Matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto
En álgebra lineal, la matriz identidad de tamaño es la matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Tiene propiedades únicas, por ejemplo, cuando la matriz identidad representa una transformación geométrica, el objeto permanece sin cambios por la transformación. En otros contextos, es análogo a multiplicar por el número 1.![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Terminología y notación
La matriz de identidad a menudo se denota por , o simplemente por si el tamaño es irrelevante o puede determinarse trivialmente por el contexto. [1]![{\ Displaystyle I_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1& \cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El término matriz unitaria también se ha utilizado ampliamente, [2] [3] [4] [5] pero el término matriz identidad es ahora estándar. [6] El término matriz unitaria es ambiguo, porque también se utiliza para una matriz de unos y para cualquier unidad del anillo de todas las matrices
. [7]
En algunos campos, como la teoría de grupos o la mecánica cuántica , la matriz de identidad a veces se indica con negrita o se llama "id" (abreviatura de identidad). Con menos frecuencia, algunos libros de matemáticas utilizan o para representar la matriz identidad, que significa "matriz unitaria" [2] y la palabra alemana Einheitsmatrix , respectivamente. [8]![{\displaystyle \mathbf {1} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En términos de una notación que a veces se usa para describir de manera concisa matrices diagonales , la matriz identidad se puede escribir como
![{\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots,1).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
delta de Kronecker[8]![{\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
Cuando es una matriz, es una propiedad de la multiplicación de matrices que![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m\veces n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
identidad multiplicativaanillo matricialelemento identidadgrupo lineal generalinvertiblesmatriz involutiva![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle GL(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuando se utilizan matrices para representar transformaciones lineales de un espacio vectorial de dimensión hacia sí mismo, la matriz identidad representa la función identidad , cualquiera que sea la base que se haya utilizado en esta representación.![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle I_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La enésima columna de una matriz identidad es el vector unitario , un vector cuya enésima entrada es 1 y 0 en el resto. El determinante de la matriz identidad es 1 y su traza es .
![{\ Displaystyle e_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La matriz identidad es la única matriz idempotente con determinante distinto de cero. Es decir, es la única matriz tal que:
- Cuando se multiplica por sí mismo, el resultado es él mismo.
- Todas sus filas y columnas son linealmente independientes .
La raíz cuadrada principal de una matriz identidad es ella misma, y esta es su única raíz cuadrada definida positiva . Sin embargo, toda matriz identidad con al menos dos filas y columnas tiene una infinidad de raíces cuadradas simétricas. [9]
El rango de una matriz identidad es igual al tamaño , es decir:![{\ Displaystyle I_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {rango} (I_{n})=n.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Notas
- ^ "Matriz de identidad: introducción a las matrices de identidad (artículo)". Academia Khan . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
- ^ ab Tubos, Louis Albert (1963). Métodos matriciales para ingeniería. Serie Internacional Prentice-Hall en Matemáticas Aplicadas. Prentice Hall. pag. 91.
- ↑ Roger Godement , Álgebra , 1968.
- ^ ISO 80000-2 : 2009.
- ^ Ken Stroud , Ingeniería Matemática , 2013.
- ^ ISO 80000-2 : 2019.
- ^ Weisstein, Eric W. "Matriz unitaria". mathworld.wolfram.com . Consultado el 5 de mayo de 2021 .
- ^ ab Weisstein, Eric W. "Matriz de identidad". mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
- ^ Mitchell, Douglas W. (noviembre de 2003). "87.57 Uso de ternas pitagóricas para generar raíces cuadradas de I 2 {\displaystyle I_{2}} ". La Gaceta Matemática . 87 (510): 499–500. doi : 10.1017/S0025557200173723 . JSTOR 3621289.