Modelo de diez rayos

Modelo matemático

Vista superior de 10 rayos

Rayos característicos del modelo

Vista aérea del modelo de diez rayos (tipos de reflexiones)

El modelo de diez rayos es un modelo matemático aplicado a las transmisiones de señales de radio en un área urbana,

para generar un modelo de diez rayos típicamente se añaden cuatro rayos más al modelo de seis rayos , estos son ( y rebotando en ambos lados de la pared); esto incorpora caminos de una a tres reflexiones: específicamente, está el LOS ( Line of sight ), GR (ground reflective), SW (single-wall reflective), DW (double-wall reflective), TW (triple-wall reflective), WG (wall-ground reflective) y GW (ground-wall reflective paths). Donde cada uno de los caminos rebota en ambos lados de la pared. ${\displaystyle R3}$ ${\displaystyle R4}$

Experimentalmente se ha demostrado que el modelo de diez rayos simula o puede representar la propagación de señales a través de un cañón dieléctrico , en el que los rayos que viajan desde un punto transmisor a un punto receptor rebotan muchas veces.

Como ejemplo para este modelo se supone: un espacio libre rectilíneo con dos paredes, una superior y otra inferior, de las cuales se posicionan en sus extremos dos bases verticales, estas son las antenas transmisora ​​y receptora que se ubican de tal manera que sus alturas no sobrepasen los límites de la pared superior; logrado esto la estructura actúa como espacio libre para su funcionamiento similar al de un cañón dieléctrico de propagación de señales, ya que los rayos transmitidos desde la antena transmisora ​​colisionarán cada lado de las paredes superior e inferior infinidad de veces (para este ejemplo hasta 3 reflexiones) hasta llegar a la antena receptora. Durante el recorrido de los rayos por cada reflexión que sufren, parte de la energía de la señal se disipa en cada reflexión, normalmente después de la tercera reflexión de dicho rayo su componente resultante que es un rayo retro-reflejado es insignificante con una energía despreciable. ^[1]

Deducción matemática

Análisis para antenas de diferentes alturas ubicadas en cualquier punto de la calle.

Para la modelación matemática de la propagación de diez rayos, se tiene en cuenta una vista lateral y se parte de modelar los dos primeros rayos (línea de visión y su respectiva reflexión), considerando que las antenas tienen diferentes alturas, entonces , y tienen una distancia directa d que separa las dos antenas; el primer rayo se forma aplicando el teorema de Pitágoras: ${\displaystyle h_{Tx}\neq {h_{Rx}}}$

${\displaystyle R_{0}={\sqrt {d^{2}+(h_{t}-h_{r})^{2}}}}$

El segundo rayo o rayo reflejado se realiza de forma similar al primero, pero en este caso se suman las alturas de las antenas para formar el triángulo rectángulo para la reflexión de la altura del transmisor.

${\displaystyle R_{0}'={\sqrt {d^{2}+(h_{t}+h_{r})^{2}}}}$

En la deducción del tercer rayo es necesario encontrar el ángulo entre la distancia directa y la distancia de la línea de visión _. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {d}{R_{0}}}}$

Viendo el modelo desde un lado, es necesario encontrar una distancia plana entre el transmisor y el receptor llamada . ${\displaystyle d'}$

${\displaystyle d'={\sqrt {d^{2}-(w_{r2}-w_{t2})^{2}}}}$

Ahora deducimos la altura restante del muro a partir de la altura del receptor llamada por la semejanza de triángulos: ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {z}{a}}={\frac {h_{t}}{d'}}}$

${\displaystyle z={\frac {{h_{t}}a}{d'}}}$

Por semejanza de triángulos podemos deducir la distancia desde donde choca el rayo contra la pared hasta la perpendicular del receptor llamada , obteniendo: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {a}{d}}'={\frac {w_{r2}}{w_{t2}+w_{r2}}}}$

${\displaystyle a={\frac {d'w_{r2}}{w_{t2}+w_{r2}}}}$

El tercer rayo se define como un modelo de dos rayos, por lo que es:

${\displaystyle R_{1}={\frac {{\sqrt {(h_{t}-h_{r}-z)^{2}+(d'-a)^{2}}}+{\sqrt {z^{2}+a^{2}}}}{\cos \theta }}}$

Tomando una vista lateral se logra evidenciar el rayo reflejado que allí se encuentra y se encuentra de la siguiente manera: ${\displaystyle R_{1}}$

${\displaystyle R_{1}'={\frac {{\sqrt {(h_{t}+h_{r}+z)^{2}+(d'-a)^{2}}}+{\sqrt {(2h_{r}+z)^{2}+a^{2}}}}{\cos \theta }}}$

Como existen dos rayos que chocan una vez en la pared, entonces se busca el quinto rayo, equiparándolo al tercero.

${\displaystyle R_{2}=R_{1}}$

De manera similar, se iguala el sexto rayo con el cuarto rayo, ya que tienen las mismas características.

${\displaystyle R_{2}'=R_{1}'}$

Vista lateral de dos haces transmitidos reflejados de una pared al otro lado y reflejados al receptor en antenas de diferentes alturas en cualquier punto de la calle.

Para modelar los rayos que chocan dos veces con la pared, se utiliza el teorema de Pitágoras debido a que la distancia directa y la suma de las distancias entre el receptor a cada pared con el doble de la distancia del transmisor a la pared , esto se divide en el ángulo formado entre la distancia directa y el rayo reflejado. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle w_{t2}}$

${\displaystyle R_{3}={\frac {\sqrt {d^{2}+(w_{r2}+2w_{t2}+w_{r1})^{2}}}{\cos \theta }}}$

Para el octavo rayo se calcula una serie de variables que permiten deducir la ecuación completa, la cual está compuesta por distancias y alturas que se encontraron por semejanza de triángulos .

En primera instancia se toma la distancia plana entre la pared del segundo amortiguador y el receptor:

${\displaystyle x={\frac {d'w_{r1}}{w_{r2}+w_{r1}}}}$

Se encuentra la distancia plana entre el transmisor y la pared en el primer choque.

${\displaystyle h_{p2}=h_{r}+z_{2}}$

${\displaystyle y={\frac {d'w_{t2}}{w_{r2}+w_{r1}}}}$

Encontrando la distancia entre la altura de la pared del segundo amortiguador con respecto al primer amortiguador, se obtiene:

${\displaystyle z_{1}={\frac {h_{t}(d'-(x+y))}{d'}}}$

Deduciendo también la distancia entre la altura de la pared del segundo amortiguador con respecto al receptor:

${\displaystyle z_{2}={\frac {h_{t}x}{d'}}}$

Calculando la altura del muro donde se produce el primer impacto:

${\displaystyle h_{p1}=h_{r}+z_{1}+z_{2}}$

Calculando la altura del muro donde se produce el segundo choque:

${\displaystyle h_{p2}=h_{r}+z_{2}}$

Con estos parámetros se calcula la ecuación para el octavo rayo:

${\displaystyle R_{3}'={\frac {{\sqrt {y^{2}+(h_{t}+h_{p1})^{2}}}+{\sqrt {(d'-(x+y))^{2}+(h_{p1}+h_{p2}^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+(h_{r}+h_{p2})^{2}}}}{\cos \theta }}}$

Para el noveno rayo, la ecuación es la misma que la del séptimo rayo debido a sus características:

${\displaystyle R_{4}=R_{3}}$

Para el décimo rayo, la ecuación es la misma que para el octavo rayo debido a su forma de rayo reflejado:

${\displaystyle R_{4}'=R_{3}'}$

Pérdidas por trayectoria de espacio libre

Modelado de las pérdidas por trayectoria en el espacio libre en el modelo de 6 rayos cuando las distancias de la pared y las alturas son diferentes.

Se considera una señal transmitida a través del espacio libre a un receptor situado a una distancia d del transmisor.

Suponiendo que no existen obstáculos entre el transmisor y el receptor, la señal se propaga a lo largo de una línea recta entre ambos. El modelo de haz asociado a esta transmisión se denomina línea de visión (LOS), y la señal recibida correspondiente se denomina señal LOS o haz. ^[2]

Las pérdidas de trayectoria del modelo de diez rayos en el espacio libre se definen como:

${\displaystyle p_{0}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{R})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}\left({\frac {\exp(j2\pi R_{0}/{\lambda })}{R_{0}}}+\Gamma {\frac {\exp(j2\pi R_{0}'/{\lambda })}{R_{0}'}}\right)}$

${\displaystyle p_{1}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{R})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}~\Gamma _{1}\left({\frac {\exp(j2\pi R_{1}/\lambda )}{R_{1}}}+\Gamma {\frac {\exp(j2\pi R_{1}'/\lambda )}{R_{1}'}}\right)}$

${\displaystyle p_{2}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{R})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}~\Gamma _{1}\left({\frac {\exp(j2\pi R_{2}/\lambda )}{R_{2}}}+\Gamma {\frac {\exp(j2\pi R_{2}'/\lambda )}{R_{2}'}}\right)}$

${\displaystyle p_{3}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{R})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}~\Gamma _{1}\left({\frac {\exp(j2\pi R_{3}/\lambda )}{R_{3}}}+\Gamma {\frac {\exp(j2\pi R_{3}'/\lambda )}{R_{3}'}}\right)}$

${\displaystyle p_{4}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{R})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}~\Gamma _{1}\left({\frac {\exp(j2\pi R_{4}/\lambda )}{R_{4}}}+\Gamma {\frac {\exp(j2\pi R_{4}'/\lambda )}{R_{4}'}}\right)}$

${\displaystyle P_{L}~(dB)=20\log \left|\sum _{i=0}^{N}P_{i}\right|}$

Véase también

• Modelo de seis rayos
• Trazado de rayos (física)
• Modelo de reflexión terrestre de dos rayos

Referencias

1. Goldsmith, Andrea (2005). Comunicaciones inalámbricas . Nueva York.: Cambridge University Press, ed. ISBN 978-0521837163.
2. Schwengler, Thomas (2016). Notas de clase sobre comunicaciones móviles e inalámbricas para TLEN-5510-Fall . Universidad de Colorado. págs. http://morse.colorado.edu/~tlen5510/text/classwebch3.html. Capítulo 3: Modelado de propagación de radio