Teorema de transferencia de potencia máxima

Teorema en ingeniería eléctrica

En ingeniería eléctrica , el teorema de transferencia de potencia máxima establece que, para obtener la máxima potencia externa de una fuente de energía con resistencia interna , la resistencia de la carga debe ser igual a la resistencia de la fuente vista desde sus terminales de salida. Moritz von Jacobi publicó el teorema de transferencia de potencia máxima alrededor de 1840; también se lo conoce como " ley de Jacobi ". ^[1]

El teorema da como resultado la transferencia máxima de potencia desde la fuente de energía a la carga, pero no la máxima eficiencia de la potencia útil de la potencia total consumida. Si la resistencia de carga se hace mayor que la resistencia de la fuente, entonces la eficiencia aumenta (ya que un porcentaje mayor de la potencia de la fuente se transfiere a la carga), pero la magnitud de la potencia de carga disminuye (ya que la resistencia total del circuito aumenta). ^[2] Si la resistencia de carga se hace menor que la resistencia de la fuente, entonces la eficiencia disminuye (ya que la mayor parte de la potencia termina siendo disipada en la fuente). Aunque la potencia total disipada aumenta (debido a una resistencia total menor), la cantidad disipada en la carga disminuye.

El teorema establece cómo elegir (para maximizar la transferencia de potencia) la resistencia de carga, una vez que se da la resistencia de la fuente. Es un error común aplicar el teorema en el escenario opuesto. No dice cómo elegir la resistencia de la fuente para una resistencia de carga dada. De hecho, la resistencia de la fuente que maximiza la transferencia de potencia desde una fuente de voltaje siempre es cero (la fuente de voltaje ideal hipotética ), independientemente del valor de la resistencia de carga.

El teorema puede extenderse a circuitos de corriente alterna que incluyen reactancia y establece que la máxima transferencia de potencia ocurre cuando la impedancia de carga es igual al conjugado complejo de la impedancia de la fuente.

Las matemáticas del teorema también se aplican a otras interacciones físicas, como: ^{[2] [3]}

• colisiones mecánicas entre dos objetos,
• el reparto de carga entre dos condensadores,
• flujo de líquido entre dos cilindros,
• la transmisión y reflexión de la luz en el límite entre dos medios.

Maximizar la transferencia de potencia versus eficiencia energética

Modelo simplificado para alimentar una carga con resistencia R _L mediante una fuente con voltaje V _S y resistencia R _S .

El teorema fue originalmente malinterpretado (notablemente por Joule ^[4] ) al implicar que un sistema que consiste en un motor eléctrico impulsado por una batería no podría tener una eficiencia superior al 50% , ya que la potencia disipada como calor en la batería siempre sería igual a la potencia entregada al motor cuando las impedancias coincidieran.

En 1880, Edison y su colega Francis Robbins Upton demostraron que esta suposición era falsa al darse cuenta de que la máxima eficiencia no era lo mismo que la máxima transferencia de potencia.

Para lograr la máxima eficiencia, la resistencia de la fuente (ya sea una batería o una dinamo ) podría (o debería) ser lo más cercana posible a cero. Con este nuevo conocimiento, obtuvieron una eficiencia de alrededor del 90% y demostraron que el motor eléctrico era una alternativa práctica al motor térmico .

La curva roja muestra la potencia en la carga, normalizada respecto a su máximo posible. La curva azul oscuro muestra la eficiencia η .

La eficiencia η es la relación entre la potencia disipada por la resistencia de carga R _L y la potencia total disipada por el circuito (que incluye la resistencia de la fuente de voltaje R _S así como R _L ):

$${\displaystyle \eta ={\frac {P_{\mathrm {L} }}{P_{\mathrm {Total} }}}={\frac {I^{2}\cdot R_{\mathrm {L} }}{I^{2}\cdot (R_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {S} })}}={\frac {R_{\mathrm {L} }}{R_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {S} }}}={\frac {1}{1+R_{\mathrm {S} }/R_{\mathrm {L} }}}\,.}$$

Consideremos tres casos particulares (tenga en cuenta que las fuentes de voltaje deben tener cierta resistencia):

• Si , entonces la eficiencia se acerca al 0% si la resistencia de carga se acerca a cero (un cortocircuito ), ya que toda la energía se consume en la fuente y no se consume energía en el cortocircuito. ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }\to 0}$ ${\displaystyle \eta \to 0.}$
• Si , entonces la eficiencia es solo del 50% si la resistencia de carga es igual a la resistencia de la fuente (que es la condición de máxima transferencia de potencia). ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }=1}$ ${\displaystyle \eta ={\tfrac {1}{2}}.}$
• Si , entonces la eficiencia se acerca al 100 % si la resistencia de carga se acerca al infinito (aunque el nivel de potencia total tiende a cero) o si la resistencia de la fuente se acerca a cero. El uso de una relación grande se denomina puente de impedancia . ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }\to \infty }$ ${\displaystyle \eta \to 1.}$

Adaptación de impedancia

Un concepto relacionado es la adaptación de impedancia sin reflexión .

En las líneas de transmisión de radiofrecuencia y otros dispositivos electrónicos , a menudo existe el requisito de hacer coincidir la impedancia de la fuente (en el transmisor) con la impedancia de carga (como una antena ) para evitar reflexiones en la línea de transmisión .

Demostración basada en cálculo para circuitos puramente resistivos

En el modelo simplificado de alimentación de una carga con resistencia R _L mediante una fuente con voltaje V y resistencia de fuente R _S , entonces, por la ley de Ohm , la corriente resultante I es simplemente el voltaje de la fuente dividido por la resistencia total del circuito: $${\displaystyle I={\frac {V}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.}$$

La potencia P _L disipada en la carga es el cuadrado de la corriente multiplicado por la resistencia: $${\displaystyle P_{\mathrm {L} }=I^{2}R_{\mathrm {L} }=\left({\frac {V}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}\right)^{2}R_{\mathrm {L} }={\frac {V^{2}}{R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.}$$

El valor de R _L para el cual esta expresión es máxima se puede calcular derivándola, pero es más fácil calcular el valor de R _L para el cual el denominador: es mínimo. El resultado será el mismo en ambos casos. Derivando el denominador respecto de R _L : $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dR_{\mathrm {L} }}}\left(R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }\right)=-R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}+1.}$$

Para un máximo o mínimo, la primera derivada es cero, por lo que o $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}=1}$$ $${\displaystyle R_{\mathrm {L} }=\pm R_{\mathrm {S} }.}$$

En circuitos resistivos prácticos, R _S y R _L son ambos positivos, por lo que el signo positivo anterior es la solución correcta.

Para saber si esta solución es un mínimo o un máximo, se deriva nuevamente la expresión del denominador:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dR_{\mathrm {L} }^{2}}}\left({R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}\right)={2R_{\mathrm {S} }^{2}}/{R_{\mathrm {L} }^{3}}.}$$

Esto siempre es positivo para valores positivos de y , lo que demuestra que el denominador es un mínimo y, por lo tanto, la potencia es un máximo, cuando: ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }}$ $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }=R_{\mathrm {L} }.}$$

La prueba anterior supone una resistencia de fuente fija . Cuando se puede variar la resistencia de la fuente, se puede aumentar la potencia transferida a la carga reduciendo . Por ejemplo, una fuente de 100 voltios con un de entregará 250 vatios de potencia a una carga; reducir a aumenta la potencia entregada a 1000 vatios. ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$ ${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$ ${\displaystyle 10\,\Omega }$ ${\displaystyle 10\,\Omega }$ ${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$ ${\displaystyle 0\,\Omega }$

Obsérvese que esto demuestra que la transferencia de potencia máxima también puede interpretarse como que el voltaje de carga es igual a la mitad del voltaje de Thevenin equivalente de la fuente. ^[5]

En circuitos reactivos

El teorema de transferencia de potencia también se aplica cuando la fuente y/o la carga no son puramente resistivas.

Una versión más refinada del teorema de máxima potencia dice que todos los componentes reactivos de la fuente y la carga deben ser de igual magnitud pero de signo opuesto. ( Véase más abajo una derivación ) .

• Esto significa que las impedancias de fuente y de carga deben ser conjugados complejos entre sí.
• En el caso de circuitos puramente resistivos, los dos conceptos son idénticos.

Las fuentes y cargas físicamente realizables no suelen ser puramente resistivas, sino que tienen algunos componentes inductivos o capacitivos, por lo que, de hecho, existen aplicaciones prácticas de este teorema, bajo el nombre de adaptación de impedancia conjugada compleja.

Si la fuente es totalmente inductiva (capacitiva), entonces una carga totalmente capacitiva (inductiva), en ausencia de pérdidas resistivas, recibiría el 100% de la energía de la fuente pero la enviaría de regreso después de un cuarto de ciclo.

El circuito resultante no es otra cosa que un circuito LC resonante en el que la energía continúa oscilando de un lado a otro. Esta oscilación se denomina potencia reactiva .

La corrección del factor de potencia (donde se utiliza una reactancia inductiva para "equilibrar" una capacitiva) es esencialmente la misma idea que la adaptación de impedancia conjugada compleja, aunque se realiza por razones completamente diferentes.

Para una fuente reactiva fija , el teorema de potencia máxima maximiza la potencia real (P) entregada a la carga mediante la correspondencia conjugada compleja de la carga con la fuente.

Para una carga reactiva fija , la corrección del factor de potencia minimiza la potencia aparente (S) (y la corriente innecesaria) conducida por las líneas de transmisión, mientras mantiene la misma cantidad de transferencia de potencia real.

Esto se hace agregando una reactancia a la carga para equilibrar la propia reactancia de la carga, cambiando la impedancia de carga reactiva en una impedancia de carga resistiva.

Prueba

Diagrama de impedancia de fuente y carga

En este diagrama, la potencia de CA se transfiere desde la fuente, con una magnitud fasorial de voltaje (voltaje pico positivo) e impedancia de fuente fija (S para fuente), a una carga con impedancia (L para carga), lo que da como resultado una magnitud (positiva) del fasor de corriente . Esta magnitud resulta de dividir la magnitud del voltaje de la fuente por la magnitud de la impedancia total del circuito: ${\displaystyle |V_{\text{S}}|}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$ ${\displaystyle |I|}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle |I|}$ $${\displaystyle |I|={|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}.}$$

La potencia media disipada en la carga es el cuadrado de la corriente multiplicada por la porción resistiva (la parte real) de la impedancia de carga : donde y denotan las resistencias, es decir, las partes reales, y y denotan las reactancias, es decir, las partes imaginarias, de las impedancias de fuente y de carga, respectivamente , y . ${\displaystyle P_{\text{L}}}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{L}}&=I_{\text{rms}}^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}|I|^{2}R_{\text{L}}\\&={1 \over 2}\left({|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}\right)^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}{|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}} \over (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R_{\text{S}}}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle X_{\text{S}}}$ ${\displaystyle X_{\text{L}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$

Para determinar, para una fuente dada, la tensión y la impedancia, el valor de la impedancia de carga para la que esta expresión de la potencia da un máximo, primero se encuentra, para cada valor positivo fijo de , el valor del término reactivo para el que el denominador: es un mínimo. Como las reactancias pueden ser negativas, esto se logra adaptando la reactancia de carga a: ${\displaystyle V_{\text{S}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}},}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}},}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle X_{\text{L}}}$ $${\displaystyle (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}}$$ $${\displaystyle X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}.}$$

Esto reduce la ecuación anterior a: y queda por encontrar el valor de que maximiza esta expresión. Este problema tiene la misma forma que en el caso puramente resistivo y, por lo tanto, la condición de maximización es $${\displaystyle P_{\text{L}}={\frac {1}{2}}{\frac {|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}}}{(R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}}}}$$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}=R_{\text{S}}.}$

Las dos condiciones de maximización:

• ${\displaystyle R_{\text{L}}=R_{\text{S}}}$
• ${\displaystyle X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}}$

describe el conjugado complejo de la impedancia de la fuente, denotada por y por lo tanto se puede combinar de manera concisa para: ${\displaystyle ^{*},}$ $${\displaystyle Z_{\text{L}}=Z_{\text{S}}^{*}.}$$

Véase también

• Seguimiento del punto de máxima potencia

Notas

1. Thompson Phillips (30 de mayo de 2009), Maquinaria dinamoeléctrica; un manual para estudiantes de electrotecnia, BiblioBazaar, LLC, ISBN 978-1-110-35104-6
2. Harrison, Mark (22 de febrero de 2013). "Colisiones físicas y el teorema de máxima potencia: una analogía entre situaciones mecánicas y eléctricas". Educación en Física . 48 (2): 207–211. doi :10.1088/0031-9120/48/2/207. ISSN  0031-9120. S2CID  120330420.
3. Atkin, Keith (22 de agosto de 2013). "Transferencia de energía y una función matemática recurrente". Educación en Física . 48 (5): 616–620. doi :10.1088/0031-9120/48/5/616. ISSN  0031-9120. S2CID  122189586.
4. Magnetics, Triad. "Entendiendo el teorema de máxima potencia". info.triadmagnetics.com . Consultado el 8 de junio de 2022 .
5. "Tutoriales básicos de electrónica y revisión para principiantes y estudiantes avanzados".

Referencias

• HW Jackson (1959) Introducción a los circuitos electrónicos, Prentice-Hall.

Enlaces externos

• Coincidencia conjugada versus coincidencia sin reflexión ( PDF ) tomado de Ondas electromagnéticas y antenas
• El transmisor de chispa. 2. Maximizar la potencia, parte 1.