Coplanaridad

En geometría , un conjunto de puntos en el espacio son coplanares si existe un plano geométrico que los contiene a todos. Por ejemplo, tres puntos son siempre coplanares y, si los puntos son distintos y no colineales , el plano que determinan es único. Sin embargo, un conjunto de cuatro o más puntos distintos, en general, no se encontrará en un único plano.

Dos rectas en el espacio tridimensional son coplanares si existe un plano que las incluya a ambas. Esto ocurre si las rectas son paralelas o si se intersecan entre sí. Dos rectas que no son coplanares se denominan rectas oblicuas .

La geometría de la distancia proporciona una técnica de solución para el problema de determinar si un conjunto de puntos es coplanar, conociendo únicamente las distancias entre ellos.

Propiedades en tres dimensiones

En el espacio tridimensional, dos vectores linealmente independientes con el mismo punto inicial determinan un plano que pasa por ese punto. Su producto vectorial es un vector normal a ese plano, y cualquier vector ortogonal a este producto vectorial que pase por el punto inicial estará en el plano. ^[1] Esto conduce a la siguiente prueba de coplanaridad utilizando un producto triple escalar :

Cuatro puntos distintos, $x 1, x 2, x 3, x 4$ , son coplanares si y sólo si,

[(x_{2}-x_{1})\times (x_{4}-x_{1})]\cdot (x_{3}-x_{1})=0.

que también es equivalente a

(x_{2}-x_{1})\cdot [(x_{4}-x_{1})\times (x_{3}-x_{1})]=0.

Si tres vectores $a, b, c$ son coplanares, entonces si $a \cdot b = 0$ (es decir, $a$ y $b$ son ortogonales) entonces

(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {a}} )\mathbf {\hat {a}} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {b}} )\ matemáticasbf {\hat {b}} =\mathbf {c},

donde ⁠ ⁠ $\mathbf {\hat {a}}$ denota el vector unitario en la dirección de $a$ . Es decir, las proyecciones vectoriales de $c$ sobre $a$ y $c$ sobre $b$ se suman para dar el $c$ original .

Coplanaridad de puntos ennortedimensiones cuyas coordenadas se dan

Dado que tres o menos puntos son siempre coplanares, el problema de determinar cuándo un conjunto de puntos son coplanares generalmente solo es de interés cuando hay al menos cuatro puntos involucrados. En el caso de que haya exactamente cuatro puntos, se pueden emplear varios métodos ad hoc , pero un método general que funciona para cualquier número de puntos utiliza métodos vectoriales y la propiedad de que un plano está determinado por dos vectores linealmente independientes .

En un espacio $n -dimensional donde$ $n \geq 3$ , un conjunto de $k$ puntos son coplanares si y solo si la matriz de sus diferencias relativas, es decir, la matriz cuyas columnas (o filas) son los vectores, es de rango 2 o menor. $\{p_{0},\ p_{1},\ \puntos ,\ p_{k-1}\}$ ${\overrightarrow {p_{0}p_{1}}},\ {\overrightarrow {p_{0}p_{2}}},\ \puntos ,\ {\overrightarrow {p_{0}p_{k-1}}}$

Por ejemplo, dados cuatro puntos

{\begin{aligned}X&=(x_{1},x_{2},\puntos ,x_{n}),\\Y&=(y_{1},y_{2},\puntos ,y_{n}),\\Z&=(z_{1},z_{2},\puntos ,z_{n}),\\W&=(w_{1},w_{2},\puntos ,w_{n}),\end{aligned}}

Si la matriz

{\begin{bmatrix}x_{1}-w_{1}&x_{2}-w_{2}&\dots &x_{n}-w_{n}\\y_{1}-w_{1} &y_{2}-w_{2}&\dots &y_{n}-w_{n}\\z_{1}-w_{1}&z_{2}-w_{2}&\dots &z_{n}-w_{n}\\\end{bmatriz}}

es de rango 2 o menos, los cuatro puntos son coplanares.

En el caso especial de un plano que contiene el origen, la propiedad se puede simplificar de la siguiente manera: Un conjunto de $k$ puntos y el origen son coplanares si y sólo si la matriz de las coordenadas de los $k$ puntos es de rango 2 o menor.

Formas geométricas

Un polígono oblicuo es un polígono cuyos vértices no son coplanares. Dicho polígono debe tener al menos cuatro vértices; no existen triángulos oblicuo.

Un poliedro que tiene volumen positivo tiene vértices que no son todos coplanares.

Véase también

Referencias

^ Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (edición alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, pág. 647, ISBN 0-87150-341-7

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Coplanar". MathWorld .