Modelo de difusión de graves

Modelo de marketing matemático

El modelo Bass o modelo de difusión Bass fue desarrollado por Frank Bass . Consiste en una ecuación diferencial simple que describe el proceso de adopción de nuevos productos en una población. El modelo presenta una justificación de cómo interactúan los adoptantes actuales y los adoptantes potenciales de un nuevo producto. La premisa básica del modelo es que los adoptantes pueden clasificarse como innovadores o imitadores, y la velocidad y el momento de la adopción dependen de su grado de innovación y del grado de imitación entre los adoptantes. El modelo de Bass se ha utilizado ampliamente en la previsión , especialmente en la previsión de ventas de nuevos productos y en la previsión tecnológica . Matemáticamente, la difusión básica de Bass es una ecuación de Riccati con coeficientes constantes equivalentes al crecimiento logístico de Verhulst-Pearl .

En 1969, Frank Bass publicó su artículo sobre un nuevo modelo de crecimiento de productos de consumo duradero . ^{[1] : 1833  [2]} Antes de esto, Everett Rogers publicó Difusión de innovaciones , un trabajo muy influyente que describía las diferentes etapas de adopción de un producto. Bass aportó algunas ideas matemáticas al concepto. ^[3] Mientras que el modelo de Rogers describe las cuatro etapas del ciclo de vida del producto (Introducción, Crecimiento, Madurez, Decadencia), el modelo de Bass se centra en las dos primeras (Introducción y Crecimiento). Algunas de las extensiones de Bass-Model presentan modelos matemáticos para los dos últimos (Maturity y Decline).

Formulación del modelo

${\displaystyle {\frac {f(t)}{1-F(t)}}=p+qF(t)}$ ^[2]

Dónde:

• ${\displaystyle \ F(t)}$es la fracción de base instalada
• ${\displaystyle \ f(t)}$es la tasa de cambio de la fracción de base instalada, es decir ${\displaystyle \ f(t)=F'(t)}$
• ${\displaystyle \ p}$es el coeficiente de innovación
• ${\displaystyle \ q}$es el coeficiente de imitación

Expresado como una ecuación diferencial ordinaria,

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=p(1-F)+q(1-F)F=(1-F)(p+qF).}$

Las ventas (o nuevos adoptantes) en el momento son la tasa de cambio de la base instalada, es decir, multiplicada por el potencial final del mercado . Bajo la condición , tenemos que ${\displaystyle \ s(t)}$ ${\displaystyle \ t}$ ${\displaystyle \ f(t)}$ ${\displaystyle \ m}$ ${\displaystyle \ F(0)=0}$

${\displaystyle \ s(t)=mf(t)}$

${\displaystyle \ s(t)=m{\frac {(p+q)^{2}}{p}}{\frac {e^{-(p+q)t}}{(1+{\frac {q}{p}}e^{-(p+q)t})^{2}}}}$ ^[2]

Tenemos la descomposición donde es el número de innovadores en un momento y es el número de imitadores en un momento . ${\displaystyle \ s(t)=s_{n}(t)+s_{i}(t)}$ ${\displaystyle \ s_{n}(t):=mp(1-F(t))}$ ${\displaystyle \ t}$ ${\displaystyle \ s_{i}(t):=mq(1-F(t))F(t)}$ ${\displaystyle \ t}$

El momento de mayor venta : ${\displaystyle \ t^{*}}$

${\displaystyle \ t^{*}={\frac {\ln q-\ln p}{p+q}}}$ ^[2]

Los tiempos de los puntos de inflexión en la curva de nuevos adoptantes : ${\displaystyle \ t^{**}}$

${\displaystyle \ t^{**}={\frac {\ln(q/p)-\ln(2\pm {\sqrt {3}}))}{p+q}}}$ ^[4]

o de otra forma (relacionada con el pico de ventas):

${\displaystyle \ t^{**}=t^{*}\pm {\frac {\ln(2+{\sqrt {3}}))}{p+q}}}$ ^[4]

Las horas punta y los tiempos de los puntos de inflexión deben ser positivos. Cuando es negativo, las ventas no tienen pico (y disminuyen desde su introducción). Hay casos (dependiendo de los valores de y ) en los que la curva de nuevos adoptantes (que comienza en 0) tiene solo uno o cero puntos de inflexión. ${\displaystyle \ t^{*}}$ ${\displaystyle \ p}$ ${\displaystyle \ q}$

Explicación

El coeficiente se denomina coeficiente de innovación, influencia externa o efecto publicitario. El coeficiente se denomina coeficiente de imitación, influencia interna o efecto del boca a boca. ${\displaystyle \ p}$ ${\displaystyle \ q}$

Valores típicos de y cuando el tiempo se mide en años: ^[5] ${\displaystyle \ p}$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle \ t}$

• Se ha encontrado que el valor promedio de es 0,03, con un rango típico entre 0,01 y 0,03. ${\displaystyle \ p}$
• Se ha encontrado que el valor promedio de es 0,38, con un rango típico entre 0,3 y 0,5. ${\displaystyle \ q}$

Derivación

El modelo de difusión de Bass se obtiene asumiendo que la tasa de riesgo para la adopción de un producto o servicio puede definirse como: ${\displaystyle \lambda (t)}$

$${\displaystyle \lambda (t)={f(t) \over {S(t)}}=p+q[1-S(t)]}$$

función de densidad de probabilidadfunción de supervivenciafunción de distribución acumulativael análisis de supervivencia ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle S(t)=1-F(t)}$ ${\displaystyle F(t)}$

$${\displaystyle f(t)=-{dS \over {dt}}\implies \lambda (t)=-{1 \over {S}}{dS \over {dt}}}$$

$${\displaystyle {dS \over {S[p+q(1-S)]}}=-dt}$$

$${\displaystyle {S \over {p+q(1-S)}}=Ae^{-(p+q)t}}$$

${\displaystyle S(0)=1}$ ${\displaystyle A=p^{-1}}$

$${\displaystyle S(t)={e^{-(p+q)t}+{q \over {p}}e^{-(p+q)t} \over {1+{q \over {p}}e^{-(p+q)t}}}}$$

${\displaystyle F(t)=1-S(t)}$

$${\displaystyle F(t)={1-e^{-(p+q)t} \over {1+{q \over {p}}e^{-(p+q)t}}}}$$

Extensiones al modelo.

Modelo de bajo generalizado (con precio)

Bass descubrió que su modelo se ajustaba a los datos de casi todas las presentaciones de productos, a pesar de una amplia gama de variables de decisión gerencial, por ejemplo, precios y publicidad. Esto significa que las variables de decisión pueden desplazar la curva de Bass con el tiempo, pero que la forma de la curva es siempre similar.

Aunque se han propuesto muchas extensiones del modelo, sólo una de ellas se reduce al modelo Bass en circunstancias normales. ^[6]

Este modelo fue desarrollado en 1994 por Frank Bass, Trichy Krishnan y Dipak Jain:

${\displaystyle {\frac {f(t)}{1-F(t)}}=(p+{q}F(t))x(t)}$

donde es una función del cambio porcentual en el precio y otras variables ${\displaystyle \ x(t)}$

A diferencia del modelo de Bass, que tiene una solución analítica, pero también se puede resolver numéricamente, los modelos de Bass generalizados normalmente no tienen soluciones analíticas y deben resolverse numéricamente. Orbach (2016) ^[7] señala que los valores de p,q no son perfectamente idénticos para las formas de tiempo continuo y de tiempo discreto. Para los casos comunes (donde p está dentro del rango de 0,01-0,03 y q dentro del rango de 0,2-0,4) los pronósticos de tiempo discreto y de tiempo continuo son muy similares. Para otros valores de p,q los pronósticos pueden desviarse significativamente.  

Generaciones sucesivas

Un ejemplo de previsión con 8 generaciones.

Los productos tecnológicos se suceden entre sí a lo largo de generaciones. Norton y Bass ampliaron el modelo en 1987 para la venta de productos con compras repetidas continuas. La formulación para tres generaciones es la siguiente: ^[8]

${\displaystyle \ S_{1,t}=F(t_{1})m_{1}(1-F(t_{2}))}$

${\displaystyle \ S_{2,t}=F(t_{2})(m_{2}+F(t_{1})m_{1})(1-F(t_{3}))}$

${\displaystyle \ S_{3,t}=F(t_{3})(m_{3}+F(t_{2})(m_{2}+F(t_{1})m_{1}))}$

dónde

• ${\displaystyle \ m_{i}=a_{i}M_{i}}$
• ${\displaystyle \ M_{i}}$es el número incremental de usuarios finales del producto de i.ª generación
• ${\displaystyle \ a_{i}}$es la tasa promedio (continua) de repetición de compras entre quienes adoptan el producto de i.ª generación
• ${\displaystyle \ t_{i}}$es el tiempo transcurrido desde la introducción del producto de i.ª generación
• ${\displaystyle \ F(t_{i})={\frac {1-e^{-(p+q)t_{i}}}{1+{\frac {q}{p}}e^{-(p+q)t_{i}}}}}$

Se ha descubierto que los términos p y q son generalmente los mismos entre generaciones sucesivas.

Relación con otras curvas s

Hay dos casos especiales del modelo de difusión de graves.

• El primer caso especial ocurre cuando q=0, cuando el modelo se reduce a la distribución exponencial .
• El segundo caso especial se reduce a la distribución logística , cuando p=0.

El modelo Bass es un caso especial de la distribución Gamma/Gompertz desplazada (G/SG): Bemmaor ^[9] (1994)

Uso en redes sociales online

El rápido y reciente crecimiento (a principios de 2007) de las redes sociales en línea (y otras comunidades virtuales ) ha llevado a un mayor uso del modelo de difusión Bass. El modelo de difusión de Bass se utiliza para estimar el tamaño y la tasa de crecimiento de estas redes sociales. El trabajo de Christian Bauckhage y sus coautores ^[10] muestra que el modelo de Bass proporciona una imagen más pesimista del futuro que modelos alternativos como la distribución de Weibull y la distribución de Gompertz desplazada.

Los rangos de los parámetros p, q.

Bass (1969) ^[2] distinguió entre un caso de p < q en el que las ventas periódicas crecen y luego disminuyen (un producto exitoso tiene un pico de ventas periódico); y un caso de p>q en el que las ventas periódicas disminuyen desde el lanzamiento (sin pico).

Jain et al. (1995) ^[11] exploraron el impacto de la siembra. Cuando se utiliza la siembra, la difusión puede comenzar cuando p + qF(0) > 0 incluso si el valor de p es negativo, pero un especialista en marketing utiliza una estrategia de siembra con un tamaño de semilla de F(0) > -p/q. La interpretación de un valor p negativo no significa necesariamente que el producto sea inútil: puede haber casos en los que existan barreras de precio o esfuerzo para la adopción cuando muy pocos ya lo han adoptado. Cuando otros lo adoptan, los beneficios del producto aumentan, debido a las externalidades o la reducción de la incertidumbre, y el producto se vuelve cada vez más plausible para muchos clientes potenciales.

Moldovan y Goldenberg (2004) ^[12] incorporaron el efecto boca a boca negativo (WOM) en la difusión, lo que implica la posibilidad de una q negativa. Una q negativa no significa necesariamente que los adoptantes estén decepcionados e insatisfechos con su compra. Puede encajar en un caso en el que el beneficio de un producto disminuye a medida que más personas lo adoptan. Por ejemplo, para un determinado nivel de demanda de viajes en tren, se pueden vender billetes reservados a quienes deseen garantizar un asiento. Aquellos que no reserven asiento pueden tener que desplazarse de pie. A medida que se venden más asientos reservados, se reduce la aglomeración en el vagón no reservado y aumenta la probabilidad de encontrar un asiento en el vagón no reservado, lo que reduce el incentivo para comprar asientos reservados. Mientras que la curva de ventas no acumuladas con q negativo es similar a aquellas con q =0, la curva de ventas acumuladas presenta una situación más interesante: cuando p > -q, el mercado alcanzará eventualmente el 100% de su potencial, como para un valor positivo regular de q . Sin embargo, si p < -q, a largo plazo, el mercado se saturará a un nivel de equilibrio –p/q de su potencial.

Orbach (2022) ^[13] resumió el comportamiento de difusión en cada porción del espacio p,q y mapea las regiones extendidas ( p , q ) más allá del cuadrante derecho positivo (donde la difusión es espontánea) a otras regiones donde la difusión enfrenta barreras (negativas). p ), donde la difusión requiere “estímulos” para comenzar, o se produce resistencia de los adoptantes a nuevos miembros ( q negativo ), que podría estabilizar el mercado por debajo de la adopción total.

Un mapa del espacio extendido Bass p - q ^[13]

Adopción de este modelo.

El modelo es una de las generalizaciones empíricas más citadas en marketing; En agosto de 2023, el artículo "A New Product Growth for Model Consumer Durables" publicado en Management Science tenía (aproximadamente) 11352 citas en Google Scholar. ^[14]

Este modelo ha tenido una gran influencia en la ciencia del marketing y la gestión. En 2004 fue seleccionado como uno de los diez artículos más citados en los 50 años de historia de la ciencia de la gestión . ^[3] Ocupó el puesto número cinco y fue el único documento de marketing de la lista. Posteriormente se reimprimió en la edición de diciembre de 2004 de Management Science . ^[3]

El modelo Bass fue desarrollado para bienes de consumo duraderos. Sin embargo, también se ha utilizado para pronosticar la aceptación en el mercado de numerosos productos y servicios industriales y de consumo, incluidos productos tangibles, no tangibles, médicos ^{[15] [16]} y financieros ^[17] . Sultán ^[18] et al. (1990) aplicaron el modelo de Bass a 213 categorías de productos, en su mayoría bienes de consumo duraderos (en una amplia gama de precios), pero también a servicios como moteles y productos industriales/agrícolas como semillas de maíz híbridas.

Ver también

• Difusión de la innovación
• Previsión
• Modelo de usuario perezoso
• Distribución de Gompertz desplazada

Referencias

1. Bajo, Frank M. (2004). "Comentarios sobre" El crecimiento de un nuevo producto para bienes de consumo duraderos modelo ": el modelo Bass". Ciencias de la gestión . 50 (12): 1833–1840. CiteSeerX  10.1.1.460.1976 . doi :10.1287/mnsc.1040.0300. Quizás lo primero que hay que notar sobre el artículo que ha llegado a ser conocido como "Bass Model" (Bass 1969) es el título. Contiene un error tipográfico. El artículo se publicó con el título: "Un nuevo crecimiento de productos para bienes de consumo duraderos modelo". El título correcto debería ser: "Un nuevo modelo de crecimiento de productos de consumo duradero".
2. Bass, Frank (1969). "Un nuevo producto en crecimiento para modelos de bienes de consumo duraderos". Ciencias de la gestión . 15 (5): 215–227. doi :10.1287/mnsc.15.5.215.
3. Management Science 50 número 12, diciembre de 2004 ISSN  0025-1909 p1833-1840
4. Mahajan, Vijay; Müller, Eitan; Srivastava, Rajendra K. (1990). "Determinación de categorías de adoptantes mediante el uso de modelos de difusión de innovación". Revista de investigación de mercados . 27 (1): 37. doi : 10.2307/3172549. ISSN  0022-2437. JSTOR  3172549.
5. Mahajan, Vijay; Eitan Müller ; Bajo, Frank (1995). "Difusión de nuevos productos: generalizaciones empíricas y usos empresariales". Ciencia del marketing . 14 (3): G79-G88. doi :10.1287/mksc.14.3.G79.
6. Bajo, Frank M.; Trichy V. Krishnan; Dipak C. Jain (1994). "Por qué el modelo Bass encaja sin variables de decisión". Ciencia del marketing . 13 (2): 203–223. doi :10.1287/mksc.13.3.203.
7. Orbach, Yair (27 de abril de 2016). "Análisis paramétrico del modelo de Bass". Comercialización innovadora . 12 (1): 29–40. doi : 10.21511/im.12(1).2016.03 . ISSN  1814-2427.
8. Norton, John A.; Frank M. Bajo (1987). "Un modelo de teoría de la difusión de adopción y sustitución de generaciones sucesivas de productos de alta tecnología". Ciencias de la gestión . 33 (9): 1069–1086. CiteSeerX 10.1.1.565.4068 . doi :10.1287/mnsc.33.9.1069. 
9. Bemmaor, Albert C. (1994). "Modelado de la difusión de nuevos bienes duraderos: efecto del boca a boca versus heterogeneidad del consumidor". En G. Laurent, GL Lilien y B. Pras (ed.). Tradiciones de investigación en marketing . Boston: Editores académicos de Kluwer. págs. 201–223. ISBN 978-0-7923-9388-7.
10. Bauckhage, cristiano; Kersting, Kristian (2014). "Fuertes regularidades en el crecimiento y disminución de la popularidad de los servicios de redes sociales". arXiv : 1406.6529 [cs.SI].
11. Jain DC, Mahajan, V. Muller, E. (1995). "Un enfoque para determinar el muestreo óptimo para la difusión de un nuevo producto". Revista de Gestión de la Innovación de Productos . 12 (2): 124-135. doi :10.1111/1540-5885.1220124.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
12. Moldavo y Goldenberg (2004). "Modelado de autómatas celulares de resistencia a las innovaciones: efectos y soluciones". Previsión Tecnológica y Cambio Social . 71 (5): 425–442. doi :10.1016/S0040-1625(03)00026-X.
13. Orbach, Yair (2022). Previsión de la dinámica del mercado y la tecnología . Israel: Prensa de la Universidad Ariel. págs. 153-155. ISBN 978-965-7632-40-6.
14. "Google Académico".
15. Kharrazi, Hadi; González, Claudia P; Lowe, Kevin B; Huerta, Timothy R; Ford, Eric W (7 de agosto de 2018). "Previsión de la maduración de las funciones de los registros médicos electrónicos entre los hospitales de EE. UU.: análisis retrospectivo y modelo predictivo". Revista de investigación médica en Internet . 20 (8): e10458. doi : 10.2196/10458 . ISSN  1438-8871. PMC 6104443 . PMID  30087090. 
16. Dunn, Adam G; Braithwaite, Jeffrey; Gállego, Blanca; Día, Richard O; Runciman, William; Coiera, Enrico (10 de agosto de 2012). "Adopción a escala nacional de nuevos medicamentos por parte de los médicos: una aplicación del modelo de difusión de Bass". Investigación de servicios de salud de BMC . 12 (1): 248. doi : 10.1186/1472-6963-12-248 . ISSN  1472-6963. PMC 3441328 . PMID  22876867. 
17. "Pensiones ocupacionales voluntarias", Pensiones de la OCDE de un vistazo 2005 , Pensiones de la OCDE de un vistazo, OCDE, págs. 191-192, 2006-05-03, doi :10.1787/pension_glance-2005-44-en, ISBN 978-92-64-01871-6, consultado el 4 de septiembre de 2023
18. Sultán, Fareena; Farley, John U.; Lehmann, Donald R. (febrero de 1990). "Un metaanálisis de aplicaciones de modelos de difusión". Revista de investigación de mercados . 27 (1): 70–77. doi :10.1177/002224379002700107. ISSN  0022-2437. S2CID  167853623.