Matriz aumentada

Matriz formada añadiendo columnas de otras dos matrices

En álgebra lineal , una matriz aumentada es una matriz obtenida añadiendo un vector de columna de dimensiones , a la derecha, como una columna adicional a una matriz de dimensiones . Esto generalmente se hace con el fin de realizar las mismas operaciones elementales de fila en la matriz aumentada que se hacen en la original al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante eliminación gaussiana . ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle k\times (n+1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle A}$

Por ejemplo, dadas las matrices y el vector columna , donde la matriz aumentada es ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].}$$

Para un número dado de incógnitas, el número de soluciones a un sistema de ecuaciones lineales depende sólo del rango de la matriz de coeficientes que representa el sistema y del rango de la matriz aumentada correspondiente donde los componentes de consisten en los lados derechos de la ecuaciones lineales sucesivas. Según el teorema de Rouché-Capelli , cualquier sistema de ecuaciones lineales ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle AX=B}$

¿Dónde está el vector columna de componentes cuyas entradas son las incógnitas del sistema? Es inconsistente (no tiene soluciones) si el rango de la matriz aumentada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes . Si, por el contrario, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y sólo si el rango es igual al número de variables . De lo contrario la solución general tiene parámetros libres donde es la diferencia entre el número de variables y el rango. En tal caso existe un espacio afín de soluciones de dimensión igual a esta diferencia. ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$

La inversa de una matriz cuadrada de dimensión no singular se puede encontrar agregando la matriz identidad a la derecha de para formar la matriz dimensional aumentada . Aplicando operaciones de fila elementales para transformar el bloque de la izquierda en la matriz identidad , el bloque de la derecha es entonces la matriz inversa ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times 2n}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A^{-1}}$

Ejemplo de encontrar la inversa de una matriz.

Sea la matriz cuadrada de 2×2 ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.}$$

Para encontrar la inversa de formamos la matriz aumentada donde está la matriz identidad . Luego reducimos la parte de correspondiente a la matriz identidad usando operaciones elementales de fila en . cuya parte derecha es la inversa . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$ $${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]}$$ $${\displaystyle (I|A^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right],}$$ ${\displaystyle A^{-1}}$

Existencia y número de soluciones.

Considere el sistema de ecuaciones. $${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=2\\x+y+z&=3\\2x+2y+2z&=6.\end{aligned}}}$$

La matriz de coeficientes es y la matriz aumentada es $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\1&1&1&3\\2&2&2&6\end{array}}\right].}$$

Dado que ambos tienen el mismo rango, es decir, 2, existe al menos una solución; y como su rango es menor que el número de incógnitas, siendo estas últimas 3, hay infinitas soluciones.

Por el contrario, consideremos el sistema $${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{aligned}}}$$

La matriz de coeficientes es y la matriz aumentada es $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].}$$

En este ejemplo, la matriz de coeficientes tiene rango 2 mientras que la matriz aumentada tiene rango 3; entonces este sistema de ecuaciones no tiene solución. De hecho, un aumento en el número de filas linealmente independientes ha hecho que el sistema de ecuaciones sea inconsistente .

Solución de un sistema lineal.

Como se usa en álgebra lineal, se usa una matriz aumentada para representar los coeficientes y el vector solución de cada conjunto de ecuaciones. Para el conjunto de ecuaciones, los coeficientes y los términos constantes dan las matrices y, por tanto, dan la matriz aumentada. $${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right].}$$

Tenga en cuenta que el rango de la matriz de coeficientes, que es 3, es igual al rango de la matriz aumentada, por lo que existe al menos una solución; y como este rango es igual al número de incógnitas, hay exactamente una solución.

Para obtener la solución, se pueden realizar operaciones de fila en la matriz aumentada para obtener la matriz identidad en el lado izquierdo, lo que da como resultado que la solución del sistema sea ( x , y , z ) = (4, 1, −2) . $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|r}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right],}$$

Referencias

• Marvin Marcus y Henryk Minc, Un estudio sobre la teoría de matrices y las desigualdades matriciales , Publicaciones de Dover , 1992, ISBN  0-486-67102-X . Página 31.