Pseudodistancia natural

En la teoría del tamaño , la pseudodistancia natural entre dos pares de tamaños es el valor , donde varía en el conjunto de todos los homeomorfismos de una variedad a otra y es la norma suprema . Si y no son homeomórficos, entonces la pseudodistancia natural se define como . Generalmente se supone que , son colectores cerrados y las funciones de medición son . Dicho de otra manera, la pseudodistancia natural mide el mínimo del cambio de la función de medición inducido por los homeomorfismos de a . ${\displaystyle (M,\varphi :M\to \mathbb {R} )\ }$ ${\displaystyle (N,\psi :N\to \mathbb {R} )\ }$ ${\displaystyle \inf _{h}\|\varphi -\psi \circ h\|_{\infty }\ }$ ${\displaystyle h\ }$ ${\displaystyle M\ }$ ${\displaystyle N\ }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }\ }$ ${\displaystyle M\ }$ ${\displaystyle N\ }$ ${\displaystyle \infty \ }$ ${\displaystyle M\ }$ ${\displaystyle N\ }$ ${\displaystyle C^{1}\ }$ ${\displaystyle \varphi ,\psi \ }$ ${\displaystyle C^{1}\ }$ ${\displaystyle M\ }$ ${\displaystyle N\ }$

El concepto de pseudodistancia natural se puede extender fácilmente a pares de tamaños donde la función de medición toma valores en . ^[1] Cuando , el grupo de todos los homeomorfismos de puede ser reemplazado en la definición de pseudodistancia natural por un subgrupo de , obteniendo así el concepto de pseudodistancia natural con respecto al grupo . ^{[2] [3]} Los límites inferiores y las aproximaciones de la pseudodistancia natural con respecto al grupo se pueden obtener mediante homología persistente invariante ^[4] y combinando la homología persistente clásica con el uso de operadores no expansivos equivalentes a G. . ^{[2] [3]} ${\displaystyle \varphi \ }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\ }$ ${\displaystyle M=N\ }$ ${\displaystyle H\ }$ ${\displaystyle M\ }$ ${\displaystyle G\ }$ ${\displaystyle H\ }$ ${\displaystyle G\ }$ ${\displaystyle G\ }$ ${\displaystyle G}$

Propiedades principales

Se puede demostrar ^[5] que la pseudodistancia natural siempre es igual a la distancia euclidiana entre dos valores críticos de las funciones de medición (posiblemente de la misma función de medición) dividida por un entero positivo adecuado . Si y son superficies, se puede suponer que el número es , o . ^[6] Si y son curvas, se puede suponer que el número es o . ^[7] Si existe un homeomorfismo óptimo (es decir, ), entonces se puede suponer que es . ^[5] La investigación sobre los homeomorfismos óptimos se encuentra todavía en sus inicios. ^{[8] [9]} ${\displaystyle k\ }$ ${\displaystyle M\ }$ ${\displaystyle N\ }$ ${\displaystyle k\ }$ ${\displaystyle 1\ }$ ${\displaystyle 2\ }$ ${\displaystyle 3\ }$ ${\displaystyle M\ }$ ${\displaystyle N\ }$ ${\displaystyle k\ }$ ${\displaystyle 1\ }$ ${\displaystyle 2\ }$ ${\displaystyle {\bar {h}}\ }$ ${\displaystyle \|\varphi -\psi \circ {\bar {h}}\|_{\infty }=\inf _{h}\|\varphi -\psi \circ h\|_{\infty }\ }$ ${\displaystyle k\ }$ ${\displaystyle 1\ }$

Ver también

• distancia de frechet
• Función de tamaño
• Funtor de tamaño
• Grupo de homotopía de tamaño

Referencias

1. Patrizio Frosini, Michele Mulazzani, Grupos de homotopía de tamaño para el cálculo de distancias de tamaño natural , Boletín de la Sociedad Matemática Belga , 6:455-464, 1999.
2. Patrizio Frosini, Grzegorz Jabłoński, Combinación de grupos de invariancia y homología persistente para comparar formas , Geometría discreta y computacional , 55(2):373-409, 2016.
3. Mattia G. Bergomi, Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Nicola Quercioli, Hacia una teoría topológico-geométrica de operadores no expansivos equivariantes de grupo para el análisis de datos y el aprendizaje automático , Nature Machine Intelligence , (2 de septiembre de 2019). DOI: 10.1038/s42256-019-0087-3 El acceso al texto completo de una versión de solo lectura de este documento está disponible en el enlace https://rdcu.be/bP6HV.
4. Patrizio Frosini, Homología persistente invariante G , Métodos matemáticos en las ciencias aplicadas, 38(6):1190-1199, 2015.
5. Pietro Donatini, Patrizio Frosini, Pseudodistancias naturales entre variedades cerradas , Forum Mathematicum, 16(5):695-715, 2004.
6. Pietro Donatini, Patrizio Frosini, Pseudodistancias naturales entre superficies cerradas , Revista de la Sociedad Matemática Europea , 9(2):231–253, 2007.
7. Pietro Donatini, Patrizio Frosini, Pseudodistancias naturales entre curvas cerradas , Forum Mathematicum, 21(6):981–999, 2009.
8. Andrea Cerri, Barbara Di Fabio, Sobre ciertos difeomorfismos óptimos entre curvas cerradas , Forum Mathematicum, 26(6):1611-1628, 2014.
9. Alessandro De Gregorio, Sobre el conjunto de homeomorfismos óptimos para la pseudodistancia natural asociada al grupo de Lie ${\displaystyle S^{1}\ }$ , Topología y sus aplicaciones, 229:187-195, 2017.