Juego simétrico

Juego cuyos pagos dependen de las estrategias y no de los jugadores.

En teoría de juegos , un juego simétrico es un juego en el que los pagos por jugar una estrategia particular dependen solo de las otras estrategias empleadas, no de quién las esté jugando. Si uno puede cambiar las identidades de los jugadores sin cambiar el pago de las estrategias, entonces un juego es simétrico. La simetría puede presentarse en diferentes variedades. Los juegos ordinalmente simétricos son juegos que son simétricos con respecto a la estructura ordinal de los pagos. Un juego es cuantitativamente simétrico si y solo si es simétrico con respecto a los pagos exactos. Un juego de asociación es un juego simétrico en el que ambos jugadores reciben pagos idénticos para cualquier conjunto de estrategias. Es decir, el pago por jugar la estrategia a contra la estrategia b recibe el mismo pago que jugar la estrategia b contra la estrategia a .

Simetría en juegos 2x2

De los 144 juegos 2x2 ordinalmente distintos, solo 12 son simétricos. Sin embargo, muchos de los juegos 2x2 que se estudian habitualmente son, al menos, ordinalmente simétricos. Las representaciones estándar de la gallina , el dilema del prisionero y la caza del ciervo son juegos simétricos. Formalmente, para que un juego 2x2 sea simétrico, su matriz de pagos debe ajustarse al esquema que se muestra a la derecha.

Los requisitos para que un juego sea ordinalmente simétrico son más débiles: basta con que la clasificación ordinal de los pagos se ajuste al esquema de la derecha.

Simetría y equilibrios

Nash (1951) muestra que cada juego simétrico finito tiene un equilibrio de Nash de estrategia mixta simétrica . Cheng et al. (2004) muestran que cada juego simétrico de dos estrategias tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura (no necesariamente simétrico) . Emmons et al. (2022) muestran que en cada juego de pago común (también conocido como juego de equipo) (es decir, cada juego en el que todos los jugadores reciben el mismo pago), cada perfil de estrategia óptima también es un equilibrio de Nash.

Asimetrías no correlacionadas: asimetrías neutrales en cuanto a los pagos

Las simetrías se refieren aquí a las simetrías en los pagos. Los biólogos a menudo se refieren a las asimetrías en los pagos entre jugadores en un juego como asimetrías correlacionadas . Estas se contraponen a las asimetrías no correlacionadas , que son puramente informativas y no tienen efecto en los pagos (por ejemplo, véase el juego del halcón y la paloma ).

El caso general

Un juego con una recompensa de para el jugador , donde se establece la estrategia del jugador y , se considera simétrico si para cualquier permutación , ${\displaystyle U_{i}\colon A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{1}=A_{2}=\ldots =A_{N}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle U_{\pi (i)}(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{N})=U_{i}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (i)},\ldots ,a_{\pi (N)}).}$^[1]

Partha Dasgupta y Eric Maskin dan la siguiente definición, que se ha repetido desde entonces en la literatura económica

${\displaystyle U_{i}(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{N})=U_{\pi (i)}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (i)},\ldots ,a_{\pi (N)}).}$

Sin embargo, esta es una condición más fuerte que implica que el juego no sólo es simétrico en el sentido mencionado anteriormente, sino que es un juego de interés común, en el sentido de que los pagos de todos los jugadores son idénticos. ^[1]

Referencias

1. Ham, Nicholas (18 de noviembre de 2013). "Nociones de anonimato, imparcialidad y simetría para juegos de formas estratégicas finitas". arXiv : 1311.4766 [math.CO].

• Shih-Fen Cheng, Daniel M. Reeves, Yevgeniy Vorobeychik y Michael P. Wellman. Notas sobre equilibrios en juegos simétricos, Conferencia conjunta internacional sobre agentes autónomos y sistemas multiagente, 6.º taller sobre agentes teóricos de juegos y de decisiones, Nueva York, agosto de 2004. [1]
• Juego simétrico en Gametheory.net
• Dasgupta, Partha ; Maskin, Eric (1986). "La existencia de equilibrio en juegos económicos discontinuos, I: Teoría". Review of Economic Studies . 53 (1): 1–26. doi :10.2307/2297588. JSTOR  2297588.
• Nash, John (septiembre de 1951). "Juegos no cooperativos". Anales de Matemáticas . 2.ª serie. 54 (2): 286–295. doi :10.2307/1969529. JSTOR  1969529.
• Emmons, Scott; Oesterheld, Caspar; Critch, Andrew; Conitzer, Vincent; Russell, Stuart (2022). "Simetría, equilibrios y robustez en juegos con pagos comunes" (PDF) . Actas de la Conferencia Internacional sobre Aprendizaje Automático (ICML) . PMLR 162 . Consultado el 21 de abril de 2024 .

Lectura adicional

• David Robinson; David Goforth (2005). La topología de los juegos 2x2: una nueva tabla periódica . Routledge. ISBN 978-0-415-33609-3.
• Notas sobre equilibrios en juegos simétricos