Modelado del comportamiento

El enfoque conductual de la teoría de sistemas y de control fue iniciado a finales de los años 1970 por JC Willems como resultado de la resolución de inconsistencias presentes en los enfoques clásicos basados ​​en el espacio de estados, la función de transferencia y las representaciones de convolución. Este enfoque también está motivado por el objetivo de obtener un marco general para el análisis y control de sistemas que respete la física subyacente .

El objeto principal del enfoque conductual es el comportamiento, es decir, el conjunto de todas las señales compatibles con el sistema. Una característica importante del enfoque conductual es que no distingue una prioridad entre las variables de entrada y de salida. Además de sentar bases rigurosas para la teoría y el control de sistemas, el enfoque conductual unificó los enfoques existentes y aportó nuevos resultados sobre la capacidad de control de los sistemas nD , el control mediante interconexión ^{[1] y la identificación de sistemas [2]} .

Sistema dinámico como conjunto de señales

En el contexto conductual, un sistema dinámico es un triple

${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$

dónde

• ${\displaystyle \mathbb {T} \subseteq \mathbb {R} }$es el "conjunto de tiempo" - las instancias de tiempo durante las cuales el sistema evoluciona,
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$es el "espacio de señal", el conjunto en el que las variables cuya evolución temporal se modela toman sus valores, y
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$el "comportamiento" – el conjunto de señales que son compatibles con las leyes del sistema

( denota el conjunto de todas las señales, es decir, funciones de en ). ${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {W} }$

${\displaystyle w\in {\mathcal {B}}}$significa que es una trayectoria del sistema, mientras que significa que las leyes del sistema prohíben que la trayectoria ocurra. Antes de que se modele el fenómeno, cada señal en se considera posible, mientras que después del modelado, solo los resultados en permanecen como posibilidades. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w\notin {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Casos especiales:

• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} }$– sistemas de tiempo continuo
• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$– sistemas de tiempo discreto
• ${\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{q}}$– la mayoría de los sistemas físicos
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$un conjunto finito – sistemas de eventos discretos

Sistemas diferenciales lineales invariantes en el tiempo

Las propiedades del sistema se definen en términos del comportamiento. Se dice que el sistema es ${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$

• "lineal" si es un espacio vectorial y es un subespacio lineal de , ${\displaystyle \mathbb {W} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$
• "invariante en el tiempo" si el conjunto de tiempo consiste en números reales o naturales y

${\displaystyle \sigma ^{t}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}}$Para todos , ${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$

donde denota el -desplazamiento, definido por ${\displaystyle \sigma ^{t}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \sigma ^{t}(f)(t'):=f(t'+t)}$.

En estas definiciones, la linealidad articula la ley de superposición , mientras que la invariancia temporal articula que el desplazamiento temporal de una trayectoria legal es a su vez una trayectoria legal.

Un "sistema diferencial lineal invariante en el tiempo" es un sistema dinámico cuyo comportamiento es el conjunto solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de coeficientes constantes , donde es una matriz de polinomios con coeficientes reales. Los coeficientes de son los parámetros del modelo. Para definir el comportamiento correspondiente, necesitamos especificar cuándo consideramos que una señal es una solución de . Para facilitar la exposición, a menudo se consideran infinitas soluciones diferenciables. Existen otras posibilidades, como tomar soluciones distribucionales, o soluciones en , y con las ecuaciones diferenciales ordinarias interpretadas en el sentido de distribuciones. El comportamiento definido es ${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q},{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle R(d/dt)w=0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle w:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$ ${\displaystyle R(d/dt)w=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\rm {local}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{w\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})~|~R(d/dt)w(t)=0{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \}.}$

Esta forma particular de representar el sistema se denomina "representación del núcleo" del sistema dinámico correspondiente. Existen muchas otras representaciones útiles del mismo comportamiento, entre ellas la función de transferencia, el espacio de estados y la convolución.

Para fuentes accesibles sobre el enfoque conductual, véase ^[3] . ^[4]

Observabilidad de variables latentes

Una cuestión clave del enfoque conductual es si una cantidad w1 puede deducirse dada una cantidad observada w2 y un modelo . Si w1 puede deducirse dada w2 y el modelo, se dice que w2 es observable . En términos de modelado matemático, la cantidad o variable que se va a deducir se suele denominar variable latente y la variable observada es la variable manifiesta. A un sistema de este tipo se lo denomina entonces sistema observable (variable latente).

Referencias

1. JC Willems Sobre interconexiones, control y retroalimentación IEEE Transactions on Automatic Control Volumen 42, páginas 326-339, 1997 Disponible en línea http://homes.esat.kuleuven.be/~jwillems/Articles/JournalArticles/1997.4.pdf
2. I. Markovsky, JC Willems, B. De Moor y S. Van Huffel . Modelado exacto y aproximado de sistemas lineales: un enfoque conductual. Monografía 13 en “Modelado matemático y computación”, SIAM, 2006. Disponible en línea http://homepages.vub.ac.be/~imarkovs/siam-book.pdf Archivado el 6 de julio de 2022 en Wayback Machine.
3. J. Polderman y JC Willems. "Introducción a la teoría matemática de sistemas y control". Springer-Verlag, Nueva York, 1998, xxii + 434 pp. Disponible en línea http://wwwhome.math.utwente.nl/~poldermanjw/onderwijs/DISC/mathmod/book.pdf.
4. JC Willems. El enfoque conductual para sistemas abiertos e interconectados: modelado mediante corte, acercamiento y vinculación. "Control Systems Magazine", 27:46–99, 2007. Disponible en línea http://homes.esat.kuleuven.be/~jwillems/Articles/JournalArticles/2007.1.pdf.

Fuentes adicionales

• Paolo Rapisarda y Jan C. Willems, 2006. Recent Developments in Behavioral System Theory, 24-28 de julio de 2006, MTNS 2006, Kioto, Japón
• JC Willems. Terminales y puertos. Revista IEEE Circuits and Systems, volumen 10, número 4, páginas 8 a 16, diciembre de 2010
• JC Willems y HL Trentelman. Sobre formas diferenciales cuadráticas. Revista SIAM sobre control y optimización, volumen 36, páginas 1702-1749, 1998
• JC Willems. Paradigmas y enigmas en la teoría de sistemas dinámicos. IEEE Transactions on Automatic Control, volumen 36, páginas 259-294, 1991
• JC Willems. Modelos para dinámica. Dynamics Reported, volumen 2, páginas 171-269, 1989