Distribución de Cantor

Distribución de probabilidad

La distribución de Cantor es la distribución de probabilidad cuya función de distribución acumulativa es la función de Cantor .

Esta distribución no tiene una función de densidad de probabilidad ni una función de masa de probabilidad , ya que, aunque su función de distribución acumulativa es una función continua , la distribución no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue ni tiene masas puntuales. Por lo tanto, no es una distribución de probabilidad discreta ni absolutamente continua, ni tampoco una mezcla de estas. Más bien, es un ejemplo de una distribución singular .

Su función de distribución acumulativa es continua en todas partes, pero horizontal en casi todas partes, por lo que a veces se la denomina la escalera del diablo , aunque ese término tiene un significado más general.

Caracterización

El soporte de la distribución de Cantor es el conjunto de Cantor , que es en sí mismo la intersección de los conjuntos (contablemente infinitos):

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}={}&[0,1]\\[8pt]C_{1}={}&[0,1/3]\cup [2/3,1]\\[8pt]C_{2}={}&[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]\\[8pt]C_{3}={}&[0,1/27]\cup [2/27,1/9]\cup [2/9,7/27]\cup [8/27,1/3]\cup \\[4pt]{}&[2/3,19/27]\cup [20/27,7/9]\cup [8/9,25/27]\cup [26/27,1]\\[8pt]C_{4}={}&[0,1/81]\cup [2/81,1/27]\cup [2/27,7/81]\cup [8/81,1/9]\cup [2/9,19/81]\cup [20/81,7/27]\cup \\[4pt]&[8/27,25/81]\cup [26/81,1/3]\cup [2/3,55/81]\cup [56/81,19/27]\cup [20/27,61/81]\cup \\[4pt]&[62/81,21/27]\cup [8/9,73/81]\cup [74/81,25/27]\cup [26/27,79/81]\cup [80/81,1]\\[8pt]C_{5}={}&\cdots \end{aligned}}}$

La distribución de Cantor es la única distribución de probabilidad para la cual, para cualquier C _t ( t  ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }), la probabilidad de que un intervalo particular en C _t contenga la variable aleatoria distribuida según Cantor es idénticamente 2 ^{− t} en cada uno de los 2 intervalos ^t .

Momentos

Es fácil ver por simetría y estar acotado que para una variable aleatoria X que tiene esta distribución, su valor esperado E( X ) = 1/2, y que todos los momentos centrales impares de X son 0.

La ley de varianza total se puede utilizar para hallar la varianza var( X ), de la siguiente manera. Para el conjunto anterior C ₁ , sea Y = 0 si X  ∈ [0,1/3], y 1 si X  ∈ [2/3,1]. Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}1/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\\5/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\end{matrix}}\right\}\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}\end{aligned}}}$

De esto obtenemos:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{8}}.}$

Se puede encontrar una expresión en forma cerrada para cualquier momento central par obteniendo primero los cumulantes pares ^[1]

${\displaystyle \kappa _{2n}={\frac {2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n}}{n\,(3^{2n}-1)}},\,\!}$

donde B _{2 n} es el 2 n -ésimo número de Bernoulli , y luego expresando los momentos como funciones de los cumulantes .

Referencias

1. Morrison, Kent (23 de julio de 1998). "Paseos aleatorios con pasos decrecientes" (PDF) . Departamento de Matemáticas, Universidad Politécnica Estatal de California. Archivado desde el original (PDF) el 2 de diciembre de 2015. Consultado el 16 de febrero de 2007 .

Lectura adicional

• Hewitt, E.; Stromberg, K. (1965). Análisis real y abstracto . Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer-Verlag. Éste, como otros textos estándar, tiene la función de Cantor y sus derivadas unilaterales.
• Hu, Tian-You; Lau, Ka Sing (2002). "Asintótica de Fourier de medidas de tipo Cantor en el infinito". Proc. AMS . Vol. 130, núm. 9. págs. 2711–2717. Este es más moderno que los otros textos de esta lista de referencia.
• Knill, O. (2006). Teoría de la probabilidad y procesos estocásticos . India: Overseas Press.
• Mattilla, P. (1995). Geometría de conjuntos en espacios euclidianos . San Francisco: Cambridge University Press. Este tiene material más avanzado sobre fractales.