tensor mixto

Tensor que tiene índices covariantes y contravariantes

En análisis tensorial , un tensor mixto es un tensor que no es ni estrictamente covariante ni estrictamente contravariante ; al menos uno de los índices de un tensor mixto será un subíndice (covariante) y al menos uno de los índices será un superíndice (contravariante).

Un tensor mixto de tipo o valencia , también escrito "tipo ( M , N )", con M > 0 y N > 0, es un tensor que tiene M índices contravariantes y N índices covariantes. Tal tensor se puede definir como una función lineal que asigna una tupla ( M + N ) de M formas unitarias y N vectores a un escalar . ${\textstyle {\binom {M}{N}}}$

Cambiando el tipo de tensor

Considere el siguiente octeto de tensores relacionados:

$${\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }.}$$

tensor métrico g _μνg ^μνg _μνoperador de reducción del índiceg ^μν operador de elevación

Generalmente, el tensor métrico covariante, contraído con un tensor de tipo ( M , N ), produce un tensor de tipo ( M − 1, N + 1 ), mientras que su inverso contravariante, contraído con un tensor de tipo ( M , N ) , produce un tensor de tipo ( M + 1, N - 1).

Ejemplos

Como ejemplo, se puede obtener un tensor mixto de tipo (1, 2) elevando un índice de un tensor covariante de tipo (0, 3),

$${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\gamma \lambda },}$$

${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }}$ ${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }}$

$${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }\,\delta _{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },}$$

δ

Asimismo,

$${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },}$$

$${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda \epsilon }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }\,g^{\gamma \epsilon },}$$

$${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },}$$

$${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\lambda \epsilon }=g_{\lambda \beta }\,g_{\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }.}$$

Elevar un índice del tensor métrico equivale a contraerlo con su inverso, obteniéndose el delta de Kronecker ,

$${\displaystyle g^{\mu \lambda }\,g_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }=\delta ^{\mu }{}_{\nu },}$$

Ver también

• Covarianza y contravarianza de vectores.
• Notación de Einstein
• cálculo de ricci
• Tensor (definición intrínseca)
• tensor de dos puntos

Referencias

• DC Kay (1988). Cálculo tensorial . Esquemas de Schaum, McGraw Hill (EE.UU.). ISBN 0-07-033484-6.
• Wheeler, JA; Misner, C.; Thorne, KS (1973). "§3.5 Trabajar con tensores". Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 85–86. ISBN 0-7167-0344-0.
• R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.

enlaces externos

• Índice de gimnasia, Wolfram Alpha