marco general

En lógica , los marcos generales (o simplemente marcos ) son marcos de Kripke con una estructura adicional, que se utilizan para modelar lógicas modales e intermedias . La semántica de marcos general combina las principales virtudes de la semántica de Kripke y la semántica algebraica : comparte la visión geométrica transparente de la primera y la integridad robusta de la segunda.

Definición

Un marco general modal es un triple , donde es un marco de Kripke (es decir, es una relación binaria en el conjunto ), y es un conjunto de subconjuntos que se cierra según lo siguiente: ${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle }$ ${\displaystyle \langle F,R\rangle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$

• las operaciones booleanas de intersección (binaria) , unión y complemento ,
• la operación , definida por . ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box A=\{x\in F\mid \forall y\in F\,(x\,R\,y\to y\in A)\}}$

Son, por tanto, un caso especial de campos de conjuntos con estructura adicional . El objetivo de es restringir las valoraciones permitidas en el marco: un modelo basado en el marco de Kripke es admisible en el marco general , si ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle F,R,\Vdash \rangle }$ ${\displaystyle \langle F,R\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \{x\in F\mid x\Vdash p\}\in V}$para cada variable proposicional . ${\displaystyle p}$

Las condiciones de cierre garantizan que pertenezca a cada fórmula (no solo a una variable). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{x\in F\mid x\Vdash A\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$

Una fórmula es válida en , si para todas las valoraciones admisibles y para todos los puntos . Una lógica modal normal es válida en el marco , si todos los axiomas (o equivalentemente, todos los teoremas ) de son válidos en . En este caso lo llamamos an - frame . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle x\Vdash A}$ ${\displaystyle \Vdash }$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle L}$

Un marco de Kripke puede identificarse con un marco general en el que todas las valoraciones son admisibles: es decir , donde denota el conjunto potencia de . ${\displaystyle \langle F,R\rangle }$ ${\displaystyle \langle F,R,{\mathcal {P}}(F)\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(F)}$ ${\displaystyle F}$

tipos de marcos

En general, los marcos generales no son más que un nombre elegante para los modelos Kripke ; en particular, se pierde la correspondencia de los axiomas modales con las propiedades en la relación de accesibilidad. Esto puede remediarse imponiendo condiciones adicionales al conjunto de valoraciones admisibles.

Un marco se llama ${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle }$

• diferenciado , si implica , ${\displaystyle \forall A\in V\,(x\in A\Leftrightarrow y\in A)}$ ${\displaystyle x=y}$
• apretado , si implica , ${\displaystyle \forall A\in V\,(x\in \Box A\Rightarrow y\in A)}$ ${\displaystyle x\,R\,y}$
• compacto , si cada subconjunto de con la propiedad de intersección finita tiene una intersección no vacía, ${\displaystyle V}$
• atómico , si contiene todos los singletons, ${\displaystyle V}$
• refinado , si es diferenciado y apretado,
• Descriptivo , si es refinado y compacto.

Las monturas Kripke son refinadas y atómicas. Sin embargo, los marcos Kripke infinitos nunca son compactos. Todo marco finito diferenciado o atómico es un marco de Kripke.

Los marcos descriptivos son la clase de marcos más importante debido a la teoría de la dualidad (ver más abajo). Los marcos refinados son útiles como generalización común de los marcos descriptivos y de Kripke.

Operaciones y morfismos en marcos.

Todo modelo de Kripke induce el marco general , donde se define como ${\displaystyle \langle F,R,{\Vdash }\rangle }$ ${\displaystyle \langle F,R,V\rangle }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V={\big \{}\{x\in F\mid x\Vdash A\}\mid A{\hbox{ is a formula}}{\big \}}.}$

Las operaciones fundamentales de preservación de la verdad de las subtramas generadas, las imágenes p-mórficas y las uniones disjuntas de las tramas de Kripke tienen analogías en las tramas generales. Una trama es una subtrama generada de una trama , si la trama de Kripke es una subtrama generada de la trama de Kripke (es decir, es un subconjunto de cerrado hacia arriba bajo y ), y ${\displaystyle \mathbf {G} =\langle G,S,W\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle }$ ${\displaystyle \langle G,S\rangle }$ ${\displaystyle \langle F,R\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S=R\cap G\times G}$

${\displaystyle W=\{A\cap G\mid A\in V\}.}$

Un p-morfismo (o morfismo acotado ) es una función de a que es un p-morfismo de los marcos de Kripke y , y satisface la restricción adicional ${\displaystyle f\colon \mathbf {F} \to \mathbf {G} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle F,R\rangle }$ ${\displaystyle \langle G,S\rangle }$

${\displaystyle f^{-1}[A]\in V}$para cada . ${\displaystyle A\in W}$

La unión disjunta de un conjunto indexado de marcos , , es el marco , donde es la unión disjunta de , es la unión de , y ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\langle F_{i},R_{i},V_{i}\rangle }$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{F_{i}\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{R_{i}\mid i\in I\}}$

${\displaystyle V=\{A\subseteq F\mid \forall i\in I\,(A\cap F_{i}\in V_{i})\}.}$

El refinamiento de un marco es un marco refinado definido de la siguiente manera. Consideremos la relación de equivalencia. ${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {G} =\langle G,S,W\rangle }$

${\displaystyle x\sim y\iff \forall A\in V\,(x\in A\Leftrightarrow y\in A),}$

y sea el conjunto de clases de equivalencia de . Luego ponemos ${\displaystyle G=F/{\sim }}$ ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle \langle x/{\sim },y/{\sim }\rangle \in S\iff \forall A\in V\,(x\in \Box A\Rightarrow y\in A),}$

${\displaystyle A/{\sim }\in W\iff A\in V.}$

Lo completo

A diferencia de los marcos de Kripke, toda lógica modal normal está completa con respecto a una clase de marcos generales. Esto es una consecuencia del hecho de que es completo con respecto a una clase de modelos de Kripke : como está cerrado bajo sustitución, el marco general inducido por es un marco -. Además, toda lógica es completa con respecto a un único marco descriptivo . De hecho, es completo con respecto a su modelo canónico, y el marco general inducido por el modelo canónico (llamado marco canónico de ) es descriptivo. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \langle F,R,{\Vdash }\rangle }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \langle F,R,{\Vdash }\rangle }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Dualidad Jónsson-Tarski

La escalera Rieger-Nishimura: un marco de Kripke intuicionista uniuniversal.

Su álgebra dual de Heyting, la red de Rieger-Nishimura. Es el álgebra de Heyting gratuita sobre 1 generador.

Los marcos generales guardan estrecha conexión con las álgebras modales . Sea un marco general. El conjunto es cerrado bajo operaciones booleanas, por lo tanto es una subálgebra del álgebra booleana de conjuntos potencias . También lleva una operación unaria adicional, . La estructura combinada es un álgebra modal, que se llama álgebra dual de y se denota por . ${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {P}}(F),\cap ,\cup ,-\rangle }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \langle V,\cap ,\cup ,-,\Box \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} ^{+}}$

En la dirección opuesta, es posible construir el marco dual de cualquier álgebra modal . El álgebra de Boole tiene un espacio Stone , cuyo conjunto subyacente es el conjunto de todos los ultrafiltros de . El conjunto de valoraciones admisibles en consta de los subconjuntos abiertos de , y la relación de accesibilidad está definida por ${\displaystyle \mathbf {A} _{+}=\langle F,R,V\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\langle A,\wedge ,\vee ,-,\Box \rangle }$ ${\displaystyle \langle A,\wedge ,\vee ,-\rangle }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{+}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle x\,R\,y\iff \forall a\in A\,(\Box a\in x\Rightarrow a\in y)}$

para todos los ultrafiltros y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Un marco y su dual validan las mismas fórmulas; por tanto, la semántica de marcos general y la semántica algebraica son en cierto sentido equivalentes. El doble dual de cualquier álgebra modal es isomorfo a sí mismo. Esto no es cierto en general para los dobles duales de marcos, ya que el dual de cada álgebra es descriptivo. De hecho, un marco es descriptivo si y sólo si es isomorfo a su doble dual . ${\displaystyle (\mathbf {A} _{+})^{+}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\mathbf {F} ^{+})_{+}}$

También es posible definir duales de p-morfismos por un lado y homomorfismos de álgebra modal por otro. De esta forma los operadores y se convierten en un par de functores contravariantes entre la categoría de marcos generales y la categoría de álgebras modales. Estos functores proporcionan una dualidad (llamada dualidad Jónsson-Tarski en honor a Bjarni Jónsson y Alfred Tarski ) entre las categorías de marcos descriptivos y álgebras modales. Éste es un caso especial de una dualidad más general entre álgebras complejas y campos de conjuntos sobre estructuras relacionales . ${\displaystyle (\cdot )^{+}}$ ${\displaystyle (\cdot )_{+}}$

Marcos intuicionistas

La semántica de marcos para las lógicas intuicionista e intermedia se puede desarrollar en paralelo a la semántica de las lógicas modales. Un marco general intuicionista es un triple , donde es un orden parcial en y es un conjunto de subconjuntos superiores ( conos ) de que contiene el conjunto vacío y está cerrado bajo ${\displaystyle \langle F,\leq ,V\rangle }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$

• intersección y unión,
• la operacion . ${\displaystyle A\to B=\Box (-A\cup B)}$

Luego se introducen conceptos de validez y otros conceptos de manera similar a los marcos modales, con algunos cambios necesarios para dar cabida a las propiedades de cierre más débiles del conjunto de valoraciones admisibles. En particular, un marco intuicionista se llama ${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,\leq ,V\rangle }$

• apretado , si implica , ${\displaystyle \forall A\in V\,(x\in A\Leftrightarrow y\in A)}$ ${\displaystyle x\leq y}$
• compacto , si cada subconjunto de con la propiedad de intersección finita tiene una intersección no vacía. ${\displaystyle V\cup \{F-A\mid A\in V\}}$

Los marcos intuicionistas estrictos se diferencian automáticamente y, por tanto, se refinan.

El dual de un marco intuicionista es el álgebra de Heyting . El dual de un álgebra de Heyting es el marco intuicionista , donde es el conjunto de todos los filtros primos de , el orden es la inclusión y consta de todos los subconjuntos de la forma ${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,\leq ,V\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {F} ^{+}=\langle V,\cap ,\cup ,\to ,\emptyset \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\langle A,\wedge ,\vee ,\to ,0\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{+}=\langle F,\leq ,V\rangle }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \{x\in F\mid a\in x\},}$

dónde . Como en el caso modal, y son un par de funtores contravariantes, lo que hace que la categoría de álgebras de Heyting sea doblemente equivalente a la categoría de marcos intuicionistas descriptivos. ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle (\cdot )^{+}}$ ${\displaystyle (\cdot )_{+}}$

Es posible construir marcos generales intuicionistas a partir de marcos modales reflexivos transitivos y viceversa, ver compañero modal .

Ver también

• Semántica del barrio

Referencias

• Alexander Chagrov y Michael Zakharyaschev, Lógica modal , vol. 35 de Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.
• Patrick Blackburn, Maarten de Rijke y Yde Venema, Modal Logic , vol. 53 de Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press, 2001.