Algunos autores excluyen de esta definición los gráficos completos y los gráficos desconectados.
Todo gráfico transitivo de distancia es regular en distancia. De hecho, los gráficos de distancia regular se introdujeron como una generalización combinatoria de los gráficos de distancia transitiva, teniendo las propiedades de regularidad numérica de estos últimos sin tener necesariamente un gran grupo de automorfismos .
matrices de intersección
La matriz de intersección de un gráfico de distancia regular es la matriz en la que está el diámetro del gráfico y para cada uno , da el número de vecinos de a distancia de y da el número de vecinos de a distancia de para cualquier par de vértices y en distancia . También está el número que da el número de vecinos a distancia de . Los números se llaman números de intersección del gráfico. Satisfacen la ecuación donde está la valencia , es decir, el número de vecinos, de cualquier vértice.
Resulta que una gráfica de diámetro es regular en distancias si y sólo si tiene una matriz de intersección en el sentido anterior.
Gráficos coespectrales y desconectados de distancia regular.
Un par de gráficos conectados de distancia regular son coespectrales si sus matrices de adyacencia tienen el mismo espectro . Esto equivale a que tengan la misma matriz de intersecciones.
Un gráfico de distancia regular está desconectado si y solo si es una unión disjunta de gráficos coespectrales de distancia regular.
Propiedades
Supongamos que es un gráfico de valencia regular de distancia conectado con una matriz de intersección . Para cada uno, denotamos el número de vértices a distancia de cualquier vértice dado y denotamos el gráfico regular con matriz de adyacencia formada al relacionar pares de vértices a distancia .
Propiedades de la teoría de grafos
para todos .
y .
Propiedades espectrales
tiene valores propios distintos.
El único valor propio simple de is o ambos y if es bipartito.
para cualquier multiplicidad de valores propios de a menos que sea un gráfico multipartito completo.
para cualquier multiplicidad de valores propios de a menos que sea un gráfico de ciclo o un gráfico multipartito completo.
Sólo hay un número finito de gráficos de distancia regulares conectados distintos de cualquier valencia dada . [1]
De manera similar, solo hay un número finito de gráficos de distancia regulares conectados distintos con cualquier multiplicidad de valores propios dada [2] (con la excepción de los gráficos multipartitos completos).
Gráficos cúbicos de distancia regular
Las gráficas cúbicas de distancia regular se han clasificado por completo.
^ Explosión, S.; Dubickas, A.; Koolen, JH; Moulton, V. (10 de enero de 2015). "Sólo hay un número finito de gráficos de distancia regular de valencia fija mayor que dos". Avances en Matemáticas . 269 (Suplemento C): 1–55. arXiv : 0909.5253 . doi : 10.1016/j.aim.2014.09.025 . S2CID 18869283.
^ Godsil, CD (1 de diciembre de 1988). "Limitar el diámetro de gráficos de distancia regular". Combinatoria . 8 (4): 333–343. doi :10.1007/BF02189090. ISSN 0209-9683. S2CID 206813795.
Otras lecturas
Godsil, CD (1993). Combinatoria Algebraica . Serie de Matemáticas de Chapman y Hall. Nueva York: Chapman y Hall. ISBN 978-0-412-04131-0. SEÑOR 1220704.