micropaquete

Generalización del concepto de paquete vectorial.

En matemáticas , un micropaquete es una generalización del concepto de paquete vectorial , introducido por el matemático estadounidense John Milnor en 1964. ^[1] Permite la creación de objetos similares a paquetes en situaciones en las que normalmente no se pensaría que existieran. Por ejemplo, el paquete tangente se define para una variedad suave pero no para una variedad topológica ; El uso de micropaquetes permite la definición de un paquete tangente topológico .

Definición

Un micropaquete (topológico) sobre un espacio topológico (el "espacio base") consta de un triple , donde hay un espacio topológico (el "espacio total"), y son mapas continuos (respectivamente, la "sección cero" y la " mapa de proyección") tal que: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (E,i,p)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i:B\to E}$ ${\displaystyle p:E\to B}$

1. la composición es la identidad de ; ${\displaystyle p\circ i}$ ${\displaystyle B}$
2. para cada , hay una vecindad de y una vecindad de tal que , , es homeomorfa a y los mapas y conmuta con y . ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle U\subseteq B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle V\subseteq E}$ ${\displaystyle i(b)}$ ${\displaystyle i(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle p(V)\subseteq U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p_{\mid V}:V\to U}$ ${\displaystyle i_{\mid U}:U\to V}$ ${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}:U\times \mathbb {R} ^{n}\to U}$ ${\displaystyle U\to U\times \mathbb {R} ^{n},x\mapsto (x,0)}$

En analogía con los haces de vectores, el número entero también se denomina rango o dimensión de fibra del microhaz. De manera similar, tenga en cuenta que la primera condición sugiere que se debe considerar como la sección cero de un paquete de vectores, mientras que la segunda imita la condición de trivialidad local en un paquete. Una distinción importante aquí es que la "trivialidad local" para los micropaquetes sólo se cumple cerca de una vecindad de la sección cero. El espacio podría parecer muy salvaje lejos de ese vecindario. Además, los mapas que pegan parches localmente triviales del microhaz solo pueden superponerse a las fibras. ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle E}$

La definición de micropaquete se puede adaptar a otras categorías más generales que la suave , como la de variedades lineales por partes , reemplazando espacios topológicos y mapas continuos por objetos y morfismos adecuados.

Ejemplos

• Cualquier paquete de vectores de rango tiene un -microbundle subyacente obvio , donde está la sección cero. ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$
• Dado cualquier espacio topológico , el producto cartesiano (junto con la proyección sobre y el mapa ) define un micropaquete, llamado micropaquete trivial estándar de rango . De manera equivalente, es el micropaquete subyacente del paquete de vectores trivial de rango . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,0)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Dada una variedad topológica de dimensión , el producto cartesiano junto con la proyección sobre el primer componente y el mapa diagonal define un microhaz, llamado microhaz tangente de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle \Delta :M\to M\times M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$
• Dado un -micropaquete y un mapa continuo , el espacio define un -micropaquete , llamado micropaquete de retroceso (o inducido) por , junto con la proyección y la sección cero . Si es un paquete vectorial, el micropaquete de retroceso de su micropaquete subyacente es precisamente el micropaquete subyacente del paquete de retroceso estándar . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (E,i,p)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f^{*}E:=\{(a,e)\in A\times E\mid f(a)=p(e)\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:=\mathrm {pr} _{1}:f^{*}E\to A}$ ${\displaystyle i:A\to f^{*}E,x\mapsto (x,(i\circ f)(x))}$ ${\displaystyle p:E\to B}$
• Dado un micropaquete sobre y un subespacio , el micropaquete restringido , también indicado por , es el micropaquete de retroceso con respecto a la inclusión . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (E,i,p)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle E_{\mid A}=p^{-1}(A)}$ ${\displaystyle A\hookrightarrow B}$

Morfismos

Dos -microhaces y sobre el mismo espacio son isomórficos (o equivalentes) si existe una vecindad de y una vecindad de , junto con un homeomorfismo que conmuta con las proyecciones y las secciones cero. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (E_{1},i_{1},p_{1})}$ ${\displaystyle (E_{2},i_{2},p_{2})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V_{1}\subseteq E_{1}}$ ${\displaystyle i_{1}(B)}$ ${\displaystyle V_{2}\subseteq E_{2}}$ ${\displaystyle i_{2}(B)}$ ${\displaystyle V_{1}\cong V_{2}}$

De manera más general, un morfismo entre micropaquetes consiste en un germen de mapas continuos entre vecindades de las secciones cero como se indicó anteriormente. ${\displaystyle V_{1}\to V_{2}}$

Un micropaquete se llama trivial si es isomorfo al micropaquete trivial estándar de rango . Por lo tanto, la condición de trivialidad local en la definición de micropaquete puede reformularse de la siguiente manera: para cada existe una vecindad tal que la restricción es trivial. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle U\subseteq B}$ ${\displaystyle E_{\mid U}}$

De manera análoga a las variedades suaves paralelizables , una variedad topológica se llama topológicamente paralelizable si su microhaz tangente es trivial.

Propiedades

Un teorema de James Kister y Barry Mazur establece que existe una vecindad de la sección cero que en realidad es un haz de fibras con fibras y grupo de estructura , el grupo de homeomorfismos para fijar el origen. Esta vecindad es única hasta la isotopía . Por lo tanto, cada microhaz puede refinarse hasta convertirse en un haz de fibras real de una manera esencialmente única. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (\mathbb {R} ^{n},0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Tomando el haz de fibras contenido en el microhaz tangente se obtiene el haz tangente topológico . Intuitivamente, este paquete se obtiene tomando un sistema de gráficos pequeños para , dejando que cada gráfico tenga una fibra sobre cada punto del gráfico y pegando estos paquetes triviales superponiendo las fibras de acuerdo con los mapas de transición. ${\displaystyle (M\times M,\Delta ,\mathrm {pr} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

La teoría de micropaquetes es una parte integral del trabajo de Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann sobre estructuras suaves y estructuras PL en variedades de dimensiones superiores . ^[3]

Referencias

1. Milnor, John Willard (1964). "Micropaquetes. Yo". Topología . 3 : 53–80. doi :10.1016/0040-9383(64)90005-9. SEÑOR  0161346.
2. Kister, James M. (1964). "Los microhaces son haces de fibras". Anales de Matemáticas . 80 (1): 190–199. doi :10.2307/1970498. JSTOR  1970498. SEÑOR  0180986.
3. Kirby, Robion C .; Siebenmann, Laurent C. (1977). Ensayos fundamentales sobre variedades topológicas, suavizados y triangulaciones (PDF) . Anales de estudios de matemáticas. vol. 88. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-08191-3. SEÑOR  0645390.

• Galda, David; Greenwood, Sina (2000). "Micropaquetes, colectores y metrisabilidad". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 128 (9): 2801–2808. doi : 10.1090/s0002-9939-00-05343-0 . SEÑOR  1664358.
• Suiza, Robert M. (2002). Topología algebraica: homotopía y homología . Clásicos en Matemáticas. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-42750-6. SEÑOR  1886843.Consulte el Capítulo 14.

enlaces externos

• Micropaquete en Manifold Atlas.