Distancia de coincidencia

En matemáticas , la distancia de coincidencia ^{[1] [2]} es una métrica en el espacio de funciones de tamaño .

Ejemplo: La distancia de coincidencia entre y está dada por ${\displaystyle \ell _{1}=r+a+b}$ ${\displaystyle \ell _{2}=r'+a'}$ ${\displaystyle d_{\text{match}}(\ell _{1},\ell _{2})=\max\{\delta (r,r'),\delta (b,a'),\delta (a,\Delta )\}=4}$

El núcleo de la definición de distancia de coincidencia es la observación de que la información contenida en una función de tamaño se puede almacenar combinatoriamente en una serie formal de líneas y puntos del plano, llamados respectivamente líneas de esquina y puntos de esquina .

Dadas dos funciones de tamaño y , sea (resp. ) el multiconjunto de todos los puntos de esquina y líneas de esquina para (resp. ) contados con sus multiplicidades, aumentados mediante la adición de una infinidad contable de puntos de la diagonal . ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$ ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x=y\}}$

La distancia de coincidencia entre y está dada por donde varía entre todas las biyecciones entre y y ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$ ${\displaystyle d_{\text{match}}(\ell _{1},\ell _{2})=\min _{\sigma }\max _{p\in C_{1}}\delta (p,\sigma (p))}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle \delta \left((x,y),(x',y')\right)=\min \left\{\max\{|x-x'|,|y-y'|\},\max \left\{{\frac {y-x}{2}},{\frac {y'-x'}{2}}\right\}\right\}.}$

En términos generales, la distancia de coincidencia entre dos funciones de tamaño es el mínimo, sobre todas las coincidencias entre los vértices de las dos funciones de tamaño, del máximo de las distancias entre dos vértices coincidentes. Dado que dos funciones de tamaño pueden tener un número diferente de vértices, estos también pueden coincidir con puntos de la diagonal . Además, la definición de implica que hacer coincidir dos puntos de la diagonal no tiene ningún coste. ${\displaystyle d_{\text{match}}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Véase también

• Teoría del tamaño
• Función de tamaño
• Functor de tamaño
• Grupo de homotopía de tamaño
• Pseudodistancia natural

Referencias

1. Michele d'Amico, Patrizio Frosini, Claudia Landi, Uso de la distancia de coincidencia en la teoría del tamaño: una encuesta , Revista internacional de sistemas y tecnología de imágenes, 16(5):154–161, 2006.
2. Michele d'Amico, Patrizio Frosini, Claudia Landi, Pseudodistancia natural y coincidencia óptima entre funciones de tamaño reducido , Acta Applicandae Mathematicae, 109(2):527-554, 2010.