medir el espacio

Conjunto sobre el que se define una generalización de volúmenes e integrales.

Un espacio de medidas es un objeto básico de la teoría de la medida , una rama de las matemáticas que estudia nociones generalizadas de volúmenes . Contiene un conjunto subyacente, los subconjuntos de este conjunto que son factibles de medir (la σ -álgebra ) y el método que se utiliza para medir (la medida ). Un ejemplo importante de un espacio de medidas es un espacio de probabilidad .

Un espacio mensurable consta de los dos primeros componentes sin una medida específica.

Definición

Un espacio de medida es un triple donde ^{[1] [2]} ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ),}$

• ${\displaystyle X}$es un conjunto
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es una σ -álgebra en el conjunto ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu }$es una medida sobre ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

En otras palabras, un espacio de medida consta de un espacio medible junto con una medida en él. ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

Ejemplo

Colocar . El álgebra en conjuntos finitos como el anterior suele ser el conjunto potencia , que es el conjunto de todos los subconjuntos (de un conjunto dado) y se denota por Siguiendo esta convención, establecemos ${\displaystyle X=\{0,1\}}$ ${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle \wp (\cdot ).}$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\wp (X)}$$

En este caso sencillo, el conjunto de potencias se puede escribir explícitamente:

$${\displaystyle \wp (X)=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}$$

Como medida, defina por ${\textstyle \mu }$

$${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}$$

${\textstyle \mu (X)=1}$ ${\textstyle \mu (\varnothing )=0}$

Esto lleva al espacio de medidas. Es un espacio de probabilidad , ya que la medida corresponde a la distribución de Bernoulli que se utiliza, por ejemplo, para modelar un lanzamiento de moneda justo. ${\textstyle (X,\wp (X),\mu ).}$ ${\textstyle \mu (X)=1.}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle p={\frac {1}{2}},}$

Clases importantes de espacios de medida.

Las clases más importantes de espacios de medidas se definen por las propiedades de sus medidas asociadas. Esto incluye, en orden de generalidad creciente:

• Espacios de probabilidad , un espacio de medida donde la medida es una medida de probabilidad ^[1]
• Espacios de medida finita, donde la medida es una medida finita ^[3]
• ${\displaystyle \sigma }$-espacios de medida finita, donde la medida es una medida -finita ^[3] ${\displaystyle \sigma }$

Otra clase de espacios de medida son los espacios de medida completos . ^[4]

Referencias

1. Kosorok, Michael R. (2008). Introducción a los Procesos Empíricos y la Inferencia Semiparamétrica . Nueva York: Springer. pag. 83.ISBN _ 978-0-387-74977-8.
2. Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 18. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
3. Anosov, DV (2001) [1994], "Medir el espacio", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
4. Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 33.doi : 10.1007 /978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.