Matriz simpléctica

Concepto matemático

En matemáticas, una matriz simpléctica es una matriz con entradas reales que satisface la condición ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle M}$

donde denota la transpuesta de y es una matriz fija no singular y antisimétrica . Esta definición se puede extender a matrices con entradas en otros campos , como los números complejos , los campos finitos , los números p -ádicos y los campos de funciones . ${\displaystyle M^{\text{T}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$

Normalmente se elige la matriz de bloques donde es la matriz identidad . La matriz tiene determinante y su inversa es . ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \Omega ^{-1}=\Omega ^{\text{T}}=-\Omega }$

Propiedades

Generadores de matrices simplécticas

Toda matriz simpléctica tiene determinante , y las matrices simplécticas con elementos reales forman un subgrupo del grupo lineal general bajo la multiplicación de matrices, ya que ser simpléctico es una propiedad estable bajo la multiplicación de matrices. Topológicamente , este grupo simpléctico es un grupo de Lie real no compacto conexo de dimensión real , y se denota . El grupo simpléctico se puede definir como el conjunto de transformaciones lineales que preservan la forma simpléctica de un espacio vectorial simpléctico real . ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n(2n+1)}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )}$

Este grupo simpléctico tiene un conjunto distinguido de generadores, que se pueden usar para encontrar todas las matrices simplécticas posibles. Esto incluye los siguientes conjuntos donde es el conjunto de matrices simétricas . Entonces, es generado por el conjunto ^{[1] p. 2} de matrices. En otras palabras, cualquier matriz simpléctica se puede construir multiplicando matrices en y entre sí, junto con alguna potencia de . $${\displaystyle {\begin{aligned}D(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{pmatrix}}:A\in {\text{GL}}(n;\mathbb {R} )\right\}\\N(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}:B\in {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )\right\}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \{\Omega \}\cup D(n)\cup N(n)}$$ ${\displaystyle D(n)}$ ${\displaystyle N(n)}$ ${\displaystyle \Omega }$

Matriz inversa

Toda matriz simpléctica es invertible con la matriz inversa dada por Además, el producto de dos matrices simplécticas es, nuevamente, una matriz simpléctica. Esto le da al conjunto de todas las matrices simplécticas la estructura de un grupo . Existe una estructura de variedad natural en este grupo que lo convierte en un grupo de Lie (real o complejo) llamado grupo simpléctico . $${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega .}$$

Propiedades determinantes

De la definición se deduce fácilmente que el determinante de cualquier matriz simpléctica es ±1. En realidad, resulta que el determinante es siempre +1 para cualquier cuerpo. Una forma de ver esto es mediante el uso del Pfaffian y la identidad. Como y tenemos que . $${\displaystyle {\mbox{Pf}}(M^{\text{T}}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega ).}$$ ${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }$ ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0}$ ${\displaystyle \det(M)=1}$

Cuando el campo subyacente es real o complejo, también se puede demostrar esto factorizando la desigualdad . ^[2] ${\displaystyle \det(M^{\text{T}}M+I)\geq 1}$

Forma de bloque de matrices simplécticas

Supongamos que Ω se da en la forma estándar y sea una matriz de bloques dada por ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ $${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$$

donde son matrices. La condición para que sea simpléctica es equivalente a las dos condiciones equivalentes siguientes ^[3] ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle A^{\text{T}}C,B^{\text{T}}D}$simétrico, y ${\displaystyle A^{\text{T}}D-C^{\text{T}}B=I}$

${\displaystyle AB^{\text{T}},CD^{\text{T}}}$simétrico, y ${\displaystyle AD^{\text{T}}-BC^{\text{T}}=I}$

La segunda condición proviene del hecho de que si es simpléctica, entonces también es simpléctica. Cuando estas condiciones se reducen a la condición única . Por lo tanto, una matriz es simpléctica si y solo si tiene determinante unitario. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{T}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \det(M)=1}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

Matriz inversa de la matriz de bloques

En la forma estándar, la inversa de se da por El grupo tiene dimensión . Esto se puede ver al notar que es antisimétrico. Dado que el espacio de matrices antisimétricas tiene dimensión, la identidad impone restricciones sobre los coeficientes de y deja coeficientes independientes. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega ={\begin{pmatrix}D^{\text{T}}&-B^{\text{T}}\\-C^{\text{T}}&A^{\text{T}}\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle n(2n+1)}$ ${\displaystyle (M^{\text{T}}\Omega M)^{\text{T}}=-M^{\text{T}}\Omega M}$ ${\displaystyle {\binom {2n}{2}},}$ ${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }$ ${\displaystyle 2n \choose 2}$ ${\displaystyle (2n)^{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n(2n+1)}$

Transformaciones simplécticas

En la formulación abstracta del álgebra lineal , las matrices se reemplazan con transformaciones lineales de espacios vectoriales de dimensión finita . El análogo abstracto de una matriz simpléctica es una transformación simpléctica de un espacio vectorial simpléctico . Brevemente, un espacio vectorial simpléctico es un espacio vectorial de dimensión 1 equipado con una forma bilineal no degenerada y antisimétrica llamada forma simpléctica . ${\displaystyle (V,\omega )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega }$

Una transformación simpléctica es entonces una transformación lineal que conserva , es decir ${\displaystyle L:V\to V}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega (Lu,Lv)=\omega (u,v).}$

La fijación de una base para , se puede escribir como una matriz y como una matriz . La condición de que sea una transformación simpléctica es precisamente la condición de que M sea una matriz simpléctica: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega .}$

Bajo un cambio de base , representado por una matriz A , tenemos

${\displaystyle \Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A}$

${\displaystyle M\mapsto A^{-1}MA.}$

Siempre se puede llegar a la forma estándar dada en la introducción o a la forma diagonal en bloque descrita a continuación mediante una elección adecuada de A. ${\displaystyle \Omega }$

La matriz Ω

Las matrices simplécticas se definen en relación con una matriz fija no singular y antisimétrica . Como se explicó en la sección anterior, se puede considerar como la representación de coordenadas de una forma bilineal antisimétrica no degenerada . Es un resultado básico del álgebra lineal que dos matrices cualesquiera de estas difieren entre sí por un cambio de base . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

La alternativa más común al estándar dado anteriormente es la forma diagonal de bloque . ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}.}$

Esta elección se diferencia de la anterior por una permutación de vectores base .

A veces se utiliza la notación en lugar de para la matriz antisimétrica. Esta es una elección particularmente desafortunada ya que conduce a confusión con la noción de una estructura compleja , que a menudo tiene la misma expresión de coordenadas que pero representa una estructura muy diferente. Una estructura compleja es la representación de coordenadas de una transformación lineal que eleva al cuadrado a , mientras que es la representación de coordenadas de una forma bilineal antisimétrica no degenerada. Se podrían elegir fácilmente bases en las que no es antisimétrica o no eleva al cuadrado a . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle -I_{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle -I_{n}}$

Dada una estructura hermítica en un espacio vectorial, y están relacionados mediante ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega _{ab}=-g_{ac}{J^{c}}_{b}}$

donde es la métrica . Que y tengan normalmente la misma expresión de coordenadas (hasta un signo global) es simplemente una consecuencia del hecho de que la métrica g suele ser la matriz identidad. ${\displaystyle g_{ac}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Omega }$

Diagonalización y descomposición

• Para cualquier matriz simpléctica real simétrica positiva definida S existe U en tal que ${\displaystyle \mathrm {U} (2n,\mathbb {R} )=\mathrm {O} (2n)}$

${\displaystyle S=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),}$
donde los elementos diagonales de D son los valores propios de S. ^[4 ]

• Cualquier matriz simpléctica real S tiene una descomposición polar de la forma: ^[4]

${\displaystyle S=UR\quad }$para y ${\displaystyle \quad U\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} ).}$

• Cualquier matriz simpléctica real se puede descomponer como producto de tres matrices:

de modo que O y O' son ambos simplécticos y ortogonales y D es definida positiva y diagonal . ^[5] Esta descomposición está estrechamente relacionada con la descomposición en valores singulares de una matriz y se conoce como descomposición "Euler" o "Bloch-Mesías".

Matrices complejas

Si, en cambio, M es una matriz 2 n × 2 n con entradas complejas , la definición no es estándar en toda la literatura. Muchos autores ^[6] ajustan la definición anterior a

donde M ^* denota la transpuesta conjugada de M . En este caso, el determinante puede no ser 1, pero tendrá valor absoluto 1. En el caso 2×2 ( n =1), M será el producto de una matriz simpléctica real y un número complejo de valor absoluto 1.

Otros autores ^[7] mantienen la definición ( 1 ) para matrices complejas y llaman matrices que satisfacen ( 3 ) simplécticas conjugadas .

Aplicaciones

Las transformaciones descritas por matrices simplécticas desempeñan un papel importante en la óptica cuántica y en la teoría de la información cuántica de variable continua . Por ejemplo, las matrices simplécticas se pueden utilizar para describir transformaciones gaussianas (de Bogoliubov) de un estado cuántico de la luz. ^[8] A su vez, la descomposición de Bloch-Messiah ( 2 ) significa que una transformación gaussiana arbitraria de este tipo se puede representar como un conjunto de dos interferómetros ópticos lineales pasivos (que corresponden a las matrices ortogonales O y O' ) intermitidas por una capa de transformaciones de compresión no lineales activas (dadas en términos de la matriz D ). ^[9] De hecho, se puede eludir la necesidad de tales transformaciones de compresión activas en línea si los estados de vacío comprimidos de dos modos están disponibles solo como un recurso previo. ^[10]

Véase también

• Portal de matemáticas

• Espacio vectorial simpléctico
• Grupo simpléctico
• Representación simpléctica
• Matriz ortogonal
• Matriz unitaria
• Mecánica hamiltoniana
• Estructura compleja lineal
• Teorema de Williamson

Referencias

1. Habermann, Katharina, 1966- (2006). Introducción a los operadores simplécticos de Dirac. Springer. ISBN 978-3-540-33421-7.OCLC 262692314  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
2. Rim, Donsub (2017). "Una prueba elemental de que las matrices simplécticas tienen determinante uno". Adv. Dyn. Syst. Appl . 12 (1): 15–20. arXiv : 1505.04240 . doi :10.37622/ADSA/12.1.2017.15-20. S2CID  119595767.
3. de Gosson, Maurice. "Introducción a la mecánica simpléctica: lecciones I-II-III" (PDF) .
4. de Gosson, Maurice A. (2011). Métodos simplécticos en análisis armónico y en física matemática - Springer . doi :10.1007/978-3-7643-9992-4. ISBN 978-3-7643-9991-7.
5. Ferraro, Alessandro; Olivares, Stefano; Paris, Matteo GA (31 de marzo de 2005). "Estados gaussianos en información cuántica de variable continua". Sec. 1.3, pág. 4. arXiv : quant-ph/0503237 .
6. Xu, HG (15 de julio de 2003). "Una descomposición matricial similar a la SVD y sus aplicaciones". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 368 : 1–24. doi :10.1016/S0024-3795(03)00370-7. hdl : 1808/374 .
7. Mackey, DS; Mackey, N. (2003). Sobre el determinante de matrices simplécticas (Informe de análisis numérico 422). Manchester, Inglaterra: Centro de Matemática Computacional de Manchester.
8. Weedbrook, Christian; Pirandola, Stefano; García-Patrón, Raúl; Cerf, Nicolas J.; Ralph, Timothy C.; Shapiro, Jeffrey H.; Lloyd, Seth (2012). "Información cuántica gaussiana". Reseñas de Física Moderna . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Código Bibliográfico :2012RvMP...84..621W. doi :10.1103/RevModPhys.84.621. S2CID  119250535.
9. Braunstein, Samuel L. (2005). "La compresión como recurso irreducible". Physical Review A . 71 (5): 055801. arXiv : quant-ph/9904002 . Código Bibliográfico :2005PhRvA..71e5801B. doi :10.1103/PhysRevA.71.055801. S2CID  16714223.
10. Chakhmakhchyan, Levon; Cerf, Nicolas (2018). "Simulación de circuitos gaussianos arbitrarios con óptica lineal". Physical Review A . 98 (6): 062314. arXiv : 1803.11534 . Código Bibliográfico :2018PhRvA..98f2314C. doi :10.1103/PhysRevA.98.062314. S2CID  119227039.