Masa añadida

En mecánica de fluidos , la masa añadida o masa virtual es la inercia que se añade a un sistema porque un cuerpo que acelera o desacelera debe mover (o desviar) un volumen del fluido circundante a medida que se mueve a través de él. La masa añadida es un problema común porque el objeto y el fluido circundante no pueden ocupar el mismo espacio físico simultáneamente. Para simplificar, esto se puede modelar como un volumen de fluido que se mueve con el objeto, aunque en realidad "todo" el fluido se acelerará, en diversos grados.

El coeficiente de masa añadida adimensional es la masa añadida dividida por la masa del fluido desplazado, es decir, dividida por la densidad del fluido multiplicada por el volumen del cuerpo. En general, la masa añadida es un tensor de segundo orden que relaciona el vector de aceleración del fluido con el vector de fuerza resultante sobre el cuerpo. ^[1]

Fondo

Friedrich Wilhelm Bessel propuso el concepto de masa añadida en 1828 para describir el movimiento de un péndulo en un fluido. El período de un péndulo de este tipo aumentaba en relación con su período en el vacío (incluso después de tener en cuenta los efectos de flotabilidad ), lo que indica que el fluido circundante aumentaba la masa efectiva del sistema. ^[2]

El concepto de masa añadida es posiblemente el primer ejemplo de renormalización en física. ^{[3] [4] [5]} El concepto también puede considerarse como un análogo de la física clásica del concepto mecánico cuántico de cuasipartículas . Sin embargo, no debe confundirse con el aumento de masa relativista .

A menudo se afirma erróneamente que la masa añadida está determinada por el momento del fluido. Que esto no es así se hace evidente al considerar el caso del fluido en una caja grande, donde el momento del fluido es exactamente cero en cada instante de tiempo. La masa añadida está determinada en realidad por el cuasimomento: la masa añadida multiplicada por la aceleración del cuerpo es igual a la derivada temporal del cuasimomento del fluido. ^[4]

Fuerza de masas virtual

Las fuerzas inestables debidas a un cambio de la velocidad relativa de un cuerpo sumergido en un fluido se pueden dividir en dos partes: el efecto de masa virtual y la fuerza de Basset .

El origen de la fuerza es que el fluido ganará energía cinética a expensas del trabajo realizado por un cuerpo sumergido en aceleración.

Se puede demostrar que la fuerza de masa virtual, para una partícula esférica sumergida en un fluido no viscoso e incompresible es ^[6]

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}\left({\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right),}$

donde los símbolos en negrita denotan vectores, es la velocidad del flujo del fluido , es la velocidad de la partícula esférica, es la densidad de masa del fluido (fase continua), es el volumen de la partícula y D/D t denota la derivada del material . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {p} }}$

El origen de la noción de "masa virtual" se hace evidente cuando observamos la ecuación del momento de la partícula.

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=\sum \mathbf {F} +{\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}\left({\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right),}$

donde es la suma de todos los demás términos de fuerza sobre la partícula, como gravedad , gradiente de presión , arrastre , sustentación , fuerza de Basset , etc. ${\displaystyle \sum \mathbf {F} }$

Moviendo la derivada de la velocidad de la partícula del lado derecho de la ecuación al izquierdo obtenemos

${\displaystyle \left(m_{\mathrm {p} }+{\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}\right){\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=\sum \mathbf {F} +{\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}{\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}},}$

Entonces, la partícula se acelera como si tuviera una masa añadida de la mitad del fluido que desplaza, y también hay una contribución de fuerza adicional en el lado derecho debido a la aceleración del fluido.

Aplicaciones

La masa añadida se puede incorporar en la mayoría de las ecuaciones de física considerando una masa efectiva como la suma de la masa y la masa añadida. Esta suma se conoce comúnmente como "masa virtual".

Una formulación simple de la masa agregada para un cuerpo esférico permite escribir la segunda ley clásica de Newton en la forma

${\displaystyle F=m\,a}$  se convierte en  ${\displaystyle F=(m+m_{\text{added}})\,a.}$

Se puede demostrar que la masa añadida para una esfera (de radio ) es , que es la mitad del volumen de la esfera multiplicado por la densidad del fluido. Para un cuerpo general, la masa añadida se convierte en un tensor (denominado tensor de masa inducida), con componentes que dependen de la dirección del movimiento del cuerpo. No todos los elementos del tensor de masa añadida tendrán dimensión masa, algunos serán masa × longitud y otros serán masa × longitud ² . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{fluid}}}$

Todos los cuerpos que se aceleran en un fluido se verán afectados por la masa añadida, pero como la masa añadida depende de la densidad del fluido, el efecto suele ignorarse en el caso de cuerpos densos que caen en fluidos mucho menos densos. En situaciones en las que la densidad del fluido es comparable o mayor que la densidad del cuerpo, la masa añadida puede ser a menudo mayor que la masa del cuerpo y, si se ignora, pueden producirse errores importantes en un cálculo.

Por ejemplo, una burbuja de aire esférica que se eleva en el agua tiene una masa de pero una masa añadida de Dado que el agua es aproximadamente 800 veces más densa que el aire (a RTP ), la masa añadida en este caso es aproximadamente 400 veces la masa de la burbuja. ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{air}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{water}}.}$

Arquitectura naval

Estos principios también se aplican a los barcos, submarinos y plataformas marinas. En la industria marina, la masa añadida se denomina masa añadida hidrodinámica. En el diseño de barcos, la energía necesaria para acelerar la masa añadida debe tenerse en cuenta al realizar un análisis de comportamiento en el mar. En el caso de los barcos, la masa añadida puede alcanzar fácilmente un cuarto o un tercio de la masa del barco y, por lo tanto, representa una inercia significativa , además de las fuerzas de fricción y de arrastre que generan olas .

En el caso de ciertas geometrías que se hunden libremente en una columna de agua, la masa hidrodinámica añadida asociada al cuerpo que se hunde puede ser mucho mayor que la masa del objeto. Esta situación puede darse, por ejemplo, cuando el cuerpo que se hunde tiene una gran superficie plana con su vector normal apuntando en la dirección del movimiento (hacia abajo). Se libera una cantidad sustancial de energía cinética cuando dicho objeto se desacelera abruptamente (por ejemplo, debido a un impacto con el fondo marino).

En la industria offshore, la masa hidrodinámica añadida de diferentes geometrías es objeto de considerable investigación. Estos estudios suelen ser necesarios como base para las evaluaciones de riesgo de caída de objetos submarinos (estudios centrados en cuantificar el riesgo de impactos de objetos caídos sobre la infraestructura submarina). Como la masa hidrodinámica añadida puede representar una proporción significativa de la masa total de un objeto que se hunde en el momento del impacto, influye significativamente en la resistencia de diseño considerada para las estructuras de protección submarinas.

La proximidad a un límite (u otro objeto) puede influir en la cantidad de masa hidrodinámica añadida. Esto significa que la masa añadida depende tanto de la geometría del objeto como de su proximidad a un límite. En el caso de los cuerpos flotantes (por ejemplo, barcos/embarcaciones), esto significa que la respuesta del cuerpo flotante (es decir, debido a la acción de las olas) se altera en profundidades de agua finitas (el efecto es prácticamente inexistente en aguas profundas). La profundidad específica (o proximidad a un límite) en la que se ve afectada la masa hidrodinámica añadida depende de la geometría del cuerpo y de la ubicación y forma de un límite (por ejemplo, un muelle, un malecón, un mamparo o el lecho marino).

La masa hidrodinámica añadida asociada a un objeto que se hunde libremente cerca de un límite es similar a la de un cuerpo flotante. En general, la masa hidrodinámica añadida aumenta a medida que disminuye la distancia entre un límite y un cuerpo. Esta característica es importante a la hora de planificar instalaciones submarinas o predecir el movimiento de un cuerpo flotante en condiciones de aguas poco profundas.

Aeronáutica

En los aviones (excepto los globos más ligeros que el aire y los dirigibles), normalmente no se tiene en cuenta la masa añadida porque la densidad del aire es muy pequeña.

Estructuras hidráulicas

Las estructuras hidráulicas, como los diques o las esclusas, suelen contener estructuras de acero móviles, como válvulas o compuertas, que se encuentran sumergidas bajo el agua. Estas estructuras de acero suelen estar construidas con placas de acero delgadas montadas sobre vigas. Cuando las estructuras de acero se aceleran o desaceleran, también se mueven cantidades sustanciales de agua. Esta masa adicional debe tenerse en cuenta, por ejemplo, al diseñar los sistemas de accionamiento para estas estructuras de acero.

Véase también

• Fuerza de Basset para describir el efecto del historial de movimiento relativo del cuerpo sobre las fuerzas viscosas en un flujo de Stokes
• Ecuación de Basset-Boussinesq-Oseen para la descripción del movimiento de una partícula que se mueve en un flujo inestable y de las fuerzas que actúan sobre ella a números de Reynolds bajos
• Deriva de Darwin para la relación entre la masa añadida y el volumen de la deriva de Darwin
• Número de Keulegan-Carpenter para un parámetro adimensional que da la importancia relativa de la fuerza de arrastre con respecto a la inercia en la carga de las olas
• Ecuación de Morison para un modelo de fuerza empírico en la carga de olas, que involucra masa y resistencia añadidas
• Operador de amplitud de respuesta para el uso de masa añadida en el diseño de buques

Referencias

1. Newman, John Nicholas (1977). Hidrodinámica marina . Cambridge, Massachusetts: MIT Press . §4.13, pág. 139. ISBN. 978-0-262-14026-3.
2. Stokes, GG (1851). "Sobre el efecto de la fricción interna de los fluidos en el movimiento de los péndulos". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 9 : 8–106. Bibcode :1851TCaPS...9....8S.
3. González, José; Martín-Delgado, Miguel A.; Sierra, Germán; Vozmediano, Ángeles H. (1995). "Líquidos de electrones cuánticos y superconductividad de alta _Tc" . Saltador. pag. 32.ISBN​ 978-3-540-60503-4.
4. Falkovich, Gregory (2011). Mecánica de fluidos, un curso breve para físicos. Cambridge University Press. Sección 1.3. ISBN 978-1-107-00575-4.
5. Biesheuvel, A.; Spoelstra, S. (1989). "El coeficiente de masa añadido de una dispersión de burbujas de gas esféricas en líquido". Revista internacional de flujo multifásico . 15 (6): 911–924. doi :10.1016/0301-9322(89)90020-7.
6. Crowe, Clayton T.; Sommerfeld, Martin; Tsuji, Yutaka (1998). Flujos multifásicos con gotitas y partículas. CRC Press. doi :10.1201/b11103. ISBN 9780429106392.

Enlaces externos

• Cursos abiertos del MIT
• Laboratorio de Ingeniería Civil Naval
• Det Norske Veritas DNV-RP-H103 Modelado y análisis de operaciones marinas Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine