Precios de Martingala

La fijación de precios martingala es un método de fijación de precios basado en los conceptos de martingala y neutralidad de riesgo . El método de fijación de precios martingala es una piedra angular de las finanzas cuantitativas modernas y se puede aplicar a una variedad de contratos derivados , por ejemplo, opciones , futuros , derivados de tipos de interés , derivados de crédito , etc.

A diferencia del método PDE para la determinación de precios, las fórmulas de determinación de precios martingala se presentan en forma de expectativas que se pueden resolver de manera eficiente de manera numérica utilizando un método de Monte Carlo . Como tal, la determinación de precios martingala es la preferida cuando se valoran contratos de alta dimensión, como una canasta de opciones. Por otro lado, la valoración de contratos de estilo americano es problemática y requiere discretizar el problema (haciéndolo como una opción de Bermudas ) y recién en 2001 FA Longstaff y ES Schwartz desarrollaron un método práctico de Monte Carlo para la determinación de precios de opciones americanas. ^[1]

Representación de la teoría de la medida

Supongamos que el estado del mercado puede representarse mediante el espacio de probabilidad filtrado , . Sea un proceso de precios estocástico en este espacio. Se puede fijar el precio de un título derivado, bajo la filosofía de no arbitraje, como, ${\displaystyle (\Omega ,({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},{\tilde {\mathbb {P} }})}$ ${\displaystyle \{S(t)\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle V(t,S(t))}$

${\displaystyle D(t)V(t,S(t))={\tilde {\mathbb {E} }}[D(T)V(T,S(T))|{\mathcal {F}}_{t}],\qquad dD(t)=-r(t)D(t)\ dt}$

¿Dónde está la medida neutral al riesgo ? ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}}$

${\displaystyle (r(t))_{t\in [0,T]}}$es un proceso de tasa de interés medible (libre de riesgos, posiblemente estocástico). ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

Esto se logra mediante una réplica casi segura de la rentabilidad temporal del derivado utilizando únicamente valores subyacentes y el mercado monetario libre de riesgo (MMA). Estos subyacentes tienen precios que son observables y conocidos. En concreto, se construye un proceso de cartera en tiempo continuo, donde se tienen acciones de la acción subyacente en cada momento y efectivo que genera la tasa libre de riesgo . La cartera obedece a la ecuación diferencial estocástica ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle \Delta (t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X(t)-\Delta (t)S(t)}$ ${\displaystyle r(t)}$

${\displaystyle dX(t)=\Delta (t)\ dS(t)+r(t)(X(t)-\Delta (t)S(t))\ dt}$

A continuación, se intentará aplicar el teorema de Girsanov calculando primero ; es decir, la derivada de Radon-Nikodym con respecto a la distribución de probabilidad del mercado observada. Esto garantiza que el proceso de cartera replicada descontada sea una Martingala en condiciones neutrales al riesgo. ${\displaystyle {\frac {d{\tilde {\mathbb {P} }}}{d\mathbb {P} }}}$

Si un proceso de este tipo puede definirse y construirse bien, entonces la elección dará como resultado , lo que implica inmediatamente que esto sucede ( casi con seguridad también, ya que las dos medidas son equivalentes). ${\displaystyle \Delta (t)}$ ${\displaystyle V(0,S(0))=X(0)}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}[X(T)=V(T)]=1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Véase también

• Modelo browniano de los mercados financieros
• Martingala (teoría de la probabilidad)

Referencias

1. Longstaff, FA; Schwartz, ES (2001). "Valoración de opciones estadounidenses mediante simulación: un enfoque simple de mínimos cuadrados". Review of Financial Studies . 14 : 113–148. CiteSeerX  10.1.1.155.3462 . doi :10.1093/rfs/14.1.113. Archivado desde el original el 16 de octubre de 2009 . Consultado el 8 de octubre de 2011 .