Número doble de Mersenne

En matemáticas , un número doble de Mersenne es un número de Mersenne de la forma

${\displaystyle M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1}$

donde p es primo .

Ejemplos

Los primeros cuatro términos de la secuencia de números dobles de Mersenne son ^[1] (secuencia A077586 en la OEIS ):

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$

${\displaystyle M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}$

Primos dobles de Mersenne

Un número doble de Mersenne que es primo se llama doble primo de Mersenne . Dado que un número de Mersenne M _p puede ser primo solo si p es primo (ver primo de Mersenne para una prueba), un número doble de Mersenne puede ser primo solo si M _p es en sí mismo un primo de Mersenne. Para los primeros valores de p para los que M _p es primo, se sabe que es primo para p = 2, 3, 5, 7 mientras que se han encontrado factores explícitos de para p = 13, 17, 19 y 31. ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ ${\displaystyle M_{M_{p}}}$

Por lo tanto, el candidato más pequeño para el próximo doble primo de Mersenne es , o 2 ^{2305843009213693951} − 1. Siendo aproximadamente 1,695 × 10 ^{694127911065419641} , este número es demasiado grande para cualquier prueba de primalidad conocida actualmente . No tiene ningún factor primo por debajo de 1 × 10 ³⁶ . ^[2] Probablemente no haya otros primos dobles de Mersenne aparte de los cuatro conocidos. ^{[1] [3]} ${\displaystyle M_{M_{61}}}$

El factor primo más pequeño de (donde p es el n -ésimo primo) son ${\displaystyle M_{M_{p}}}$

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... (el siguiente término es > 1 × 10 ³⁶ ) (secuencia A309130 en la OEIS )

Conjetura del número de Catalan-Mersenne

La secuencia definida recursivamente

${\displaystyle c_{0}=2}$

${\displaystyle c_{n+1}=2^{c_{n}}-1=M_{c_{n}}}$

se denomina secuencia de números de Catalan–Mersenne . ^[4] Los primeros términos de la secuencia (secuencia A007013 en la OEIS ) son:

${\displaystyle c_{0}=2}$

${\displaystyle c_{1}=2^{2}-1=3}$

${\displaystyle c_{2}=2^{3}-1=7}$

${\displaystyle c_{3}=2^{7}-1=127}$

${\displaystyle c_{4}=2^{127}-1=170141183460469231731687303715884105727}$

${\displaystyle c_{5}=2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\approx 5.45431\times 10^{51217599719369681875006054625051616349}\approx 10^{10^{37.70942}}}$

Catalan descubrió esta secuencia después del descubrimiento de la primalidad de por Lucas en 1876. ^{[1] [5]} Catalan conjeturó que son primos "hasta un cierto límite". Aunque los primeros cinco términos son primos, ningún método conocido puede probar que otros términos sean primos (en un tiempo razonable) simplemente porque son demasiado grandes. Sin embargo, si no es primo, existe la posibilidad de descubrirlo calculando módulo algún primo pequeño (usando exponenciación modular recursiva ). Si el residuo resultante es cero, representa un factor de y por lo tanto refutaría su primalidad. Dado que es un número de Mersenne , dicho factor primo tendría que ser de la forma . Además, dado que es compuesto cuando es compuesto, el descubrimiento de un término compuesto en la secuencia excluiría la posibilidad de cualquier otro primo en la secuencia. ${\displaystyle M_{127}=c_{4}}$ ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2kc_{4}+1}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle n}$

Si fuera primo, también contradeciría la nueva conjetura de Mersenne . Se sabe que es compuesto, con factor ^[6] . ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle {\frac {2^{c_{4}}+1}{3}}}$ ${\displaystyle 886407410000361345663448535540258622490179142922169401=5209834514912200c_{4}+1}$

En la cultura popular

En la película de Futurama La bestia de los mil millones de espaldas , el doble número de Mersenne aparece brevemente en "una prueba elemental de la conjetura de Goldbach ". En la película, este número se conoce como "primo marciano". ${\displaystyle M_{M_{7}}}$

Véase también

• Cadena Cunningham
• Función exponencial doble
• Número de Fermat
• Número perfecto
• Primer ministro de Wieferich

Referencias

1. Chris Caldwell, Primos de Mersenne: Historia, teoremas y listas en las páginas de primos .
2. "Estado de factorización de Double Mersenne 61". www.doublemersennes.org . Consultado el 31 de marzo de 2022 .
3. IJ Good. Conjeturas sobre los números de Mersenne. Matemáticas de la computación, vol. 9 (1955), págs. 120-121 [consultado el 19 de octubre de 2012]
4. Weisstein, Eric W. "Número catalán-Mersenne". MundoMatemático .
5. "Preguntas propuestas". Nueva correspondencia matemática . 2 : 94–96. 1876.(probablemente recopilada por el editor). Casi todas las preguntas están firmadas por Édouard Lucas, al igual que la número 92:

   Prouver que 2 ⁶¹  − 1 et 2 ¹²⁷  − 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*).

   La nota a pie de página (señalada con la estrella), escrita por el editor Eugène Catalan, es la siguiente:

   (*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2 ²  − 1, 2 ³  − 1, 2 ⁷  − 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une suree limite, si 2 ⁿ  − 1 est un nombre premier p , 2 ^p  − 1 est un nombre premier p ', 2 ^{p '}  − 1 est un nombre premier p", etc. Esta proposición a quelque analogie avec le théorème suivant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2 ⁿ + 1 est un nombre premier (EC) .

6. Nueva conjetura de Mersenne

Lectura adicional

• Dickson, LE (1971) [1919], Historia de la teoría de los números , Nueva York: Chelsea Publishing.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número doble de Mersenne". MundoMatemático .
• Tony Forbes, Una búsqueda de un factor de MM61 Archivado el 8 de febrero de 2009 en Wayback Machine .
• Estado de la factorización de números dobles de Mersenne
• Búsqueda doble de Mersennes Prime
• Operación Doppi Mersennes