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Problema matemático

Un problema matemático es un problema que puede representarse , analizarse y posiblemente resolverse con los métodos de las matemáticas . Puede tratarse de un problema del mundo real, como el cálculo de las órbitas de los planetas del sistema solar, o de un problema de naturaleza más abstracta, como los problemas de Hilbert . También puede tratarse de un problema que haga referencia a la naturaleza de las matemáticas en sí, como la paradoja de Russell .

Problemas del mundo real

Los problemas matemáticos informales del "mundo real" son preguntas relacionadas con un contexto concreto, como "Adán tiene cinco manzanas y le da tres a Juan. ¿Cuántas le quedan?". Estas preguntas suelen ser más difíciles de resolver que los ejercicios matemáticos habituales como "5 − 3", incluso si uno conoce las matemáticas necesarias para resolver el problema. Conocidos como problemas de palabras , se utilizan en la educación matemática para enseñar a los estudiantes a conectar situaciones del mundo real con el lenguaje abstracto de las matemáticas.

En general, para utilizar las matemáticas para resolver un problema del mundo real, el primer paso es construir un modelo matemático del problema. Esto implica hacer abstracción de los detalles del problema y el modelador debe tener cuidado de no perder aspectos esenciales al traducir el problema original a uno matemático. Una vez que se ha resuelto el problema en el mundo de las matemáticas, la solución debe traducirse nuevamente al contexto del problema original.

Problemas abstractos

Los problemas matemáticos abstractos surgen en todos los campos de las matemáticas. Si bien los matemáticos suelen estudiarlos por su propio interés, al hacerlo pueden obtener resultados que encuentran aplicación fuera del ámbito de las matemáticas. La física teórica ha sido históricamente una rica fuente de inspiración .

Se ha demostrado rigurosamente que algunos problemas abstractos son irresolubles, como la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo utilizando únicamente las construcciones de compás y regla de la geometría clásica, y la resolución algebraica de la ecuación general de quinto grado . También se ha demostrado que son irresolubles los llamados problemas indecidibles , como el problema de la detención de las máquinas de Turing .

Algunos problemas abstractos difíciles y bien conocidos que se han resuelto relativamente recientemente son el teorema de los cuatro colores , el último teorema de Fermat y la conjetura de Poincaré .

Las computadoras no necesitan tener una idea de las motivaciones de los matemáticos para hacer lo que hacen. [1] Las definiciones formales y las deducciones comprobables por computadora son absolutamente centrales para la ciencia matemática .

Degradación de problemas a ejercicios

Los profesores de matemáticas que utilizan la resolución de problemas para la evaluación tienen un problema expresado por Alan H. Schoenfeld :

¿Cómo se pueden comparar los resultados de los exámenes de un año a otro cuando se utilizan problemas muy diferentes? (Si se utilizan problemas similares año tras año, los profesores y los estudiantes aprenderán cuáles son, los estudiantes los practicarán: los problemas se convierten en ejercicios y el examen ya no evalúa la resolución de problemas). [2]

Sylvestre Lacroix afrontó el mismo problema casi dos siglos antes:

... es necesario variar las preguntas que los estudiantes pueden formularse entre sí. Aunque puedan suspender el examen, pueden aprobarlo más tarde. Así, la distribución de las preguntas, la variedad de temas o las respuestas corren el riesgo de perder la oportunidad de comparar, con precisión, a los candidatos entre sí. [3]

Esta degradación de los problemas en ejercicios es característica de las matemáticas en la historia. Por ejemplo, al describir los preparativos para el Cambridge Mathematical Tripos en el siglo XIX, Andrew Warwick escribió:

...muchas familias de los entonces problemas estándar habían puesto a prueba originalmente las habilidades de los más grandes matemáticos del siglo XVIII. [4]

Véase también

Referencias

  1. ^ (Newby & Newby 2008), "La segunda prueba es que, aunque tales máquinas podrían ejecutar muchas cosas con igual o quizás mayor perfección que cualquiera de nosotros, sin duda fallarían en algunas otras de las cuales se podría descubrir que no actuaron por conocimiento , sino únicamente por la disposición de sus órganos: porque mientras que la razón es un instrumento universal que está igualmente disponible en cada ocasión, estos órganos, por el contrario, necesitan una disposición particular para cada acción particular; de donde debe ser moralmente imposible que exista en cualquier máquina una diversidad de órganos suficiente para permitirle actuar en todos los sucesos de la vida, de la manera en que nuestra razón nos permite actuar." traducido de
    (Descartes 1637), página = 57, "Et le second est que, bien qu'elles fissent plusieurs choses aussy bien, ou peutestre mieux qu'aucun de nois, ells manqueroient infaliblement en quelques autres, par lesquelles on découuriroit quelles n'agiroient pas par connoissance, mais seulement par la disposition de leurs organ. Car, au lieu que la raison est un instrument univeersel, qui peut seruir en toutes sortes de rencontres, ces organ ont besoin de quelque particliere disposition pour cada action particuliere pour cada action particuliere; mesme façon que nuestra raison nous fait agir."
  2. ^ Alan H. Schoenfeld (editor) (2007) Evaluación de la competencia matemática , páginas del prefacio x, xi, Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas, Cambridge University Press ISBN  978-0-521-87492-2
  3. ^ SF Lacroix (1816) Essais sur l'enseignement en general, et sur celui des mathematiques en particulier , página 201
  4. ^ Andrew Warwick (2003) Maestros de la teoría: Cambridge y el auge de la física matemática , página 145, University of Chicago Press ISBN 0-226-87375-7 
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