Matriz de identidad

Matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto

En álgebra lineal , la matriz identidad de tamaño es la matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Tiene propiedades únicas; por ejemplo, cuando la matriz identidad representa una transformación geométrica , el objeto permanece inalterado por la transformación. En otros contextos, es análoga a multiplicar por el número 1. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$

Terminología y notación

La matriz identidad a menudo se denota por , o simplemente por si el tamaño es irrelevante o puede determinarse trivialmente por el contexto. ^[1] ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$

El término matriz unitaria también ha sido ampliamente utilizado, ^{[2] [3] [4] [5]} pero el término matriz identidad es ahora estándar. ^[6] El término matriz unitaria es ambiguo, porque también se utiliza para una matriz de unos y para cualquier unidad del anillo de todas las matrices ${\displaystyle n\times n}$ . ^[7]

En algunos campos, como la teoría de grupos o la mecánica cuántica , la matriz identidad se representa a veces con un número en negrita, o se denomina "id" (abreviatura de identidad). Con menos frecuencia, algunos libros de matemáticas utilizan o para representar la matriz identidad, que significa "matriz unidad" ^[2] y la palabra alemana Einheitsmatrix respectivamente. ^[8] ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E}$

En términos de una notación que a veces se utiliza para describir de forma concisa las matrices diagonales , la matriz identidad se puede escribir como La matriz identidad también se puede escribir utilizando la notación delta de Kronecker : ^[8] $${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).}$$ $${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.}$$

Propiedades

Cuando es una matriz, es una propiedad de la multiplicación de matrices que En particular, la matriz identidad sirve como identidad multiplicativa del anillo matricial de todas las matrices, y como elemento identidad del grupo lineal general , que consiste en todas las matrices invertibles bajo la operación de multiplicación de matrices. En particular, la matriz identidad es invertible. Es una matriz involutiva , igual a su propia inversa. En este grupo, dos matrices cuadradas tienen como producto la matriz identidad exactamente cuando son inversas entre sí. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ $${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}$$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle n\times n}$

Cuando se utilizan matrices para representar transformaciones lineales de un espacio vectorial dimensional a sí mismo, la matriz identidad representa la función identidad , para cualquier base utilizada en esta representación. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I_{n}}$

La columna n de una matriz identidad es el vector unitario , un vector cuya entrada n es 1 y 0 en el resto. El determinante de la matriz identidad es 1 y su traza es . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$

La matriz identidad es la única matriz idempotente con determinante distinto de cero, es decir, es la única matriz tal que:

1. Al multiplicarse por sí mismo, el resultado es él mismo.
2. Todas sus filas y columnas son linealmente independientes .

La raíz cuadrada principal de una matriz identidad es ella misma, y ​​ésta es su única raíz cuadrada definida positiva . Sin embargo, toda matriz identidad con al menos dos filas y columnas tiene una infinidad de raíces cuadradas simétricas. ^[9]

El rango de una matriz identidad es igual al tamaño , es decir: ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \operatorname {rank} (I_{n})=n.}$$

Véase también

• Matriz binaria (matriz cero-uno)
• Matriz elemental
• Matriz de intercambio
• Matriz de unos
• Matrices de Pauli (la matriz identidad es la matriz de Pauli cero)
• Transformación de jefes de hogar (la matriz de jefes de hogar se construye a través de la matriz de identidad)
• Raíz cuadrada de una matriz identidad de 2x2
• Matriz unitaria
• Matriz cero

Notas

1. "Matriz de identidad: introducción a las matrices de identidad (artículo)". Khan Academy . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
2. Pipes, Louis Albert (1963). Métodos matriciales para ingeniería. Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics. Prentice-Hall. pág. 91.
3. Roger Godement , Álgebra , 1968.
4. ISO 80000-2 :2009.
5. Ken Stroud , Matemáticas de ingeniería , 2013.
6. ISO 80000-2 :2019.
7. Weisstein, Eric W. "Matriz unitaria". mathworld.wolfram.com . Consultado el 5 de mayo de 2021 .
8. Weisstein, Eric W. "Matriz de identidad". mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
9. Mitchell, Douglas W. (noviembre de 2003). "87.57 Uso de ternas pitagóricas para generar raíces cuadradas de I 2 {\displaystyle I_{2}}". The Mathematical Gazette . 87 (510): 499–500. doi : 10.1017/S0025557200173723 . JSTOR  3621289.