Juego en forma normal

Representación de un juego en la teoría de juegos.

En teoría de juegos , la forma normal es una descripción de un juego . A diferencia de la forma extensiva , las representaciones en forma normal no son gráficas per se , sino que representan el juego a través de una matriz . Si bien este enfoque puede ser de mayor utilidad para identificar estrategias estrictamente dominadas y equilibrios de Nash , se pierde parte de información en comparación con las representaciones de forma extensiva. La representación normal de un juego incluye todas las estrategias perceptibles y concebibles , y sus correspondientes resultados, para cada jugador.

En juegos estáticos de información completa y perfecta , una representación en forma normal de un juego es una especificación de los espacios estratégicos y las funciones de pago de los jugadores. Un espacio de estrategia para un jugador es el conjunto de todas las estrategias disponibles para ese jugador, mientras que una estrategia es un plan de acción completo para cada etapa del juego, independientemente de si esa etapa realmente surge en el juego. Una función de pago para un jugador es un mapeo del producto cruzado de los espacios estratégicos de los jugadores al conjunto de pagos de ese jugador (normalmente el conjunto de números reales, donde el número representa una utilidad cardinal u ordinal , a menudo cardinal en la forma normal). representación) de un jugador, es decir, la función de pago de un jugador toma como entrada un perfil de estrategia (es decir, una especificación de estrategias para cada jugador) y produce una representación de pago como salida.

Un ejemplo

La matriz proporcionada es una representación en forma normal de un juego en el que los jugadores se mueven simultáneamente (o al menos no observan el movimiento del otro jugador antes de realizar el suyo propio) y reciben los pagos especificados para las combinaciones de acciones jugadas. Por ejemplo, si el jugador 1 juega arriba y el jugador 2 juega hacia la izquierda, el jugador 1 recibe 4 y el jugador 2 recibe 3. En cada celda, el primer número representa el pago al jugador de la fila (en este caso, el jugador 1), y el segundo número representa el pago al jugador de la columna (en este caso, el jugador 2).

Otras representaciones

Una topología parcial de juegos de dos jugadores y dos estrategias, incluidos juegos como El dilema del prisionero , La caza del ciervo y El pollo.

A menudo, los juegos simétricos (donde los pagos no dependen de qué jugador elige cada acción) se representan con un solo pago. Ésta es la recompensa para el jugador de fila. Por ejemplo, las matrices de pagos a la derecha e izquierda de abajo representan el mismo juego.

También se puede mapear el espacio topológico de juegos con matrices de pagos relacionadas, teniendo los juegos adyacentes las matrices más similares. Esto muestra cómo los cambios incrementales de incentivos pueden cambiar el juego.

Usos de la forma normal

Estrategias dominadas

La matriz de pagos facilita la eliminación de estrategias dominadas y suele utilizarse para ilustrar este concepto. Por ejemplo, en el dilema del prisionero , podemos ver que cada prisionero puede "cooperar" o "desertar". Si exactamente uno de los prisioneros deserta, se libra fácilmente y el otro prisionero es encerrado durante mucho tiempo. Sin embargo, si ambos desertan, ambos serán encerrados por un tiempo más corto. Se puede determinar que Cooperar está estrictamente dominado por Defecto . Hay que comparar los primeros números de cada columna, en este caso 0 > −1 y −2 > −5. Esto muestra que no importa lo que elija el jugador de la columna, al jugador de la fila le va mejor si elige Defecto . De manera similar, se compara el segundo pago de cada fila; nuevamente 0 > −1 y −2 > −5. Esto muestra que no importa qué fila haga, la columna funciona mejor si elige Defecto . Esto demuestra que el equilibrio de Nash único de este juego es ( Defecto , Defecto ).

Juegos secuenciales en forma normal.

Ilustración tanto en forma extensa como en forma normal de un juego secuencial con equilibrios de Nash imperfectos y perfectos en subjuegos marcados con rojo y azul respectivamente.

Estas matrices sólo representan juegos en los que los movimientos son simultáneos (o, más generalmente, la información es imperfecta ). La matriz anterior no representa el juego en el que el jugador 1 se mueve primero, observado por el jugador 2, y luego el jugador 2 se mueve, porque no especifica cada una de las estrategias del jugador 2 en este caso. Para representar este juego secuencial debemos especificar todas las acciones del jugador 2, incluso en contingencias que nunca pueden surgir en el transcurso del juego. En este juego, el jugador 2 tiene acciones, como antes, Izquierda y Derecha . A diferencia de antes, tiene cuatro estrategias, que dependen de las acciones del jugador 1. Las estrategias son:

1. Izquierda si el jugador 1 juega Arriba e Izquierda en caso contrario
2. Izquierda si el jugador 1 juega arriba y derecha en caso contrario
3. Derecha si el jugador 1 juega arriba y izquierda en caso contrario
4. Derecha si el jugador 1 juega arriba y derecha en caso contrario

A la derecha está la representación en forma normal de este juego.

formulación general

Para que un juego se desarrolle con normalidad, se nos proporcionan los siguientes datos:

Hay un conjunto finito I de jugadores, cada jugador se denota por i . Cada jugador i tiene un número finito de estrategias puras.

${\displaystyle S_{i}=\{1,2,\ldots ,k\}.}$

AEl perfil de estrategia pura es una asociación de estrategias con los jugadores, es decir,unatuplaI.

${\displaystyle {\vec {s}}=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{I})}$

tal que

${\displaystyle s_{1}\in S_{1},s_{2}\in S_{2},\ldots ,s_{I}\in S_{I}}$

Ala función de pago es una función

${\displaystyle u_{i}:S_{1}\times S_{2}\times \ldots \times S_{I}\rightarrow \mathbb {R} .}$

cuya interpretación pretendida es el premio otorgado a un solo jugador al final del juego. En consecuencia, para especificar completamente un juego, la función de pago debe especificarse para cada jugador en el conjunto de jugadores I = {1, 2, ..., I }.

Definición : Un juego en forma normal es una estructura.

${\displaystyle \mathrm {T} =\langle I,\mathbf {S} ,\mathbf {u} \rangle }$

dónde:

${\displaystyle I=\{1,2,\ldots ,I\}}$

es un conjunto de jugadores,

${\displaystyle \mathbf {S} =\{S_{1},S_{2},\ldots ,S_{I}\}}$

es una I -tupla de conjuntos de estrategias puras, uno para cada jugador, y

${\displaystyle \mathbf {u} =\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{I}\}}$

es una I -tupla de funciones de pago.

Referencias

• Fudenberg, D .; Tirole, J. (1991). Teoría de juego . Prensa del MIT. ISBN 0-262-06141-4.
• Leyton-Brown, Kevin; Shoham, Yoav (2008). Conceptos básicos de la teoría de juegos: una introducción concisa y multidisciplinaria. San Rafael, CA: Editores Morgan & Claypool. ISBN 978-1-59829-593-1.. Una introducción matemática de 88 páginas; Gratis en línea en muchas universidades.
• Lucía, RD ; Raiffa, H. (1989). Juegos y Decisiones . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-65943-7.
• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Sistemas multiagente: fundamentos lógicos, algorítmicos y de teoría de juegos. Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-89943-7.. Una referencia integral desde una perspectiva computacional; consulte el Capítulo 3. Descargable gratis en línea.
• Weibull, J. (1996). Teoría de juegos evolutivos . Prensa del MIT. ISBN 0-262-23181-6.
• J. von Neumann y O. Morgenstern , Teoría de juegos y comportamiento económico , John Wiley Science Editions, 1964. Publicado originalmente en 1944 por Princeton University Press.