Las matemáticas de los juegos de azar son un conjunto de aplicaciones de la probabilidad que se encuentran en los juegos de azar y pueden incluirse en la teoría de juegos . Desde un punto de vista matemático, los juegos de azar son experimentos que generan varios tipos de eventos aleatorios y es posible realizar cálculos utilizando las propiedades de la probabilidad en un espacio finito de posibilidades.
Los procesos técnicos de un juego son experimentos que generan eventos aleatorios. A continuación se muestran algunos ejemplos:
Los sucesos pueden definirse, pero al formular un problema de probabilidad hay que hacerlo con sumo cuidado. Desde un punto de vista matemático, los sucesos no son más que subconjuntos, y el espacio de sucesos es un álgebra de Boole. Encontramos sucesos elementales y compuestos, sucesos exclusivos y no exclusivos, y sucesos independientes y no independientes.
En el experimento de lanzar un dado:
En el experimento de lanzar dos dados uno tras otro, los eventos de obtener "3" en el primer dado y obtener "5" en el segundo dado son independientes porque la ocurrencia del primero no influye en la ocurrencia del segundo evento, y viceversa.
En el experimento de repartir las cartas de bolsillo en el póquer Texas Hold'em:
Estos son algunos ejemplos de eventos de juego cuyas propiedades de composición, exclusividad e independencia son fácilmente observables. Estas propiedades son fundamentales en el cálculo de probabilidad práctico.
Los juegos de azar también son buenos ejemplos de combinaciones , permutaciones y disposiciones , que se cumplen en cada paso: combinaciones de cartas en la mano de un jugador, sobre la mesa o esperadas en cualquier juego de cartas; combinaciones de números al tirar varios dados a la vez; combinaciones de números en la lotería y el bingo; combinaciones de símbolos en las tragamonedas; permutaciones y disposiciones en una carrera en la que se va a apostar y similares. El cálculo combinatorio es una parte integral de las aplicaciones de probabilidad de juego. En los juegos de azar, la mayor parte del cálculo de probabilidad de juego en el que usamos la definición clásica de probabilidad se basa en contar combinaciones. Los eventos de juego se pueden identificar con conjuntos, que a menudo son conjuntos de combinaciones. Por lo tanto, podemos identificar un evento con una combinación.
Por ejemplo, en una partida de póquer de cinco cartas, el evento de que al menos un jugador tenga una formación de cuatro cartas iguales se puede identificar con el conjunto de todas las combinaciones de tipo (xxxxy), donde x e y son valores distintos de cartas. Este conjunto tiene 13C(4,4)(52-4)=624 combinaciones. Las combinaciones posibles son (3♠ 3♣ 3♥ 3♦ J♣) o (7♠ 7♣ 7♥ 7♦ 2♣). Estas se pueden identificar con eventos elementales de los que consta el evento que se va a medir. [1]
Cuando ocurren eventos aleatorios una gran cantidad de veces, las probabilidades se cancelan entre sí, de modo que la media aritmética de los resultados de estos eventos es muy cercana a su valor en términos matemáticos en un sentido probabilístico. Por ejemplo, cuando se lanza una moneda, es aleatorio qué lado de la moneda queda hacia arriba cuando cae, pero cuando sucede suficientes veces, el número de veces que la moneda sube por ambos lados es aproximadamente la mitad de cada uno. Esto se conoce como la ley de los grandes números .
Ganar o perder en el juego también se comporta como un evento aleatorio en una sola persona y durante un período corto, pero a largo plazo, mientras el jugador tenga una tasa de retorno negativa, perderá tarde o temprano a medida que avanza el juego. Para el casino, así como para los jugadores con ventaja, siempre que la tasa de ganancia del juego sea positiva, es una victoria segura. [2]
La clave para determinar la victoria o la derrota es la tasa de rendimiento determinada por las reglas y la estrategia de juego. La tasa de rendimiento refleja la verdad y la naturaleza del juego. El principio para diseñar las reglas de juego suele ser hacer que la tasa de ganancia del casino sea ligeramente superior al 50%, lo que se refleja en una tasa de rendimiento positiva que es ligeramente mayor que cero. El juego no es suerte, sino una competencia de intelecto, estrategia y rendimiento. La ganancia final del juego a largo plazo depende de la tasa de rendimiento del jugador: si la tasa de rendimiento es positiva, el rendimiento esperado es mayor que cero y se puede ganar; si la tasa de rendimiento es negativa, el rendimiento esperado es menor que cero y no se puede ganar. Cuando la tasa de rendimiento es negativa, "el juego a largo plazo perderá", el papel de la ley de los grandes números aparecerá cada vez más. Los jugadores profesionales, que se adhieren al principio de una tasa de rendimiento positiva, no juegan durante mucho tiempo y perderán el juego de azar, solo para apostar a una victoria segura. Son no jugadores. [2]
La ley de los grandes números significa que cuando la muestra se acerca a la general, su probabilidad será cercana a la general. El "sesgo de la ley de los números pequeños" se refiere al hecho de que la distribución de probabilidad de un evento en una muestra pequeña se considera como la distribución general, exagerando así la representatividad de la muestra pequeña con respecto a la población general. Otra situación es la llamada "falacia del jugador". Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire, si sale cara 10 veces seguidas, uno pensaría que la próxima vez que salga cruz es muy probable; de hecho, la probabilidad de que salga cara o cruz es de 0,5 cada vez, y no tiene nada que ver con cuántas veces haya salido cara.
La ignorancia del efecto del tamaño de la muestra, la creencia de que las muestras pequeñas y grandes tienen el mismo valor esperado y la sustitución de la correcta ley probabilística de los grandes números por la falsa ley psicológica de los pequeños números son la causa del gran aumento de la mentalidad de juego de la gente. Los casinos creen en la ley de los grandes números y los jugadores aplican inconscientemente la ley de los pequeños números. La ley de los grandes números permite a los casinos ganar dinero y la ley de los pequeños números permite a los jugadores dar dinero a los casinos, y esta es la lógica de la existencia de los casinos. [2]
La ventaja del casino es la ventaja que tiene el casino sobre los jugadores para cada tipo de juego de apuestas en el casino.
Tomemos como ejemplo el lanzamiento de una moneda, las posibilidades de que salga cara y cruz son iguales, 50% cada una, si un jugador apuesta $10 a que la moneda caiga cara y gana, el casino le paga $10. Si pierde, el casino pierde los $10; en este caso, la ventaja del casino es cero (el casino ciertamente no es lo suficientemente estúpido como para abrir este juego); pero si gana, el casino solo le paga $9; si pierde, el casino pierde los $10. El pago promedio es (+$9−$10)/2 = −$0,50 . La ventaja del casino en este caso es $0,50 / $10 = 5% .
En cualquier tipo de juego que se juegue en un casino, el casino tiene una cierta ventaja sobre los jugadores, y solo de esta manera el casino puede asegurarse de que seguirá abierto a largo plazo. La ventaja del casino varía mucho de un juego a otro, ya que algunos juegos tienen una ventaja baja y otros una alta. Las personas que juegan mucho intentan no jugar a juegos con una ventaja alta. [2] [3]
Los juegos de azar no son meras aplicaciones puras del cálculo de probabilidades y las situaciones de juego no son simplemente eventos aislados cuya probabilidad numérica está bien establecida mediante métodos matemáticos; también son juegos cuyo progreso está influenciado por la acción humana. En los juegos de azar, el elemento humano tiene un carácter llamativo. El jugador no solo está interesado en la probabilidad matemática de los diversos eventos del juego, sino que tiene expectativas de los juegos mientras exista una interacción importante. Para obtener resultados favorables de esta interacción, los jugadores toman en cuenta toda la información posible, incluidas las estadísticas , para construir estrategias de juego. [4] [1] Puede elegir fácilmente una estrategia que se ajuste a sus intereses como jugador consultando la lista en la siguiente sección. Como puede ver, hemos explicado los conceptos básicos de cada método que un jugador puede probar. [5]
Aunque la aleatoriedad inherente a los juegos de azar parecería garantizar su imparcialidad (al menos en lo que respecta a los jugadores que se sientan alrededor de una mesa: barajar una baraja o hacer girar una ruleta no favorece a ningún jugador, salvo si es fraudulento), los jugadores buscan y esperan irregularidades en esta aleatoriedad que les permitan ganar. Se ha demostrado matemáticamente que, en condiciones ideales de aleatoriedad y con expectativas negativas, no es posible que los jugadores de juegos de azar obtengan ganancias regulares a largo plazo. La mayoría de los jugadores aceptan esta premisa, pero aún así trabajan en estrategias para ganar a corto o a largo plazo. [6]
Los juegos de casino proporcionan una ventaja predecible a largo plazo al casino, o "casa", al tiempo que ofrecen al jugador la posibilidad de un gran pago a corto plazo. Algunos juegos de casino tienen un elemento de habilidad, donde el jugador toma decisiones; a estos juegos se los llama "aleatorios con un elemento táctico". Si bien es posible minimizar la ventaja de la casa mediante un juego hábil, un jugador rara vez tiene la habilidad suficiente para eliminar su desventaja inherente a largo plazo (la ventaja de la casa o el vigorish de la casa) en un juego de casino. La creencia común es que tal conjunto de habilidades implicaría años de entrenamiento, memoria extraordinaria y aritmética, y/o una observación visual o incluso auditiva aguda, como en el caso del cronometraje de la rueda en la ruleta . Para más ejemplos, consulte el juego con ventaja .
La desventaja del jugador es el resultado de que el casino no paga las apuestas ganadoras de acuerdo con las "probabilidades reales" del juego, que son los pagos que se esperarían considerando las probabilidades de que una apuesta gane o pierda. Por ejemplo, si se juega a un juego apostando al número que resultaría de la tirada de un dado, las probabilidades reales serían 5 veces la cantidad apostada, ya que existe una probabilidad de 1/6 de que aparezca un solo número. Sin embargo, el casino solo puede pagar 4 veces la cantidad apostada por una apuesta ganadora.
La ventaja de la casa (HE) o vigorish se define como la ganancia del casino expresada como un porcentaje de la apuesta original del jugador. En juegos como el Blackjack o el 21 español, la apuesta final puede ser varias veces la apuesta original, si el jugador duplica o divide.
Ejemplo: En la ruleta americana hay dos ceros y 36 números distintos de cero (18 rojos y 18 negros). Si un jugador apuesta $1 al rojo, su probabilidad de ganar $1 es, por lo tanto, de 18/38 y su probabilidad de perder $1 (o ganar -$1) es de 20/38.
El valor esperado del jugador, EV = (18/38 x 1) + (20/38 x -1) = 18/38 - 20/38 = -2/38 = -5,26 %. Por lo tanto, la ventaja de la casa es del 5,26 %. Después de 10 rondas, juegue $1 por ronda y la ganancia promedio de la casa será 10 x $1 x 5,26 % = $0,53. Por supuesto, el casino no puede ganar exactamente 53 centavos; esta cifra es la ganancia promedio del casino de cada jugador si tuviera millones de jugadores apostando cada uno 10 rondas a $1 por ronda.
La ventaja de la casa en los juegos de casino varía mucho según el juego. El keno puede tener ventajas de la casa de hasta el 25 % y las máquinas tragamonedas pueden tener hasta el 15 %, mientras que la mayoría de los juegos de Pontoon australianos tienen ventajas de la casa de entre el 0,3 % y el 0,4 %.
El cálculo de la ventaja de la casa en la ruleta fue un ejercicio trivial; en otros juegos, esto no suele ser así. Para completar la tarea se necesita un análisis combinatorio o una simulación por ordenador.
En los juegos que tienen un elemento de habilidad, como el Blackjack o el 21 español , la ventaja de la casa se define como la ventaja de la casa a partir de un juego óptimo (sin el uso de técnicas avanzadas como el conteo de cartas o el seguimiento de barajado ), en la primera mano del mazo (el contenedor que contiene las cartas). El conjunto de jugadas óptimas para todas las manos posibles se conoce como "estrategia básica" y depende en gran medida de las reglas específicas, e incluso del número de barajas utilizadas. Los buenos juegos de Blackjack y 21 español tienen ventajas de la casa por debajo del 0,5%.
Los juegos de tragamonedas en línea suelen tener un porcentaje de retorno al jugador (RTP) publicado que determina la ventaja teórica de la casa. Algunos desarrolladores de software optan por publicar el RTP de sus juegos de tragamonedas, mientras que otros no lo hacen. A pesar del RTP teórico establecido, casi cualquier resultado es posible en el corto plazo. [2]
El factor suerte en un juego de casino se cuantifica utilizando la desviación estándar (DE). La desviación estándar de un juego simple como la ruleta se puede calcular de forma sencilla debido a la distribución binomial de éxitos (suponiendo un resultado de 1 unidad para una victoria y 0 unidades para una derrota). Para la distribución binomial, la DE es igual a , donde es el número de rondas jugadas, es la probabilidad de ganar y es la probabilidad de perder. Además, si apostamos a 10 unidades por ronda en lugar de 1 unidad, el rango de resultados posibles aumenta diez veces. Por lo tanto, la DE para la apuesta de dinero parejo en la ruleta es igual a , donde es la apuesta fija por ronda, es el número de rondas, y .
Después de una cantidad suficientemente grande de rondas, la distribución teórica de la ganancia total converge a la distribución normal , lo que brinda una buena posibilidad de pronosticar la posible ganancia o pérdida. Por ejemplo, después de 100 rondas a $1 por ronda, la desviación estándar de la ganancia (igual a la de la pérdida) será . Después de 100 rondas, la pérdida esperada será .
El rango de 3 sigma es seis veces la desviación estándar: tres por encima de la media y tres por debajo. Por lo tanto, después de 100 rondas apostando $1 por ronda, el resultado muy probablemente estará en algún lugar entre y , es decir, entre -$34 y $24. Todavía hay una probabilidad de aproximadamente 1 a 400 de que el resultado no esté en este rango, es decir, que la ganancia supere los $24 o la pérdida supere los $34.
La desviación estándar de la apuesta de ruleta a dinero parejo es una de las más bajas de todos los juegos de casino. La mayoría de los juegos, en particular las tragamonedas, tienen desviaciones estándar extremadamente altas. A medida que aumenta el tamaño de los pagos potenciales, también lo hace la desviación estándar.
Lamentablemente, las consideraciones anteriores para un número reducido de rondas son incorrectas, porque la distribución dista mucho de ser normal. Además, los resultados de los juegos más volátiles suelen converger a la distribución normal mucho más lentamente, por lo que se requiere un número mucho mayor de rondas para ello.
A medida que aumenta el número de rondas, la pérdida esperada superará la desviación estándar varias veces. De la fórmula se desprende que la desviación estándar es proporcional a la raíz cuadrada del número de rondas jugadas, mientras que la pérdida esperada es proporcional al número de rondas jugadas. A medida que aumenta el número de rondas, la pérdida esperada aumenta a un ritmo mucho más rápido. Por eso es prácticamente imposible que un jugador gane a largo plazo (si no tiene una ventaja). Es la elevada relación entre la desviación estándar a corto plazo y la pérdida esperada lo que engaña a los jugadores y les hace pensar que pueden ganar.
El índice de volatilidad (VI) se define como la desviación estándar para una ronda, apostando una unidad. Por lo tanto, el VI para la apuesta de ruleta americana con dinero parejo es .
La varianza se define como el cuadrado del índice de varianza. Por lo tanto, la varianza de la apuesta de dinero parejo en la ruleta americana es de aproximadamente 0,9972, lo cual es bajo para un juego de casino. La varianza para el blackjack es de aproximadamente 1,2, lo cual sigue siendo bajo en comparación con las varianzas de las máquinas de juego electrónicas (EGM).
Además, se utiliza el término índice de volatilidad basado en algunos intervalos de confianza. Por lo general, se basa en el intervalo de confianza del 90%. El índice de volatilidad para el intervalo de confianza del 90% es aproximadamente 1,645 veces mayor que el índice de volatilidad "habitual" relacionado con el intervalo de confianza del 68,27%.
Es importante que un casino conozca tanto la ventaja de la casa como el índice de volatilidad de todos sus juegos. La ventaja de la casa les indica qué tipo de beneficio obtendrán como porcentaje de la facturación, y el índice de volatilidad les indica cuánto dinero necesitan en reservas de efectivo. Los matemáticos y programadores informáticos que realizan este tipo de trabajo se denominan matemáticos y analistas de juegos. Los casinos no cuentan con expertos internos en este campo, por lo que subcontratan sus necesidades a expertos en el campo del análisis de juegos. [6]
La probabilidad de ganar un juego de bingo (ignorando los ganadores simultáneos, lo que hace que las ganancias sean mutuamente excluyentes) se puede calcular de la siguiente manera:
ya que ganar y perder son mutuamente excluyentes. La probabilidad de perder es la misma que la probabilidad de que otro jugador gane (por ahora, suponiendo que cada jugador tiene solo una tarjeta de Bingo). Con jugadores que participan: con jugadores y nuestro jugador designados . Esto también se indica (para eventos mutuamente excluyentes) como .
Si la probabilidad de ganar para cada jugador es igual (como se esperaría en un juego de azar justo), entonces y por lo tanto y por lo tanto . Simplificando obtenemos
Para el caso donde se compra más de una carta, cada carta puede verse como equivalente a los jugadores anteriores, teniendo la misma posibilidad de ganar. donde es el número de cartas en el juego y es la carta que nos interesa.
Por lo tanto, un jugador ( ) que tenga cartas será el ganador si alguna de estas cartas gana (aún ignorando las victorias simultáneas):
Una forma sencilla para que un jugador aumente sus probabilidades de ganar es comprar más cartas en un juego (aumentar ).
En ciertos tipos de juegos (como el bingo en línea , donde el ganador se determina automáticamente en lugar de gritar "Bingo", por ejemplo) pueden producirse ganancias simultáneas y las ganancias se dividen entre todos los ganadores simultáneos. La probabilidad de que nuestra tarjeta, , gane cuando hay uno o más ganadores simultáneos se expresa mediante:
donde es la probabilidad de que haya un ganador simultáneo (una función del tipo de juego y del número de jugadores) y es la probabilidad (justa) de que sea una de las cartas ganadoras. El valor esperado general para el pago (1 representa el bote ganador completo) es, por lo tanto:
Dado que, para un juego de bingo normal, que se juega hasta que hay un ganador, la probabilidad de que haya una tarjeta ganadora, ya sea o o ... o , y siendo estas mutuamente excluyentes , se puede afirmar que
y por lo tanto que
Por lo tanto, el resultado esperado del juego no se modifica por los ganadores simultáneos, siempre que el bote se divida equitativamente entre todos los ganadores simultáneos. Esto se ha confirmado numéricamente. [7]
Para investigar si es mejor jugar varias cartas en un solo juego o jugar varios juegos, se calcula la probabilidad de ganar para cada escenario, donde se compran cartas.
donde n es el número de jugadores (suponiendo que cada jugador oponente solo juega una carta). La probabilidad de perder cualquier juego individual, en el que solo se juega una carta, se expresa como:
La probabilidad de perder juegos se expresa como:
La probabilidad de ganar al menos un juego de todos los juegos es la misma que la probabilidad de no perder todos los juegos:
Cuando , estos valores son iguales:
pero se ha demostrado [7] que para . La ventaja de crece tanto cuando crece como cuando disminuye. Por lo tanto, siempre es mejor jugar múltiples juegos en lugar de múltiples cartas en un solo juego, aunque la ventaja disminuye cuando hay más jugadores en el juego. [7] [8]
