Observabilidad

En la teoría de control, estado visible de un sistema.

La observabilidad es una medida de qué tan bien se pueden inferir los estados internos de un sistema a partir del conocimiento de sus resultados externos. En la teoría de control , la observabilidad y la controlabilidad de un sistema lineal son duales matemáticos .

El concepto de observabilidad fue introducido por el ingeniero húngaro-estadounidense Rudolf E. Kálmán para sistemas dinámicos lineales. ^{[1] [2]} Un sistema dinámico diseñado para estimar el estado de un sistema a partir de mediciones de las salidas se denomina observador de estado para ese sistema, como los filtros de Kalman .

Definición

Consideremos un sistema físico modelado en representación de espacio de estados . Se dice que un sistema es observable si, para cada posible evolución de los vectores de estado y control , el estado actual puede estimarse utilizando únicamente la información de las salidas (físicamente, esto generalmente corresponde a la información obtenida por sensores ). En otras palabras, se puede determinar el comportamiento de todo el sistema a partir de las salidas del sistema. Por otro lado, si el sistema no es observable, existen trayectorias de estados que no se pueden distinguir midiendo únicamente las salidas.

Sistemas lineales invariantes en el tiempo

Para los sistemas lineales invariantes en el tiempo en la representación del espacio de estados, existen pruebas convenientes para verificar si un sistema es observable. Considere un sistema SISO con variables de estado (consulte el espacio de estados para obtener detalles sobre los sistemas MIMO ) dadas por ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}$

Matriz de observabilidad

Si y solo si el rango de columna de la matriz de observabilidad , definida como

${\displaystyle {\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}}$

es igual a , entonces el sistema es observable. La razón de esta prueba es que si las columnas son linealmente independientes, entonces cada una de las variables de estado es visible a través de combinaciones lineales de las variables de salida . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y}$

Conceptos relacionados

Índice de observabilidad

El índice de observabilidad de un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo es el número natural más pequeño para el que se satisface lo siguiente: , donde ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v})}={\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v+1})}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{v-1}\end{bmatrix}}.}$

Subespacio no observable

El subespacio inobservable del sistema lineal es el núcleo de la función lineal dada por ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\colon \mathbb {R} ^{n}&\rightarrow {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})\\x(0)&\mapsto Ce^{At}x(0)\end{aligned}}}$

donde es el conjunto de funciones continuas de a . también se puede escribir como ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker(CA^{k})=\ker {\mathcal {O}}}$

Dado que el sistema es observable si y sólo si , el sistema es observable si y sólo si es el subespacio cero. ${\displaystyle \operatorname {rank} ({\mathcal {O}})=n}$ ${\displaystyle N}$

Las siguientes propiedades para el subespacio inobservable son válidas: ^[3]

• ${\displaystyle N\subset Ke(C)}$
• ${\displaystyle A(N)\subset N}$
• ${\displaystyle N=\bigcup \{S\subset R^{n}\mid S\subset Ke(C),A(S)\subset N\}}$

Detectabilidad

Un concepto ligeramente más débil que el de observabilidad es el de detectabilidad . Un sistema es detectable si todos los estados no observables son estables. ^[4]

Las condiciones de detectabilidad son importantes en el contexto de las redes de sensores . ^{[5] [6]}

Sistemas lineales variables en el tiempo

Consideremos el sistema lineal continuo variante en el tiempo

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\,}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t).\,}$

Supongamos que las matrices , y se dan así como las entradas y las salidas y para todos entonces es posible determinar a dentro de un vector constante aditivo que se encuentra en el espacio nulo de definido por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}];}$ ${\displaystyle x(t_{0})}$ ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\varphi (t,t_{0})^{T}C(t)^{T}C(t)\varphi (t,t_{0})\,dt}$

donde es la matriz de transición de estado . ${\displaystyle \varphi }$

Es posible determinar un único si no es singular . De hecho, no es posible distinguir el estado inicial de del de si está en el espacio nulo de . ${\displaystyle x(t_{0})}$ ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}-x_{2}}$ ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

Tenga en cuenta que la matriz definida anteriormente tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$es simétrico
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$es semidefinido positivo para ${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$satisface la ecuación diferencial matricial lineal

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1})A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$satisface la ecuación

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=M(t_{0},t)+\varphi (t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\varphi (t,t_{0})}$^[7]

Generalización de la matriz de observabilidad

El sistema es observable en si y sólo si existe un intervalo en tal que la matriz no es singular. ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

Si son analíticos, entonces el sistema es observable en el intervalo [ , ] si existe y un entero positivo k tal que ^[8] ${\displaystyle A(t),C(t)}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t_{1}]}$

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}&N_{0}({\bar {t}})&\\&N_{1}({\bar {t}})&\\&\vdots &\\&N_{k}({\bar {t}})&\end{bmatrix}}=n,}$

donde y se define recursivamente como ${\displaystyle N_{0}(t):=C(t)}$ ${\displaystyle N_{i}(t)}$

${\displaystyle N_{i+1}(t):=N_{i}(t)A(t)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N_{i}(t),\ i=0,\ldots ,k-1}$

Ejemplo

Consideremos un sistema que varía analíticamente en matrices y ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}},\,C(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}.}$

Entonces , y dado que esta matriz tiene rango = 3, el sistema es observable en cada intervalo no trivial de . ${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{0}(0)\\N_{1}(0)\\N_{2}(0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Sistemas no lineales

Dado el sistema , . Donde el vector de estado, el vector de entrada y el vector de salida deben ser campos vectoriales suaves. ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}}$ ${\displaystyle y_{i}=h_{i}(x),i\in p}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle f,g,h}$

Defina el espacio de observación como el espacio que contiene todas las derivadas de Lie repetidas , entonces el sistema es observable en si y solo si , donde ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{s}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \dim(d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0}))=n}$

${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0})=\operatorname {span} (dh_{1}(x_{0}),\ldots ,dh_{p}(x_{0}),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k=1,2,\ldots .}$^[9]

Los primeros criterios de observabilidad en sistemas dinámicos no lineales fueron descubiertos por Griffith y Kumar, ^[10] Kou, Elliot y Tarn, ^[11] y Singh. ^[12]

También existen criterios de observabilidad para sistemas no lineales que varían en el tiempo. ^[13]

Sistemas estáticos y espacios topológicos generales

La observabilidad también puede caracterizarse para sistemas de estado estable (sistemas típicamente definidos en términos de ecuaciones algebraicas y desigualdades), o más generalmente, para conjuntos en . ^{[14] [15]} Así como los criterios de observabilidad se utilizan para predecir el comportamiento de los filtros de Kalman u otros observadores en el caso del sistema dinámico, los criterios de observabilidad para conjuntos en se utilizan para predecir el comportamiento de la conciliación de datos y otros estimadores estáticos. En el caso no lineal, la observabilidad puede caracterizarse para variables individuales, y también para el comportamiento del estimador local en lugar de solo el comportamiento global. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Véase también

• Controlabilidad
• Lema de Hautus
• Identificabilidad
• Observador estatal
• Espacio de estados (controles)

Referencias

1. Kalman, RE (1960). "Sobre la teoría general de los sistemas de control". IFAC Proceedings Volumes . 1 : 491–502. doi :10.1016/S1474-6670(17)70094-8.
2. Kalman, RE (1963). "Descripción matemática de sistemas dinámicos lineales". Revista de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Serie A: Control . 1 (2): 152–192. doi :10.1137/0301010.
3. Sontag, ED, "Teoría del control matemático", Textos en Matemáticas Aplicadas, 1998
4. "Controlabilidad y observabilidad" (PDF) . Consultado el 19 de mayo de 2024 .
5. Li, W.; Wei, G.; Ho, DWC; Ding, D. (noviembre de 2018). "Una detectabilidad ponderadamente uniforme para redes de sensores". Transacciones IEEE sobre redes neuronales y sistemas de aprendizaje . 29 (11): 5790–5796. doi :10.1109/TNNLS.2018.2817244. PMID  29993845. S2CID  51615852.
6. Li, W.; Wang, Z.; Ho, DWC; Wei, G. (2019). "Sobre la acotación de las covarianzas de error para problemas de filtrado de consenso de Kalman". IEEE Transactions on Automatic Control . 65 (6): 2654–2661. doi :10.1109/TAC.2019.2942826. S2CID  204196474.
7. Brockett, Roger W. (1970). Sistemas lineales de dimensión finita . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5.
8. Eduardo D. Sontag, Teoría del control matemático: sistemas deterministas de dimensión finita.
9. Apuntes de conferencias sobre teoría de sistemas no lineales por el prof. dr. D. Jeltsema, prof dr. JMAScherpen y el prof dr. AJvan der Schaft.
10. Griffith, EW; Kumar, KSP (1971). "Sobre la observabilidad de sistemas no lineales: I". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 35 : 135–147. doi :10.1016/0022-247X(71)90241-1.
11. Kou, Shauying R.; Elliott, David L.; Tarn, Tzyh Jong (1973). "Observabilidad de sistemas no lineales". Información y Control . 22 : 89–99. doi : 10.1016/S0019-9958(73)90508-1 .
12. Singh, Sahjendra N. (1975). "Observabilidad en sistemas no lineales con entradas inmensurables". Revista internacional de ciencia de sistemas . 6 (8): 723–732. doi :10.1080/00207727508941856.
13. Martinelli, Agostino (2022). "Extensión de la condición de rango de observabilidad a sistemas no lineales que varían en el tiempo". IEEE Transactions on Automatic Control . 67 (9): 5002–5008. doi :10.1109/TAC.2022.3180771. ISSN  0018-9286. S2CID  251957578.
14. Stanley, GM; Mah, RSH (1981). "Observabilidad y redundancia en la estimación de datos de proceso" (PDF) . Chemical Engineering Science . 36 (2): 259–272. Bibcode :1981ChEnS..36..259S. doi :10.1016/0009-2509(81)85004-X.
15. Stanley, GM; Mah, RSH (1981). "Observabilidad y clasificación de redundancia en redes de procesos" (PDF) . Chemical Engineering Science . 36 (12): 1941–1954. doi :10.1016/0009-2509(81)80034-6.

Enlaces externos

• "Observabilidad". PlanetMath .
• Función de MATLAB para comprobar la observabilidad de un sistema
• Función de Mathematica para comprobar la observabilidad de un sistema