Matriz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa

Matriz unitaria que contiene información sobre la interacción débil.

En el modelo estándar de física de partículas , la matriz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa , la matriz CKM , la matriz de mezcla de quarks o la matriz KM es una matriz unitaria que contiene información sobre la fuerza de la interacción débil que cambia el sabor . Técnicamente, especifica el desajuste de los estados cuánticos de los quarks cuando se propagan libremente y cuando participan en interacciones débiles . Es importante para comprender la violación del CP . Esta matriz fue introducida durante tres generaciones de quarks por Makoto Kobayashi y Toshihide Maskawa , añadiendo una generación a la matriz previamente introducida por Nicola Cabibbo . Esta matriz es también una extensión del mecanismo GIM , que sólo incluye dos de las tres familias de quarks actuales.

La matriz

Predecesor: la matriz Cabibbo

El ángulo de Cabibbo representa la rotación del espacio vectorial de estados propios de masa formado por los estados propios de masa hacia el espacio vectorial de estados propios débiles formado por los estados propios débiles θ _c = 13,02°. ${\displaystyle |d\rangle ,\,|s\rangle }$ ${\displaystyle |d'\rangle \,,~|\,s'\rangle ~.}$

En 1963, Nicola Cabibbo introdujo el ángulo de Cabibbo ( θ _c ) para preservar la universalidad de la interacción débil . ^[1] Cabibbo se inspiró en trabajos anteriores de Murray Gell-Mann y Maurice Lévy, ^[2] sobre el vector extraño y no extraño efectivamente rotado y las corrientes débiles axiales, a las que hace referencia. ^[3]

A la luz de los conceptos actuales (los quarks aún no se habían propuesto), el ángulo de Cabibbo está relacionado con la probabilidad relativa de que los quarks abajo y extraños se descompongan en quarks arriba ( | V _ud | ²   y | V _us | ²  , respectivamente). En la jerga de la física de partículas, el objeto que se acopla al quark up mediante una interacción débil de corriente cargada es una superposición de quarks de tipo down, aquí denotado por d′ . ^[4] Matemáticamente esto es:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

o usando el ángulo de Cabibbo:

${\displaystyle d'=\cos \theta _{\mathrm {c} }\;d~~+~~\sin \theta _{\mathrm {c} }\;s~.}$

Usando los valores actualmente aceptados para | V _ud | y | Vnosotros |_​ (ver más abajo), el ángulo de Cabibbo se puede calcular usando

${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {c} }={\frac {\,|V_{\mathrm {us} }|\,}{|V_{\mathrm {ud} }|}}={\frac {0.22534}{0.97427}}\quad \Rightarrow \quad \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }~.}$

Cuando se descubrió el quark charm en 1974, se observó que el quark down y el extraño podían descomponerse en el quark up o el charm, lo que llevó a dos conjuntos de ecuaciones:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

${\displaystyle s'=V_{\mathrm {cd} }\;d~~+~~V_{\mathrm {cs} }\;s~;}$

o usando el ángulo de Cabibbo:

${\displaystyle d'=~~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~,}$

${\displaystyle s'=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~.}$

Esto también se puede escribir en notación matricial como:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

o usando el ángulo Cabibbo

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

donde los diversos | V _ij | ² representan la probabilidad de que el quark de sabor j se descomponga en un quark de sabor i . Esta matriz de rotación de 2 × 2  se denomina "matriz Cabibbo" y posteriormente se amplió a la matriz CKM de 3 × 3.

Una representación pictórica de los modos de desintegración de los seis quarks, con la masa aumentando de izquierda a derecha.

matriz CKM

Un diagrama que muestra las rutas de descomposición debido a la interacción débil cargada y alguna indicación de su probabilidad. La intensidad de las líneas viene dada por los parámetros CKM.

En 1973, al observar que la violación de CP no podía explicarse en un modelo de cuatro quarks, Kobayashi y Maskawa generalizaron la matriz Cabibbo en la matriz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (o matriz CKM) para realizar un seguimiento de las desintegraciones débiles de tres generaciones de quarks: ^[5]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\\b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }&V_{\mathrm {ub} }\\V_{\mathrm {cd} }&V_{\mathrm {cs} }&V_{\mathrm {cb} }\\V_{\mathrm {td} }&V_{\mathrm {ts} }&V_{\mathrm {tb} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\end{bmatrix}}~.}$

A la izquierda están los dobletes de interacción débil de los quarks de tipo down, y a la derecha está la matriz CKM, junto con un vector de estados propios de masa de los quarks de tipo down. La matriz CKM describe la probabilidad de una transición de un quark de sabor j a otro quark de sabor i . Estas transiciones son proporcionales a | V _ij | ² .

A partir de 2023, la mejor determinación de las magnitudes individuales de los elementos de la matriz CKM fue: ^[6]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.97373\pm 0.00031&0.2243\pm 0.0008&0.00382\pm 0.00020\\0.221\pm 0.004&0.975\pm 0.006&0.0408\pm 0.0014\\0.0086\pm 0.0002&0.0415\pm 0.0009&1.014\pm 0.029\end{bmatrix}}.}$

Usando esos valores, se puede verificar la unitaridad de la matriz CKM. En particular, encontramos que los elementos de la matriz de la primera fila dan: ${\displaystyle |V_{\mathrm {ud} }|^{2}+|V_{\mathrm {us} }|^{2}+|V_{\mathrm {ub} }|^{2}=0.9985\pm 0.0007~;}$

La diferencia con el valor teórico de 1 plantea una tensión de 2,2  desviaciones estándar . La no unitaridad sería una indicación de que la física está más allá del modelo estándar.

La elección del uso de quarks de tipo down en la definición es una convención y no representa una asimetría físicamente preferida entre los quarks de tipo up y down. Otras convenciones son igualmente válidas: los estados propios de masa u , c y t de los quarks de tipo up pueden definir de manera equivalente la matriz en términos de sus socios de interacción débiles u′ , c′ y t′ . Dado que la matriz CKM es unitaria, su inversa es la misma que su transpuesta conjugada , que utilizan las opciones alternativas; aparece como la misma matriz, en una forma ligeramente alterada.

Construcción de casos generales

Para generalizar la matriz, cuente el número de parámetros físicamente importantes en esta matriz V que aparecen en los experimentos. Si hay N generaciones de quarks (2 N sabores ), entonces

• Una matriz unitaria N  ×  N (es decir, una matriz V tal que V ^† V = I , donde V ^† es la transpuesta conjugada de V e I es la matriz identidad) requiere que se especifiquen N ^{2 parámetros reales.}
• 2 N  − 1 de estos parámetros no son físicamente significativos, porque una fase puede ser absorbida en cada campo de quarks (tanto de los estados propios de masa como de los estados propios débiles), pero la matriz es independiente de una fase común. Por tanto, el número total de variables libres independientes de la elección de las fases de los vectores base es N ²  − (2 N  − 1) = ( N  − 1) ² .
  • De estos,1/2N ( N  − 1) son ángulos de rotación llamadosángulos de mezcla de quarks.
  • El restante1/2( N  − 1)( N  − 2) son fases complejas que provocan una violación de CP .

norte = 2

Para el caso N  = 2, sólo hay un parámetro, que es un ángulo de mezcla entre dos generaciones de quarks. Históricamente, esta fue la primera versión de la matriz CKM cuando sólo se conocían dos generaciones. Se llama ángulo Cabibbo en honor a su inventor Nicola Cabibbo .

norte = 3

Para el caso del modelo estándar ( N  = 3), hay tres ángulos de mezcla y una fase compleja que viola CP. ^[7]

Observaciones y predicciones

La idea de Cabibbo surgió de la necesidad de explicar dos fenómenos observados:

1. las transiciones u ↔ d , e ↔ ν _e y μ ↔ ν μ _tenían amplitudes similares.
2. las transiciones con cambio de extrañeza ΔS = 1 tuvieron amplitudes iguales a  1 /4de aquellos con ΔS = 0 .

La solución de Cabibbo consistió en postular una universalidad débil (ver más abajo) para resolver el primer problema, junto con un ángulo de mezcla θ _c , ahora llamado ángulo de Cabibbo , entre los quarks d y s para resolver el segundo.

Durante dos generaciones de quarks, no puede haber fases que violen el CP, como lo demuestra el recuento del apartado anterior. Dado que ya se habían observado violaciones de CP en 1964, en desintegraciones neutrales de kaones , el modelo estándar que surgió poco después indicaba claramente la existencia de una tercera generación de quarks, como señalaron Kobayashi y Maskawa en 1973. El descubrimiento del quark bottom en el Fermilab (por el grupo de Leon Lederman ) en 1976 se inició inmediatamente la búsqueda del quark top , el quark desaparecido de tercera generación.

Tenga en cuenta, sin embargo, que los valores específicos que toman los ángulos no son una predicción del modelo estándar: son parámetros libres . Actualmente no existe ninguna teoría generalmente aceptada que explique por qué los ángulos deben tener los valores que se miden en los experimentos.

Universalidad débil

Las restricciones de unitaridad de la matriz CKM en los términos diagonales se pueden escribir como

${\displaystyle \sum _{k}|V_{jk}|^{2}=\sum _{k}|V_{kj}|^{2}=1}$

por separado para cada generación j . Esto implica que la suma de todos los acoplamientos de cualquiera de los quarks de tipo arriba con todos los quarks de tipo abajo es la misma para todas las generaciones. Esta relación se llama universalidad débil y fue señalada por primera vez por Nicola Cabibbo en 1967. Teóricamente es una consecuencia del hecho de que todos los dobletes SU(2) se acoplan con la misma fuerza a los bosones vectoriales de interacciones débiles. Ha sido sometido a continuas pruebas experimentales.

Los triángulos unitarios

Las restricciones restantes de unitaridad de la matriz CKM se pueden escribir en la forma

${\displaystyle \sum _{k}V_{ik}V_{jk}^{*}=0~.}$

Para cualquier i y j fijos y diferentes , esta es una restricción sobre tres números complejos, uno para cada k , lo que dice que estos números forman los lados de un triángulo en el plano complejo . Hay seis opciones de i y j (tres independientes) y, por tanto, seis de esos triángulos, cada uno de los cuales se denomina triángulo unitario . Sus formas pueden ser muy diferentes, pero todas tienen la misma área, lo que puede estar relacionado con la fase de infracción de CP . El área desaparece para los parámetros específicos del modelo estándar para los cuales no habría violación de CP . La orientación de los triángulos depende de las fases de los campos de quarks.

Una cantidad popular que equivale al doble del área del triángulo unitario es la invariante de Jarlskog (introducida por Cecilia Jarlskog en 1985),

${\displaystyle J=c_{12}c_{13}^{2}c_{23}s_{12}s_{13}s_{23}\sin \delta \approx 3\cdot 10^{-5}~.}$

Para los índices griegos que denotan quarks arriba y los latinos quarks abajo, el tensor 4 es doblemente antisimétrico, ${\displaystyle \;(\alpha ,\beta ;i,j)\equiv \operatorname {Im} (V_{\alpha i}V_{\beta j}V_{\alpha j}^{*}V_{\beta i}^{*})\;}$

${\displaystyle (\beta ,\alpha ;i,j)=-(\alpha ,\beta ;i,j)=(\alpha ,\beta ;j,i)~.}$

Hasta la antisimetría, solo tiene 9 = 3 × 3 componentes que no desaparecen, los cuales, sorprendentemente, a partir de la unitaridad de V , se puede demostrar que son todos idénticos en magnitud , es decir,

${\displaystyle (\alpha ,\beta ;i,j)=J~{\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{\alpha \beta }\otimes {\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{ij}\;,}$

de modo que

${\displaystyle J=(u,c;s,b)=(u,c;d,s)=(u,c;b,d)=(c,t;s,b)=(c,t;d,s)=(c,t;b,d)=(t,u;s,b)=(t,u;b,d)=(t,u;d,s)~.}$

Dado que los tres lados de los triángulos están abiertos al experimento directo, al igual que los tres ángulos, una clase de pruebas del Modelo Estándar es comprobar que el triángulo se cierra. Este es el objetivo de una moderna serie de experimentos que se están llevando a cabo en los experimentos japonés BELLE y americano BaBar , así como en el LHCb del CERN, Suiza.

Parametrizaciones

Se requieren cuatro parámetros independientes para definir completamente la matriz CKM. Se han propuesto muchas parametrizaciones y a continuación se muestran tres de las más comunes.

Parámetros de km

La parametrización original de Kobayashi y Maskawa utilizó tres ángulos ( θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) y un ángulo de fase que viola CP ( δ ). ^[5] θ ₁ es el ángulo de Cabibbo. Para abreviar, los cosenos y senos de los ángulos θ _k se denotan c _k y s _k , para k = 1, 2, 3 respectivamente.        

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&-s_{1}c_{3}&-s_{1}s_{3}\\s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}.}$

Parámetros "estándar"

Una parametrización "estándar" de la matriz CKM utiliza tres ángulos de Euler ( θ ₁₂ , θ ₂₃ , θ ₁₃ ) y una fase que viola CP ( δ ₁₃ ). ^[8] θ ₁₂ es el ángulo de Cabibbo. Los acoplamientos entre las generaciones de quarks j y k desaparecen si θ _jk = 0 . Los cosenos y senos de los ángulos se denotan c _jk y s _jk , respectivamente.    

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta _{13}}&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Los valores de 2008 para los parámetros estándar fueron: ^[9]

θ12 =_​13,04° ± 0,05° , θ ₁₃ =0,201 ° ± 0,011° , θ23 ₌2,38° ± 0,06°

y

δ13 ​​=_​1,20 ± 0,08  radianes =68,8° ± 4,5° .

Parámetros de Wolfenstein

Lincoln Wolfenstein introdujo una tercera parametrización de la matriz CKM con los cuatro parámetros λ , A , ρ y η , que "desaparecerían" (serían cero) si no hubiera acoplamiento. ^[10] Los cuatro parámetros de Wolfenstein tienen la propiedad de que todos son de orden 1 y están relacionados con la parametrización 'estándar':

Aunque la parametrización de Wolfenstein de la matriz CKM puede ser tan exacta como se desee cuando se lleva a un orden superior, se utiliza principalmente para generar aproximaciones convenientes a la parametrización estándar. La aproximación al orden λ ³ , con una precisión buena o superior al 0,3%, es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}+O(\lambda ^{4})~.}$

Las tasas de violación de CP corresponden a los parámetros ρ y η .

Utilizando los valores de la sección anterior para la matriz CKM, a partir de 2008 la mejor determinación de los valores de los parámetros de Wolfenstein es: ^[11]

λ =0.2257+0,0009
−0,0010,     A =0.814+0,021
−0,022, ρ =0,135+0,031
−0,016, y   η =0,349+0,015
−0,017.

premio Nobel

En 2008, Kobayashi y Maskawa compartieron la mitad del Premio Nobel de Física "por el descubrimiento del origen de la simetría rota que predice la existencia de al menos tres familias de quarks en la naturaleza". ^[12] Se informó que algunos físicos albergaban sentimientos amargos por el hecho de que el comité del Premio Nobel no recompensara el trabajo de Cabibbo , cuyo trabajo anterior estaba estrechamente relacionado con el de Kobayashi y Maskawa. ^[13] Cuando se le pidió una reacción sobre el premio, Cabibbo prefirió no hacer ningún comentario. ^[14]

Ver también

• Formulación del Modelo Estándar y violaciones del CP
• Cromodinámica cuántica , sabor y fuerte problema de CP.
• Ángulo de Weinberg , un ángulo similar para Z y mezcla de fotones.
• Matriz Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata , la matriz de mezcla equivalente para neutrinos
• fórmula koide

Referencias

1. Cabibbo, N. (1963). "Simetría unitaria y desintegraciones leptónicas". Cartas de revisión física . 10 (12): 531–533. Código bibliográfico : 1963PhRvL..10..531C. doi : 10.1103/PhysRevLett.10.531 .
2. Gell-Mann, M .; Levy, M. (1960). "La corriente del vector axial en desintegración beta". El nuevo cemento . 16 (4): 705–726. Código Bib : 1960NCim...16..705G. doi :10.1007/BF02859738. S2CID  122945049.
3. Maiani, L. (2009). "Sul premio Nobel per la fisica 2008" [Sobre el premio Nobel de Física 2008] (PDF) . El nuevo Saggiatore . 25 (1–2): 78. Archivado desde el original (PDF) el 22 de julio de 2011 . Consultado el 30 de noviembre de 2010 .
4. Hughes, ES (1991). "Capítulo 11.1 - Mezcla de Cabibbo". Partículas elementales (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 242-243. ISBN 978-0-521-40402-0.
5. Kobayashi, M.; Maskawa, T. (1973). "Violación de CP en la teoría renormalizable de la interacción débil". Progresos de la Física Teórica . 49 (2): 652–657. Código bibliográfico : 1973PThPh..49..652K. doi : 10.1143/PTP.49.652 . hdl : 2433/66179 .
6. RL Workman y col. (Grupo de datos de partículas) (agosto de 2022). "Revisión de Física de partículas (y actualización de 2023)". Progresos de la Física Teórica y Experimental . 2022 (8): 083C01. doi : 10.1093/ptep/ptac097 . hdl : 20.500.11850/571164 . Consultado el 12 de septiembre de 2023 .
7. Báez, JC (4 de abril de 2011). «Los neutrinos y la misteriosa matriz Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata» . Consultado el 13 de febrero de 2016 . De hecho, la matriz Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata afecta al comportamiento de todos los leptones, no sólo de los neutrinos. Además, un truco similar funciona con los quarks, pero la matriz U se llama matriz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa.
8. Chau, LL; Keung, W.-Y. (1984). "Comentarios sobre la parametrización de la matriz Kobayashi-Maskawa". Cartas de revisión física . 53 (19): 1802–1805. Código bibliográfico : 1984PhRvL..53.1802C. doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1802.
9. Valores obtenidos a partir de valores de parámetros de Wolfenstein en la Review of Particle Physics de 2008 .
10. Wolfenstein, L. (1983). "Parametrización de la matriz Kobayashi-Maskawa". Cartas de revisión física . 51 (21): 1945-1947. Código bibliográfico : 1983PhRvL..51.1945W. doi :10.1103/PhysRevLett.51.1945.
11. Amsler, C.; Doser, M.; Antonelli, M.; Asner, DM; Babú, KS; Baer, ​​H.; et al. (Grupo de datos de partículas) (2008). "La matriz de mezcla de quarks CKM" (PDF) . Letras de Física B. Repaso de Física de Partículas. 667 (1): 1–1340. Código Bib : 2008PhLB..667....1A. doi :10.1016/j.physletb.2008.07.018. hdl : 1854/LU-685594 . S2CID  227119789.
12. "El Premio Nobel de Física 2008" (Presione soltar). La Fundación Nobel . 7 de octubre de 2008 . Consultado el 24 de noviembre de 2009 .
13. Jamieson, V. (7 de octubre de 2008). "Investigador clave del Nobel de Física" . Científico nuevo . Consultado el 24 de noviembre de 2009 .
14. "Nobel, la amarezza dei fisici italiani". Corriere della Sera (en italiano). 7 de octubre de 2008 . Consultado el 24 de noviembre de 2009 .

Lecturas adicionales y enlaces externos

• DJ Griffiths (2008). Introducción a las partículas elementales (2ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 978-3-527-40601-2.

• B. Povh; et al. (1995). Partículas y núcleos: una introducción a los conceptos físicos . Saltador . ISBN 978-3-540-20168-7.

• II Bigi, AI Sanda (2000). Violación del CP . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-44349-4.

• "Grupo de datos de partículas: la matriz de mezcla de quarks CKM" (PDF) .
• "Grupo de datos de partículas: violación de CP en desintegraciones de mesones" (PDF) .
• "El experimento de Babar".en SLAC , California, y "el experimento BELLE".en KEK , Japón.