En física , los grados de libertad ( DOF ) de un sistema mecánico es el número de parámetros independientes que definen su configuración o estado. Es importante en el análisis de sistemas de cuerpos en ingeniería mecánica , ingeniería estructural , ingeniería aeroespacial , robótica y otros campos.
La posición de un solo vagón (motor) que se mueve a lo largo de una vía tiene un grado de libertad porque la posición del vagón está definida por la distancia a lo largo de la vía. Un tren de vagones rígidos conectados por bisagras a una locomotora todavía tiene sólo un grado de libertad porque las posiciones de los vagones detrás de la locomotora están limitadas por la forma de la vía.
Un automóvil con una suspensión muy rígida puede considerarse un cuerpo rígido que se desplaza en un plano (un espacio plano y bidimensional). Este cuerpo tiene tres grados de libertad independientes que constan de dos componentes de traslación y un ángulo de rotación. Patinar o derrapar es un buen ejemplo de los tres grados de libertad independientes de un automóvil.
La posición y orientación de un cuerpo rígido en el espacio está definida por tres componentes de traslación y tres componentes de rotación , lo que significa que tiene seis grados de libertad.
El método de diseño mecánico de restricción exacta gestiona los grados de libertad para no restringir ni sublimitar un dispositivo. [1]
La posición de un cuerpo rígido de n dimensiones se define mediante la transformación rígida , [ T ] = [ A , d ], donde d es una traslación de n dimensiones y A es una matriz de rotación de n × n , que tiene n grados de traslación de libertad y n ( n − 1)/2 grados de libertad de rotación. El número de grados de libertad de rotación proviene de la dimensión del grupo de rotación SO(n) .
Se puede considerar un cuerpo no rígido o deformable como una colección de muchas partículas diminutas (un número infinito de grados de libertad), esto a menudo se aproxima mediante un sistema de grados de libertad finitos. Cuando el principal objetivo de estudio es un movimiento que implica grandes desplazamientos (por ejemplo, para analizar el movimiento de los satélites), un cuerpo deformable puede aproximarse a un cuerpo rígido (o incluso a una partícula) para simplificar el análisis.
El grado de libertad de un sistema puede verse como el número mínimo de coordenadas necesarias para especificar una configuración. Aplicando esta definición tenemos:
Un solo cuerpo rígido tiene como máximo seis grados de libertad (6 DOF) 3T3R que consta de tres traslaciones 3T y tres rotaciones 3R .
Véase también ángulos de Euler .
Por ejemplo, el movimiento de un barco en el mar tiene los seis grados de libertad de un cuerpo rígido y se describe como: [2]
Por ejemplo, la trayectoria de un avión en vuelo tiene tres grados de libertad y su actitud a lo largo de la trayectoria tiene tres grados de libertad, para un total de seis grados de libertad.
Las restricciones físicas pueden limitar el número de grados de libertad de un solo cuerpo rígido. Por ejemplo, un bloque que se desliza sobre una mesa plana tiene 3 GDL 2T1R que consta de dos traslaciones 2T y 1 rotación 1R . Un robot de posicionamiento XYZ como SCARA tiene una movilidad inferior de 3 DOF 3T .
La fórmula de movilidad cuenta el número de parámetros que definen la configuración de un conjunto de cuerpos rígidos que están restringidos por uniones que conectan estos cuerpos. [3] [4]
Considere un sistema de n cuerpos rígidos que se mueven en el espacio y tiene 6 n grados de libertad medidos con respecto a un marco fijo. Para poder contar los grados de libertad de este sistema, se incluye el cuerpo fijo en el cómputo de cuerpos, de modo que la movilidad es independiente de la elección del cuerpo que forma el marco fijo. Entonces el grado de libertad del sistema no restringido de N = n + 1 es
porque el cuerpo fijo tiene cero grados de libertad con respecto a sí mismo.
Las articulaciones que conectan cuerpos en este sistema eliminan grados de libertad y reducen la movilidad. Específicamente, las bisagras y los controles deslizantes imponen cada uno cinco restricciones y, por lo tanto, eliminan cinco grados de libertad. Es conveniente definir el número de restricciones c que impone una articulación en términos de la libertad de la articulación f , donde c = 6 − f . En el caso de una bisagra o corredera, que son uniones de un grado de libertad, tienen f = 1 y por tanto c = 6 − 1 = 5.
El resultado es que la movilidad de un sistema formado por n eslabones móviles y j uniones cada una con libertad f i , i = 1, ..., j, está dada por
Recuerde que N incluye el enlace fijo.
Hay dos casos especiales importantes: (i) una cadena abierta simple y (ii) una cadena cerrada simple. Una única cadena abierta consta de n eslabones móviles conectados de extremo a extremo mediante n uniones, con un extremo conectado a un eslabón de tierra. Así, en este caso N = j + 1 y la movilidad de la cadena es
Para una cadena cerrada simple, n eslabones móviles están conectados de extremo a extremo mediante n + 1 uniones de modo que los dos extremos estén conectados al eslabón de tierra formando un bucle. En este caso, tenemos N = j y la movilidad de la cadena es
Un ejemplo de una cadena abierta simple es un robot manipulador en serie. Estos sistemas robóticos se construyen a partir de una serie de enlaces conectados por seis juntas prismáticas o de revolución de un grado de libertad, por lo que el sistema tiene seis grados de libertad.
Un ejemplo de una cadena cerrada simple es el enlace espacial de cuatro barras RSSR. La suma de las libertades de estas uniones es ocho, por lo que la movilidad del varillaje es dos, donde uno de los grados de libertad es la rotación del acoplador alrededor de la línea que une las dos uniones en S.
Es una práctica común diseñar el sistema de vínculos de modo que el movimiento de todos los cuerpos se vea obligado a reposar en planos paralelos, para formar lo que se conoce como vínculo plano . También es posible construir el sistema de vínculos de modo que todos los cuerpos se muevan en esferas concéntricas, formando un vínculo esférico . En ambos casos, los grados de libertad de los enlaces en cada sistema son ahora tres en lugar de seis, y las restricciones impuestas por los nodos ahora son c = 3 − f .
En este caso, la fórmula de movilidad viene dada por
y los casos especiales se vuelven
Un ejemplo de una cadena cerrada simple plana es el eslabón plano de cuatro barras , que es un bucle de cuatro barras con cuatro uniones de un grado de libertad y, por lo tanto, tiene movilidad M = 1.
Un sistema con varios cuerpos tendría un DOF combinado que es la suma de los DOF de los cuerpos, menos las restricciones internas que puedan tener sobre el movimiento relativo. Un mecanismo o varillaje que contiene varios cuerpos rígidos conectados puede tener más grados de libertad que los de un solo cuerpo rígido. Aquí el término grados de libertad se utiliza para describir el número de parámetros necesarios para especificar la postura espacial de un vínculo. También se define en el contexto del espacio de configuración, el espacio de tareas y el espacio de trabajo de un robot.
Un tipo específico de eslabón es la cadena cinemática abierta , donde un conjunto de eslabones rígidos se conectan en uniones ; una junta puede proporcionar un DOF (bisagra/deslizante) o dos (cilíndrico). Estas cadenas ocurren comúnmente en robótica , biomecánica y satélites y otras estructuras espaciales. Se considera que un brazo humano tiene siete grados de libertad. Un hombro proporciona cabeceo, guiñada y balanceo, un codo permite cabeceo y una muñeca permite cabeceo, guiñada y balanceo. Sólo serían necesarios 3 de esos movimientos para mover la mano a cualquier punto del espacio, pero las personas carecerían de la capacidad de agarrar cosas desde diferentes ángulos o direcciones. Se dice que un robot (u objeto) que tiene mecanismos para controlar los 6 grados de libertad físicos es holonómico. Un objeto con menos grados de libertad controlables que los grados de libertad totales se dice que no es holonómico, y un objeto con más grados de libertad controlables que los grados de libertad totales (como el brazo humano) se dice que es redundante. Aunque hay que tener en cuenta que no es redundante en el brazo humano por los dos DOF; muñeca y hombro, que representan el mismo movimiento; ruedan, se suministran entre sí ya que no pueden hacer un 360 completo. Los grados de libertad son como diferentes movimientos que se pueden realizar.
En la robótica móvil, un robot parecido a un automóvil puede alcanzar cualquier posición y orientación en el espacio 2D, por lo que necesita 3 grados de libertad para describir su pose, pero en cualquier punto, puede moverlo solo con un movimiento hacia adelante y un ángulo de dirección. Por tanto, tiene dos grados de libertad de control y tres grados de libertad representativos; es decir, no es holonómico. Un avión de ala fija, con 3 a 4 grados de libertad de control (movimiento hacia adelante, balanceo, cabeceo y, hasta cierto punto, guiñada) en un espacio tridimensional, tampoco es holonómico, ya que no puede moverse directamente hacia arriba/abajo o izquierda derecha.
Pennestri, Cavacece y Vita han proporcionado un resumen de fórmulas y métodos para calcular los grados de libertad en sistemas mecánicos. [5]
En ingeniería eléctrica, los grados de libertad se utilizan a menudo para describir el número de direcciones en las que una antena en fase puede formar haces o nulos . Es igual a uno menos que el número de elementos contenidos en el conjunto, ya que un elemento se utiliza como referencia contra la cual se puede aplicar interferencia constructiva o destructiva utilizando cada uno de los elementos de antena restantes. Práctica de radar y práctica de enlaces de comunicación, siendo más frecuente la dirección del haz para aplicaciones de radar y la dirección nula para la supresión de interferencias en los enlaces de comunicación.
