Precisión (estadísticas)

Recíproco de la varianza estadística

En estadística , la matriz de precisión o matriz de concentración es la matriz inversa de la matriz de covarianza o matriz de dispersión, . ^{[1] [2] [3]} Para distribuciones univariadas , la matriz de precisión degenera en una precisión escalar , definida como el recíproco de la varianza , . ^[4] ${\displaystyle P=\Sigma ^{-1}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$

Otras estadísticas de resumen de dispersión estadística también llamadas precisión (o imprecisión ^{[5] [6]} ) incluyen el recíproco de la desviación estándar , ; ^[3] la desviación estándar misma y la desviación estándar relativa ; ^[7] así como el error estándar ^[8] y el intervalo de confianza (o su mitad de ancho, el margen de error ). ^[9] ${\displaystyle p={\frac {1}{\sigma }}}$

Uso

Un uso particular de la matriz de precisión es en el contexto del análisis bayesiano de la distribución normal multivariada : por ejemplo, Bernardo y Smith prefieren parametrizar la distribución normal multivariada en términos de la matriz de precisión, en lugar de la matriz de covarianza, debido a ciertas simplificaciones que surgen entonces. ^[10] Por ejemplo, si tanto la anterior como la verosimilitud tienen forma gaussiana , y la matriz de precisión de ambas existe (porque su matriz de covarianza es de rango completo y, por lo tanto, invertible), entonces la matriz de precisión de la posterior será simplemente la suma de las matrices de precisión de la anterior y la verosimilitud.

Como inversa de una matriz hermítica , la matriz de precisión de variables aleatorias de valor real, si existe, es definida positiva y simétrica.

Otra razón por la que la matriz de precisión puede ser útil es que si dos dimensiones y de una normal multivariante son condicionalmente independientes , entonces los elementos y de la matriz de precisión son . Esto significa que las matrices de precisión tienden a ser dispersas cuando muchas de las dimensiones son condicionalmente independientes, lo que puede generar eficiencias computacionales al trabajar con ellas. También significa que las matrices de precisión están estrechamente relacionadas con la idea de correlación parcial . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle ji}$ ${\displaystyle 0}$

La matriz de precisión juega un papel central en los mínimos cuadrados generalizados , en comparación con los mínimos cuadrados ordinarios , donde es la matriz identidad , y con los mínimos cuadrados ponderados , donde es la diagonal (la matriz de ponderación ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Etimología

El término precisión en este sentido ("mensura praecisionis observationum") apareció por primera vez en los trabajos de Gauss (1809) " Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium " (página 212). La definición de Gauss difiere de la moderna en un factor de . Escribe, para la función de densidad de una distribución normal con precisión (recíproca de la desviación estándar), ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \varphi \Delta ={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-hh\Delta \Delta }.}$

donde (ver notación exponencial moderna ). Más tarde, Whittaker y Robinson (1924) en " Cálculo de observaciones " llamaron a esta cantidad módulo (de precisión) , pero este término ha caído en desuso. ^[11] ${\displaystyle hh=h^{2}}$

Referencias

1. DeGroot, Morris H. (1969). Decisiones estadísticas óptimas . Nueva York: McGraw-Hill. pág. 56.
2. Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (1993). Estimación e inferencia en econometría. Nueva York: Oxford University Press. pág. 144. ISBN 0-19-506011-3.
3. Dodge, Y. (2003). Diccionario Oxford de términos estadísticos . Oxford University Press. ISBN 0-19-920613-9.
4. Bolstad, WM; Curran, JM (2016). Introducción a la estadística bayesiana. Wiley. pág. 221. ISBN 978-1-118-59315-8. Consultado el 13 de agosto de 2022 .
5. Natrella, MG (2013). Estadística experimental. Dover Books on Mathematics (en italiano). Dover Publications. pág. 21-PA14. ISBN 978-0-486-15455-8. Consultado el 14 de agosto de 2022 .
6. Balakrishnan, N. (2009). Métodos y aplicaciones de la estadística en las ciencias de la vida y la salud. Métodos y aplicaciones de la estadística. Wiley. pág. 537. ISBN 978-0-470-40509-3. Consultado el 14 de agosto de 2022 .
7. Ellison, SLR; Farrant, TJ; Barwick, V. (2009). Estadística práctica para el científico analítico: una guía de referencia. Medición analítica válida. Royal Society of Chemistry. pág. 145. ISBN 978-0-85404-131-2. Consultado el 14 de agosto de 2022 .
8. Wilburn, AJ (1984). Muestreo estadístico práctico para auditores. Estadística: una serie de libros de texto y monografías. Taylor & Francis. pág. 62. ISBN 978-0-8247-7124-9. Consultado el 14 de agosto de 2022 .
9. Cumming, G. (2013). Entendiendo las nuevas estadísticas: tamaños de los efectos, intervalos de confianza y metaanálisis. Serie de aplicaciones multivariadas. Taylor & Francis. p. 366. ISBN 978-1-136-65918-8. Consultado el 14 de agosto de 2022 .
10. Bernardo, JM y Smith, AFM (2000) Teoría bayesiana , Wiley ISBN 0-471-49464-X 
11. "Usos más antiguos conocidos de algunas palabras en matemáticas".