Matriz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa

Matriz unitaria que contiene información sobre la interacción débil

En el Modelo Estándar de física de partículas , la matriz Cabibbo–Kobayashi–Maskawa , matriz CKM , matriz de mezcla de quarks o matriz KM es una matriz unitaria que contiene información sobre la fuerza de la interacción débil de cambio de sabor . Técnicamente, especifica el desajuste de los estados cuánticos de los quarks cuando se propagan libremente y cuando participan en las interacciones débiles . Es importante para comprender la violación CP . Esta matriz fue introducida para tres generaciones de quarks por Makoto Kobayashi y Toshihide Maskawa , agregando una generación a la matriz introducida previamente por Nicola Cabibbo . Esta matriz también es una extensión del mecanismo GIM , que solo incluye dos de las tres familias actuales de quarks.

La matriz

Predecesor: la matriz Cabibbo

El ángulo de Cabibbo representa la rotación del espacio vectorial de estados propios de masa formado por los estados propios de masa en el espacio vectorial de estados propios débiles formado por los estados propios débiles θ _c = 13,02°. ${\displaystyle |d\rangle ,\,|s\rangle }$ ${\displaystyle |d'\rangle \,,~|\,s'\rangle ~.}$

En 1963, Nicola Cabibbo introdujo el ángulo de Cabibbo ( θ _c ) para preservar la universalidad de la interacción débil . ^[1] Cabibbo se inspiró en trabajos previos de Murray Gell-Mann y Maurice Lévy, ^[2] sobre las corrientes débiles axiales y vectoriales extrañas y no extrañas efectivamente rotadas, a las que hace referencia. ^[3]

A la luz de los conceptos actuales (los quarks aún no habían sido propuestos), el ángulo de Cabibbo está relacionado con la probabilidad relativa de que los quarks down y strange se desintegren en quarks up ( | V _ud | ²   y | V _us | ²  , respectivamente). En la terminología de la física de partículas, el objeto que se acopla al quark up a través de una interacción débil de corriente cargada es una superposición de quarks de tipo down, aquí denotados por d′ . ^[4] Matemáticamente esto es:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

o usando el ángulo Cabibbo:

${\displaystyle d'=\cos \theta _{\mathrm {c} }\;d~~+~~\sin \theta _{\mathrm {c} }\;s~.}$

Utilizando los valores actualmente aceptados para | V _ud | y | V _us | (ver a continuación), el ángulo de Cabibbo se puede calcular utilizando

${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {c} }={\frac {\,|V_{\mathrm {us} }|\,}{|V_{\mathrm {ud} }|}}={\frac {0.22534}{0.97427}}\quad \Rightarrow \quad \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }~.}$

Cuando se descubrió el quark charm en 1974, se observó que el quark down y el quark strange podían transformarse en el quark up o el quark charm, lo que daba lugar a dos conjuntos de ecuaciones:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

${\displaystyle s'=V_{\mathrm {cd} }\;d~~+~~V_{\mathrm {cs} }\;s~;}$

o usando el ángulo Cabibbo:

${\displaystyle d'=~~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~,}$

${\displaystyle s'=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~.}$

Esto también se puede escribir en notación matricial como:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

o usando el ángulo Cabibbo

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

donde los diversos | V _ij | ² representan la probabilidad de que el quark de sabor j se descomponga en un quark de sabor i . Esta  matriz de rotación de 2×2 se denomina "matriz Cabibbo" y posteriormente se amplió a la matriz CKM de 3×3.

Una representación gráfica de los modos de desintegración de los seis quarks, con la masa aumentando de izquierda a derecha.

Matriz CKM

Diagrama que muestra las rutas de desintegración debidas a la interacción débil cargada y algunas indicaciones de su probabilidad. La intensidad de las líneas está dada por los parámetros CKM

En 1973, al observar que la violación de CP no podía explicarse en un modelo de cuatro quarks, Kobayashi y Maskawa generalizaron la matriz Cabibbo en la matriz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (o matriz CKM) para realizar un seguimiento de las desintegraciones débiles de tres generaciones de quarks: ^[5]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\\b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }&V_{\mathrm {ub} }\\V_{\mathrm {cd} }&V_{\mathrm {cs} }&V_{\mathrm {cb} }\\V_{\mathrm {td} }&V_{\mathrm {ts} }&V_{\mathrm {tb} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\end{bmatrix}}~.}$

A la izquierda se encuentran los dobletes de interacción débil de los quarks de tipo down, y a la derecha se encuentra la matriz CKM, junto con un vector de estados propios de masa de los quarks de tipo down. La matriz CKM describe la probabilidad de una transición de un quark de tipo j a otro de tipo i . Estas transiciones son proporcionales a | V _ij | ² .

A partir de 2023, la mejor determinación de las magnitudes individuales de los elementos de la matriz CKM fue: ^[6]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.97373\pm 0.00031&0.2243\pm 0.0008&0.00382\pm 0.00020\\0.221\pm 0.004&0.975\pm 0.006&0.0408\pm 0.0014\\0.0086\pm 0.0002&0.0415\pm 0.0009&1.014\pm 0.029\end{bmatrix}}.}$

Con estos valores se puede comprobar la unitaridad de la matriz CKM. En particular, se observa que los elementos de la primera fila de la matriz dan: ${\displaystyle |V_{\mathrm {ud} }|^{2}+|V_{\mathrm {us} }|^{2}+|V_{\mathrm {ub} }|^{2}=0.9985\pm 0.0007~;}$

La diferencia con el valor teórico de 1 plantea una tensión de 2,2  desviaciones estándar . La no unitaridad sería un indicio de física más allá del Modelo Estándar.

La elección del uso de quarks de tipo down en la definición es una convención y no representa una asimetría físicamente preferida entre los quarks de tipo up y los de tipo down. Otras convenciones son igualmente válidas: los estados propios de masa u , c y t de los quarks de tipo up pueden definir de manera equivalente la matriz en términos de sus socios de interacción débil u′ , c′ y t′ . Dado que la matriz CKM es unitaria, su inversa es la misma que su transpuesta conjugada , que utilizan las opciones alternativas; aparece como la misma matriz, en una forma ligeramente alterada.

Construcción de casos generales

Para generalizar la matriz, cuente el número de parámetros físicamente importantes en esta matriz V que aparecen en los experimentos. Si hay N generaciones de quarks (2 N sabores ), entonces

• Una matriz unitaria N  ×  N (es decir, una matriz V tal que V ^† V = I , donde V ^† es la transpuesta conjugada de V e I es la matriz identidad) requiere que se especifiquen N ^{2 parámetros reales.}
• 2 N  − 1 de estos parámetros no son físicamente significativos, porque una fase puede ser absorbida en cada campo de quarks (tanto de los estados propios de masa como de los estados propios débiles), pero la matriz es independiente de una fase común. Por lo tanto, el número total de variables libres independientes de la elección de las fases de los vectores base es N ²  − (2 N  − 1) = ( N  − 1) ² .
  • De estos, ⁠1/2⁠ N ( N  − 1) son ángulos de rotación llamados ángulos de mezcla de quarks .
  • El restante ⁠1/2⁠ ( N  − 1)( N  − 2) son fases complejas, que causan violación de CP .

norte= 2

Para el caso N  = 2, solo hay un parámetro, que es un ángulo de mezcla entre dos generaciones de quarks. Históricamente, esta fue la primera versión de la matriz CKM cuando solo se conocían dos generaciones. Se llama ángulo de Cabibbo en honor a su inventor Nicola Cabibbo .

norte= 3

Para el caso del Modelo Estándar ( N  = 3), hay tres ángulos de mezcla y una fase compleja que viola el CP. ^[7]

Observaciones y predicciones

La idea de Cabibbo surgió de la necesidad de explicar dos fenómenos observados:

1. las transiciones u ↔ d , e ↔ ν _e y μ ↔ ν _μ tenían amplitudes similares.
2. Las transiciones con cambio de extrañeza ΔS = 1 tuvieron amplitudes iguales a ⁠  1 /4de aquellos con ΔS = 0 .

La solución de Cabibbo consistió en postular la universalidad débil (ver más abajo) para resolver el primer problema, junto con un ángulo de mezcla θ _c , ahora llamado ángulo de Cabibbo , entre los quarks d y s para resolver el segundo.

En el caso de dos generaciones de quarks, no puede haber fases violatorias de CP, como se muestra en el recuento de la sección anterior. Dado que las violaciones de CP ya se habían observado en 1964, en desintegraciones de kaones neutros , el Modelo Estándar que surgió poco después indicó claramente la existencia de una tercera generación de quarks, como señalaron Kobayashi y Maskawa en 1973. Por tanto, el descubrimiento del quark bottom en Fermilab (por el grupo de Leon Lederman ) en 1976 inició inmediatamente la búsqueda del quark top , el quark de tercera generación que faltaba.

Sin embargo, es importante tener en cuenta que los valores específicos que adoptan los ángulos no son una predicción del modelo estándar: son parámetros libres . En la actualidad, no existe una teoría generalmente aceptada que explique por qué los ángulos deberían tener los valores que se miden en los experimentos.

Universalidad débil

Las restricciones de unitaridad de la matriz CKM en los términos diagonales se pueden escribir como

${\displaystyle \sum _{k}|V_{jk}|^{2}=\sum _{k}|V_{kj}|^{2}=1}$

por separado para cada generación j . Esto implica que la suma de todos los acoplamientos de cualquiera de los quarks de tipo up a todos los quarks de tipo down es la misma para todas las generaciones. Esta relación se llama universalidad débil y fue señalada por primera vez por Nicola Cabibbo en 1967. Teóricamente es una consecuencia del hecho de que todos los dobletes SU(2) se acoplan con la misma fuerza a los bosones vectoriales de interacciones débiles. Ha sido sometida a pruebas experimentales continuas.

Los triángulos unitarios

Las restricciones restantes de unitaridad de la matriz CKM se pueden escribir en la forma

${\displaystyle \sum _{k}V_{ik}V_{jk}^{*}=0~.}$

Para cualquier i y j fijos y diferentes , esta es una restricción sobre tres números complejos, uno para cada k , lo que dice que estos números forman los lados de un triángulo en el plano complejo . Hay seis opciones de i y j (tres independientes), y por lo tanto seis triángulos de este tipo, cada uno de los cuales se llama triángulo unitario . Sus formas pueden ser muy diferentes, pero todas tienen la misma área, que puede relacionarse con la fase de violación de CP . El área se desvanece para los parámetros específicos en el Modelo Estándar para los cuales no habría violación de CP . La orientación de los triángulos depende de las fases de los campos de quarks.

Una cantidad popular que equivale al doble del área del triángulo unitario es el invariante de Jarlskog (introducido por Cecilia Jarlskog en 1985),

${\displaystyle J=c_{12}c_{13}^{2}c_{23}s_{12}s_{13}s_{23}\sin \delta \approx 3\cdot 10^{-5}~.}$

Para los índices griegos que denotan quarks up y los latinos quarks down, el 4-tensor es doblemente antisimétrico, ${\displaystyle \;(\alpha ,\beta ;i,j)\equiv \operatorname {Im} (V_{\alpha i}V_{\beta j}V_{\alpha j}^{*}V_{\beta i}^{*})\;}$

${\displaystyle (\beta ,\alpha ;i,j)=-(\alpha ,\beta ;i,j)=(\alpha ,\beta ;j,i)~.}$

Hasta la antisimetría, sólo tiene 9 = 3 × 3 componentes no nulos, que, notablemente, a partir de la unitaridad de V , se puede demostrar que son todos idénticos en magnitud , es decir,

${\displaystyle (\alpha ,\beta ;i,j)=J~{\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{\alpha \beta }\otimes {\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{ij}\;,}$

de modo que

${\displaystyle J=(u,c;s,b)=(u,c;d,s)=(u,c;b,d)=(c,t;s,b)=(c,t;d,s)=(c,t;b,d)=(t,u;s,b)=(t,u;b,d)=(t,u;d,s)~.}$

Como los tres lados de los triángulos están abiertos a la experimentación directa, al igual que los tres ángulos, una clase de pruebas del Modelo Estándar consiste en comprobar que el triángulo se cierra. Éste es el objetivo de una serie de experimentos modernos que se están llevando a cabo en el experimento japonés BELLE y en el estadounidense BaBar , así como en el LHCb del CERN (Suiza).

Parametrizaciones

Se requieren cuatro parámetros independientes para definir completamente la matriz CKM. Se han propuesto muchas parametrizaciones y a continuación se muestran tres de las más comunes.

Parámetros KM

La parametrización original de Kobayashi y Maskawa utilizó tres ángulos ( θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) y un ángulo de fase violador de CP ( δ ). ^[5] θ ₁ es el ángulo de Cabibbo. Para abreviar, los cosenos y senos de los ángulos θ _k se denotan c _k y s _k , para k = 1, 2, 3 respectivamente.        

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&-s_{1}c_{3}&-s_{1}s_{3}\\s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}.}$

Parámetros "estándar"

Una parametrización "estándar" de la matriz CKM utiliza tres ángulos de Euler ( θ ₁₂ , θ ₂₃ , θ ₁₃ ) y una fase violadora de CP ( δ ₁₃ ). ^[8] θ ₁₂ es el ángulo de Cabibbo. Los acoplamientos entre las generaciones de quarks j y k se desvanecen si θ _jk = 0 . Los cosenos y senos de los ángulos se denotan c _jk y s _jk , respectivamente.    

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta _{13}}&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Los valores de 2008 para los parámetros estándar fueron: ^[9]

θ12 =_​13,04° ± 0,05° , θ ₁₃ =0,201° ± 0,011° , θ ₂₃ =2,38° ± 0,06°

y

δ ₁₃ =1,20 ± 0,08  radianes =68,8° ± 4,5° .

Parámetros de Wolfenstein

Lincoln Wolfenstein introdujo una tercera parametrización de la matriz CKM con los cuatro parámetros λ , A , ρ y η , que se "desvanecerían" (serían cero) si no hubiera acoplamiento. ^[10] Los cuatro parámetros de Wolfenstein tienen la propiedad de que todos son de orden 1 y están relacionados con la parametrización "estándar":

Aunque la parametrización de Wolfenstein de la matriz CKM puede ser tan exacta como se desee cuando se lleva a un orden alto, se utiliza principalmente para generar aproximaciones convenientes a la parametrización estándar. La aproximación al orden λ ³ , con una precisión de buena a mejor del 0,3 %, es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}+O(\lambda ^{4})~.}$

Las tasas de violación de CP corresponden a los parámetros ρ y η .

Utilizando los valores de la sección anterior para la matriz CKM, a partir de 2008 la mejor determinación de los valores de los parámetros de Wolfenstein es: ^[11]

λ =0,2257+0,0009
−0,0010,     Un =0,814+0,021
-0,022, ρ =0,135+0,031
−0,016, y   η =0,349+0,015
−0,017.

Premio Nobel

En 2008, Kobayashi y Maskawa compartieron la mitad del Premio Nobel de Física "por el descubrimiento del origen de la simetría rota que predice la existencia de al menos tres familias de quarks en la naturaleza". ^[12] Se informó que algunos físicos albergaban sentimientos amargos sobre el hecho de que el comité del Premio Nobel no recompensara el trabajo de Cabibbo , cuyo trabajo anterior estaba estrechamente relacionado con el de Kobayashi y Maskawa. ^[13] Cuando se le pidió una reacción sobre el premio, Cabibbo prefirió no hacer comentarios. ^[14]

Véase también

• Formulación del Modelo Estándar y violaciones del CP
• Cromodinámica cuántica , sabor y problema de CP fuerte
• Ángulo de Weinberg , un ángulo similar para Z y la mezcla de fotones.
• Matriz de Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata , la matriz de mezcla equivalente para neutrinos
• Fórmula de Koide

Referencias

1. Cabibbo, N. (1963). "Simetría unitaria y desintegraciones leptónicas". Physical Review Letters . 10 (12): 531–533. Código Bibliográfico :1963PhRvL..10..531C. doi : 10.1103/PhysRevLett.10.531 .
2. Gell-Mann, M. ; Lévy, M. (1960). "La corriente vectorial axial en la desintegración beta". Il Nuovo Cimento . 16 (4): 705–726. Bibcode :1960NCim...16..705G. doi :10.1007/BF02859738. S2CID  122945049.
3. Maiani, L. (2009). "Sul premio Nobel per la fisica 2008" [Sobre el premio Nobel de Física 2008] (PDF) . El nuevo Saggiatore . 25 (1–2): 78. Archivado desde el original (PDF) el 22 de julio de 2011 . Consultado el 30 de noviembre de 2010 .
4. Hughes, IS (1991). "Capítulo 11.1 – Mezcla Cabibbo". Partículas elementales (3.ª ed.). Cambridge University Press . pp. 242–243. ISBN 978-0-521-40402-0.
5. Kobayashi, M.; Maskawa, T. (1973). "Violación de CP en la teoría renormalizable de la interacción débil". Progreso de la física teórica . 49 (2): 652–657. Bibcode :1973PThPh..49..652K. doi : 10.1143/PTP.49.652 . hdl : 2433/66179 .
6. RL Workman et al. (Particle Data Group) (agosto de 2022). "Revisión de la física de partículas (y actualización de 2023)". Progreso de la física teórica y experimental . 2022 (8): 083C01. doi : 10.1093/ptep/ptac097 . hdl : 20.500.11850/571164 . Consultado el 12 de septiembre de 2023 .
7. Baez, JC (4 de abril de 2011). "Neutrinos y la misteriosa matriz Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata" . Consultado el 13 de febrero de 2016. De hecho, la matriz Pontecorvo–Maki–Nakagawa–Sakata afecta en realidad al comportamiento de todos los leptones, no solo de los neutrinos. Además, un truco similar funciona para los quarks, pero en ese caso la matriz U se denomina matriz Cabibbo–Kobayashi–Maskawa.
8. Chau, LL; Keung, W.-Y. (1984). "Comentarios sobre la parametrización de la matriz Kobayashi-Maskawa". Physical Review Letters . 53 (19): 1802–1805. Código Bibliográfico :1984PhRvL..53.1802C. doi :10.1103/PhysRevLett.53.1802.
9. Valores obtenidos a partir de los valores de los parámetros de Wolfenstein en la Revista de Física de Partículas de 2008 .
10. Wolfenstein, L. (1983). "Parametrización de la matriz Kobayashi-Maskawa". Physical Review Letters . 51 (21): 1945–1947. Código Bibliográfico :1983PhRvL..51.1945W. doi :10.1103/PhysRevLett.51.1945.
11. Amsler, C.; Doser, M.; Antonelli, M.; Asner, DM; Babu, KS; Baer, ​​H.; et al. (Particle Data Group) (2008). "La matriz de mezcla de quarks CKM" (PDF) . Physics Letters B . Revisión de física de partículas. 667 (1): 1–1340. Bibcode :2008PhLB..667....1A. doi :10.1016/j.physletb.2008.07.018. hdl : 1854/LU-685594 . S2CID  227119789.
12. "El Premio Nobel de Física 2008" (Nota de prensa). The Nobel Foundation . 7 de octubre de 2008. Consultado el 24 de noviembre de 2009 .
13. Jamieson, V. (7 de octubre de 2008). «El Nobel de Física desaira a un investigador clave». New Scientist . Consultado el 24 de noviembre de 2009 .
14. "Nobel, la amarezza dei fisici italiani". Corriere della Sera (en italiano). 7 de octubre de 2008 . Consultado el 24 de noviembre de 2009 .

Lectura adicional y enlaces externos

• DJ Griffiths (2008). Introducción a las partículas elementales (2.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 978-3-527-40601-2.

• B. Povh; et al. (1995). Partículas y núcleos: una introducción a los conceptos físicos . Springer . ISBN 978-3-540-20168-7.

• II Bigi, AI Sanda (2000). Violación de CP . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-44349-4.

• "Grupo de datos de partículas: La matriz de mezcla de quarks CKM" (PDF) .
• "Grupo de datos de partículas: Violación de CP en desintegraciones de mesones" (PDF) .
• "El experimento de Babar".en SLAC , California, y "el experimento BELLE".en KEK , Japón.