _{g}}}}$

La constante es la permitividad relativa del suelo (o en términos generales, el material donde se refleja la señal), es el ángulo entre el suelo y el rayo reflejado como se muestra en la figura anterior. ${\displaystyle \varepsilon _{g}}$ ${\displaystyle \theta }$

De la geometría de la figura se obtiene:

${\displaystyle x+x'={\sqrt {(h_{t}+h_{r})^{2}+d^{2}}}}$

y

${\displaystyle l={\sqrt {(h_{t}-h_{r})^{2}+d^{2}}}}$,

Por lo tanto, la diferencia de longitud de trayectoria entre ellos es

${\displaystyle \Delta d=x+x'-l={\sqrt {(h_{t}+h_{r})^{2}+d^{2}}}-{\sqrt {(h_{t}-h_{r})^{2}+d^{2}}}}$

y la diferencia de fase entre las ondas es

${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {2\pi \Delta d}{\lambda }}}$

La potencia de la señal recibida es

${\displaystyle P_{r}=E\{|r_{los}(t)+r_{gr}(t)|^{2}\}}$

donde denota el valor promedio (a lo largo del tiempo). ${\displaystyle E\{\cdot \}}$

Aproximación

Si la señal es de banda estrecha en relación con el retardo inverso , de modo que , la ecuación de potencia se puede simplificar a ${\displaystyle 1/\tau }$ ${\displaystyle s(t)\approx s(t-\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{r}=E\{|s(t)|^{2}\}\left({\frac {\lambda }{4\pi }}\right)^{2}\times \left|{\frac {{\sqrt {G_{los}}}\times e^{-j2\pi l/\lambda }}{l}}+\Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}{\frac {e^{-j2\pi (x+x')/\lambda }}{x+x'}}\right|^{2}&=P_{t}\left({\frac {\lambda }{4\pi }}\right)^{2}\times \left|{\frac {\sqrt {G_{los}}}{l}}+\Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}{\frac {e^{-j\Delta \phi }}{x+x'}}\right|^{2}\end{aligned}}}$

¿Dónde está la potencia transmitida? ${\displaystyle P_{t}=E\{|s(t)|^{2}\}}$

Cuando la distancia entre las antenas es muy grande en relación a la altura de la antena podemos expandir , ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Delta d=x+x'-l}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta d=x+x'-l=d{\Bigg (}{\sqrt {{\frac {(h_{t}+h_{r})^{2}}{d^{2}}}+1}}-{\sqrt {{\frac {(h_{t}-h_{r})^{2}}{d^{2}}}+1}}{\Bigg )}\end{aligned}}}$

utilizando la serie de Taylor de : ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+\dots ,}$

y tomando sólo los dos primeros términos,

${\displaystyle x+x'-l\approx {\frac {d}{2}}\times \left({\frac {(h_{t}+h_{r})^{2}}{d^{2}}}-{\frac {(h_{t}-h_{r})^{2}}{d^{2}}}\right)={\frac {2h_{t}h_{r}}{d}}}$

La diferencia de fase puede entonces aproximarse como

${\displaystyle \Delta \phi \approx {\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda d}}}$

Cuando es grande, , ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d\gg (h_{t}+h_{r})}$

El coeficiente de reflexión tiende a -1 para d grande.

${\displaystyle {\begin{aligned}d&\approx l\approx x+x',\ \Gamma (\theta )\approx -1,\ G_{los}\approx G_{gr}=G\end{aligned}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle P_{r}\approx P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times |1-e^{-j\Delta \phi }|^{2}}$

Expansión mediante series de Taylor ${\displaystyle e^{-j\Delta \phi }}$

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots }$

y conservando sólo los dos primeros términos

${\displaystyle e^{-j\Delta \phi }\approx 1+({-j\Delta \phi })+\cdots =1-j\Delta \phi }$

resulta que

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{r}&\approx P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times |1-(1-j\Delta \phi )|^{2}\\&=P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times \Delta \phi ^{2}\\&=P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times \left({\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda d}}\right)^{2}\\&=P_{t}{\frac {Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}{d^{4}}}\end{aligned}}}$

de modo que

${\displaystyle P_{r}\approx P_{t}{\frac {Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}{d^{4}}}}$

y la pérdida de trayectoria es

${\displaystyle PL={\frac {P_{t}}{P_{r}}}={\frac {d^{4}}{Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}}}$

que es preciso en la región del campo lejano, es decir cuando (los ángulos se miden aquí en radianes, no en grados) o, equivalentemente, ${\displaystyle \Delta \phi \ll 1}$

${\displaystyle d\gg {\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda }}}$

y donde la ganancia de antena combinada es el producto de las ganancias de antena de transmisión y recepción, . Esta fórmula fue obtenida por primera vez por BA Vvedenskij. ^[3] ${\displaystyle G=G_{t}G_{r}}$

Obsérvese que la potencia disminuye con la cuarta potencia inversa de la distancia en el campo lejano, lo que se explica por la combinación destructiva de las trayectorias directa y reflejada, que son aproximadamente de la misma magnitud y tienen 180 grados de diferencia en fase. se denomina "potencia radiada isótropa efectiva" (EIRP), que es la potencia de transmisión necesaria para producir la misma potencia recibida si la antena de transmisión fuera isótropa. ${\displaystyle G_{t}P_{t}}$

En unidades logarítmicas

En unidades logarítmicas: ${\displaystyle P_{r_{\text{dBm}}}=P_{t_{\text{dBm}}}+10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})-40\log _{10}(d)}$

Pérdida de trayectoria: ${\displaystyle PL\;=P_{t_{\text{dBm}}}-P_{r_{\text{dBm}}}\;=40\log _{10}(d)-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})}$

Características de potencia vs. distancia

Cuando la distancia entre antenas es menor que la altura de la antena transmisora, se suman dos ondas de manera constructiva para producir mayor potencia. A medida que aumenta la distancia, estas ondas se suman de manera constructiva y destructiva, dando lugar a regiones de atenuación ascendente y descendente. A medida que la distancia aumenta más allá de la distancia crítica o primera zona de Fresnel, la potencia cae proporcionalmente a una inversa de la cuarta potencia de . Se puede obtener una aproximación a la distancia crítica estableciendo Δφ en π como la distancia crítica a un máximo local. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle dc}$ ${\displaystyle d}$

Una extensión para grandes alturas de antena

Las aproximaciones anteriores son válidas siempre que , lo que puede no ser el caso en muchos escenarios, por ejemplo, cuando las alturas de las antenas no son mucho menores en comparación con la distancia, o cuando el suelo no se puede modelar como un plano ideal. En este caso, no se puede utilizar y se requiere un análisis más refinado, véase, por ejemplo, ^{[4] [5]} ${\displaystyle d\gg (h_{t}+h_{r})}$ ${\displaystyle \Gamma \approx -1}$

Modelado de propagación paraplataformas de gran altitud,Vehículos aéreos no tripulados (UAV),drones, etc.

La gran extensión de altura de antena anterior se puede utilizar para modelar un canal de propagación de tierra a aire como en el caso de un nodo de comunicación aéreo, por ejemplo, un UAV, un dron o una plataforma de gran altitud. Cuando la altitud del nodo aéreo es media a alta, la relación ya no se cumple, el ángulo de separación no es pequeño y, en consecuencia, tampoco se cumple. Esto tiene un profundo impacto en la pérdida de la trayectoria de propagación y la profundidad de desvanecimiento típica y el margen de desvanecimiento requerido para una comunicación confiable (baja probabilidad de interrupción). ^{[4] [5]} ${\displaystyle d\gg (h_{t}+h_{r})}$ ${\displaystyle \Gamma \approx -1}$

Como caso de modelo de pérdida de trayectoria de distancia logarítmica

La expresión estándar del modelo de pérdida de trayectoria de distancia logarítmica en [dB] es

${\displaystyle PL\;=P_{T_{dBm}}-P_{R_{dBm}}\;=\;PL_{0}\;+\;10\nu \;\log _{10}{\frac {d}{d_{0}}}\;+\;X_{g},}$

donde es el desvanecimiento a gran escala (log-normal), es una distancia de referencia en la que la pérdida de trayectoria es , es el exponente de pérdida de trayectoria; típicamente . ^{[1] [2]} Este modelo es particularmente adecuado para mediciones, por lo que y se determinan experimentalmente; se selecciona por conveniencia de mediciones y para tener una línea de visión clara. Este modelo también es un candidato principal para sistemas 5G y 6G ^{[6] [7]} y también se utiliza para comunicaciones en interiores, consulte, por ejemplo, ^[8] y referencias allí. ${\displaystyle X_{g}}$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle PL_{0}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =2...4}$ ${\displaystyle PL_{0}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle d_{0}}$

La pérdida de trayectoria [dB] del modelo de 2 rayos es formalmente un caso especial con : ${\displaystyle \nu =4}$

${\displaystyle PL\;=P_{t_{dBm}}-P_{r_{dBm}}\;=40\log _{10}(d)-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})}$

donde , , y ${\displaystyle d_{0}=1}$ ${\displaystyle X_{g}=0}$

${\displaystyle PL_{0}=-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})}$,

lo cual es válido el campo lejano, = la distancia crítica. ${\displaystyle d>d_{c}=4\pi h_{r}h_{t}/\lambda }$

Como caso de modelo de múltiples pendientes

El modelo de dos rayos reflejados en el suelo puede considerarse como un caso de modelo de múltiples pendientes con un punto de ruptura en la distancia crítica con una pendiente de 20 dB/década antes de la distancia crítica y una pendiente de 40 dB/década después de la distancia crítica. Utilizando el modelo de dos rayos y espacio libre anterior, la pérdida de trayectoria de propagación puede expresarse como

${\displaystyle L=\max\{G,L_{min},L_{FS},L_{2-ray}\}}$

donde y son las pérdidas de trayectoria en el espacio libre y en 2 rayos; es una pérdida de trayectoria mínima (a la distancia más pequeña), generalmente en la práctica; dB aproximadamente. Nótese que y también se deducen de la ley de conservación de la energía (ya que la potencia de Rx no puede exceder la potencia de Tx) de modo que tanto y como se rompen cuando es lo suficientemente pequeño. Esto debe tenerse en cuenta al usar estas aproximaciones a distancias pequeñas (ignorar esta limitación a veces produce resultados absurdos). ${\displaystyle L_{FS}=(4\pi d/\lambda )^{2}}$ ${\displaystyle L_{2-ray}=d^{4}/(h_{t}h_{r})^{2}}$ ${\displaystyle L_{min}}$ ${\displaystyle L_{min}\approx 20}$ ${\displaystyle L\geq G}$ ${\displaystyle L\geq 1}$ ${\displaystyle L_{FS}=(4\pi d/\lambda )^{2}}$ ${\displaystyle L_{2-ray}=d^{4}/(h_{t}h_{r})^{2}}$ ${\displaystyle d}$

Véase también

• Modelo de propagación de radio
• Pérdida de trayectoria en el espacio libre
• Ecuación de transmisión de Friis
• UIT-R P.525
• Presupuesto de enlaces
• Trazado de rayos (física)
• Reflexión (física)
• Reflexión especular
• Modelo de seis rayos
• Modelo de diez rayos

Referencias

1. Jakes, WC (1974). Comunicaciones móviles por microondas . Nueva York: IEEE Press.
2. Rappaport, Theodore S. (2002). Comunicaciones inalámbricas: principios y práctica (2. ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 978-0130422323.
3. Vvedenskij, BA (diciembre de 1928). "Sobre las comunicaciones por radio a través de ondas ultracortas". Ingeniería eléctrica teórica y experimental (12): 447–451.
4. Loyka, Sergey; Kouki, Ammar (octubre de 2001). "Uso del modelo de trayectoria múltiple de dos rayos para el análisis del presupuesto de enlaces de microondas". Revista IEEE Antennas and Propagation . 43 (5): 31–36. Bibcode :2001IAPM...43...31L. doi :10.1109/74.979365.
5. Loyka, Sergey; Kouki, Ammar; Gagnon, Francois (octubre de 2001). Predicción de desvanecimiento en enlaces de microondas para comunicaciones aéreas . Conferencia de tecnología vehicular del IEEE. Atlantic City, EE. UU.
6. Rappaport, TS; et al. (diciembre de 2017). "Descripción general de las comunicaciones por ondas milimétricas para redes inalámbricas de quinta generación (5G), con un enfoque en los modelos de propagación". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 65 (12): 6213–6230. arXiv : 1708.02557 . Bibcode :2017ITAP...65.6213R. doi :10.1109/TAP.2017.2734243. S2CID  21557844.
7. Rappaport, TS; et al. (junio de 2019). "Comunicaciones inalámbricas y aplicaciones por encima de 100 GHz: oportunidades y desafíos para 6G y más allá". IEEE Access . 7 : 78729–78757. Bibcode :2019IEEEA...778729R. doi : 10.1109/ACCESS.2019.2921522 . S2CID  195740426.
8. "Modelo de la UIT para la atenuación en interiores", Wikipedia , 14 de marzo de 2021 , consultado el 24 de enero de 2022; ver también [1]

Lectura adicional

• S. Salous, Medición de propagación de radio y modelado de canales, Wiley, 2013.
• JS Seybold, Introducción a la propagación de RF, Wiley, 2005.
• K. Siwiak, Propagación de ondas de radio y antenas para comunicaciones personales, Artech House, 1998.
• MP Doluhanov, Propagación de ondas de radio, Moscú: Sviaz, 1972.
• VV Nikolskij, TI Nikolskaja, Electrodinámica y propagación de ondas de radio, Moscú: Nauka, 1989.
• 3GPP TR 38.901, Estudio sobre el modelo de canal para frecuencias de 0,5 a 100 GHz (versión 16), Sophia Antipolis, Francia, 2019 [2]
• Recomendación UIT-R P.1238-8: Datos de propagación y métodos de predicción para la planificación de sistemas de radiocomunicaciones en interiores y redes de área local de radio en la gama de frecuencias de 300 MHz a 100 GHz [3]
• S. Loyka, ELG4179: Fundamentos de la comunicación inalámbrica, notas de clase (Lec. 2-4), Universidad de Ottawa, Canadá, 2021 [4]