Autocovarianza

Concepto de probabilidad y estadística

En teoría de probabilidad y estadística , dado un proceso estocástico , la autocovarianza es una función que da la covarianza del proceso consigo mismo en pares de puntos temporales. La autocovarianza está estrechamente relacionada con la autocorrelación del proceso en cuestión.

Autocovarianza de procesos estocásticos

Definición

Con la notación habitual para el operador de expectativa , si el proceso estocástico tiene la función media , entonces la autocovarianza viene dada por ^{[1] : p. 162} ${\displaystyle \operatorname {E} }$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]}$

donde y son dos instancias en el tiempo. ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

Definición de proceso débilmente estacionario

Si es un proceso débilmente estacionario (WSS) , entonces se cumplen las siguientes condiciones: ^{[1] : p. 163} ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

${\displaystyle \mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu }$a pesar de ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

y

${\displaystyle \operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty }$a pesar de ${\displaystyle t}$

y

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),}$

donde es el tiempo de retraso, o la cantidad de tiempo en el que se ha desplazado la señal. ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

Por lo tanto, la función de autocovarianza de un proceso WSS viene dada por: ^{[2] : p. 517}

que es equivalente a

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}}$.

Normalización

En algunas disciplinas (por ejemplo, estadística y análisis de series temporales ) es una práctica habitual normalizar la función de autocovarianza para obtener un coeficiente de correlación de Pearson dependiente del tiempo . Sin embargo, en otras disciplinas (por ejemplo, ingeniería), la normalización suele descartarse y los términos "autocorrelación" y "autocovarianza" se utilizan indistintamente.

La definición de la autocorrelación normalizada de un proceso estocástico es

${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}}$.

Si la función está bien definida, su valor debe estar en el rango , donde 1 indica una correlación perfecta y −1 indica una anticorrelación perfecta . ${\displaystyle \rho _{XX}}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

Para un proceso WSS, la definición es

${\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}}$.

dónde

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}}$.

Propiedades

Propiedad de simetría

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}$^{[3] : pág. 169}

respectivamente para un proceso WSS:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}}$^{[3] : pág. 173}

Filtrado lineal

La autocovarianza de un proceso filtrado linealmente ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}$

es

${\displaystyle K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,}$

Cálculo de la difusividad turbulenta

La autocovarianza se puede utilizar para calcular la difusividad turbulenta . ^[4] La turbulencia en un flujo puede provocar fluctuaciones de velocidad en el espacio y el tiempo. Por lo tanto, podemos identificar la turbulencia a través de las estadísticas de esas fluctuaciones ^{[ cita requerida ]} .

La descomposición de Reynolds se utiliza para definir las fluctuaciones de velocidad (supongamos que ahora estamos trabajando con un problema 1D y la velocidad es a lo largo de la dirección): ${\displaystyle u'(x,t)}$ ${\displaystyle U(x,t)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),}$

donde es la velocidad verdadera y es el valor esperado de la velocidad . Si elegimos una correcta , todos los componentes estocásticos de la velocidad turbulenta se incluirán en . Para determinar , se requiere un conjunto de mediciones de velocidad que se recopilan a partir de puntos en el espacio, momentos en el tiempo o experimentos repetidos. ${\displaystyle U(x,t)}$ ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$ ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$ ${\displaystyle u'(x,t)}$ ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$

Si suponemos que el flujo turbulento ( , y c es el término de concentración) puede ser causado por un paseo aleatorio, podemos usar las leyes de difusión de Fick para expresar el término de flujo turbulento: ${\displaystyle \langle u'c'\rangle }$ ${\displaystyle c'=c-\langle c\rangle }$

${\displaystyle J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.}$

La autocovarianza de velocidad se define como

${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle }$o ${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,}$

donde es el tiempo de retraso y es la distancia de retraso. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle r}$

La difusividad turbulenta se puede calcular utilizando los tres métodos siguientes: ${\displaystyle D_{T_{x}}}$

1. Si tenemos datos de velocidad a lo largo de una trayectoria lagrangiana :

   ${\displaystyle D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$

2. Si tenemos datos de velocidad en una ubicación fija ( euleriana ) ^{[ cita requerida ]} :
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$
3. Si tenemos información de velocidad en dos ubicaciones fijas (eulerianas) ^{[ cita requerida ]} :
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,}$
   ¿Dónde está la distancia separada por estas dos ubicaciones fijas? ${\displaystyle r}$

Autocovarianza de vectores aleatorios

Véase también

• Proceso autorregresivo
• Correlación
• Covarianza cruzada
• Correlación cruzada
• Estimación de la covarianza del ruido (como ejemplo de aplicación)

Referencias

1. Hsu, Hwei (1997). Probabilidad, variables aleatorias y procesos aleatorios . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8.
2. Lapidoth, Amos (2009). Una base para la comunicación digital . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5.
3. Kun Il Park, Fundamentos de probabilidad y procesos estocásticos con aplicaciones a las comunicaciones, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
4. Taylor, GI (1 de enero de 1922). "Difusión por movimientos continuos" (PDF) . Actas de la London Mathematical Society . s2-20 (1): 196–212. doi :10.1112/plms/s2-20.1.196. ISSN  1460-244X.

Lectura adicional

• Hoel, PG (1984). Estadística matemática (quinta edición). Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4.
• Notas de clase sobre autocovarianza de WHOI