En las teorías de campo clásicas , la especificación lagrangiana del campo de flujo es una forma de ver el movimiento de fluidos donde el observador sigue una parcela de fluido individual a medida que se mueve a través del espacio y el tiempo. [1] [2] Trazar la posición de una parcela individual a través del tiempo da la trayectoria de la parcela. Esto se puede visualizar como estar sentado en un bote y dejarse llevar por un río.
La especificación euleriana del campo de flujo es una forma de ver el movimiento del fluido que se centra en ubicaciones específicas en el espacio a través del cual fluye el fluido a medida que pasa el tiempo. [1] [2] Esto se puede visualizar sentándose en la orilla de un río y observando el agua pasar por la ubicación fija.
Las especificaciones lagrangianas y eulerianas del campo de flujo a veces se denominan de manera imprecisa como el marco de referencia lagrangiano y euleriano . Sin embargo, en general, tanto la especificación lagrangiana como la euleriana del campo de flujo se pueden aplicar en cualquier marco de referencia del observador y en cualquier sistema de coordenadas utilizado dentro del marco de referencia elegido. Las especificaciones lagrangianas y eulerianas reciben su nombre de Joseph-Louis Lagrange y Leonhard Euler , respectivamente.
Estas especificaciones se reflejan en la dinámica de fluidos computacional , donde las simulaciones "eulerianas" emplean una malla fija , mientras que las "lagrangianas" (como las simulaciones sin malla ) presentan nodos de simulación que pueden moverse siguiendo el campo de velocidad .
A Leonhard Euler se le atribuye la introducción de ambas especificaciones en dos publicaciones escritas en 1755 [3] y 1759 [4] . [5] Joseph-Louis Lagrange estudió las ecuaciones de movimiento en relación con el principio de mínima acción en 1760, más tarde en un tratado de mecánica de fluidos en 1781, [6] y en tercer lugar en su libro Mécanique analytique . [5] En este libro, Lagrange comienza con la especificación lagrangiana, pero luego las convierte en la especificación euleriana. [5]
En la especificación euleriana de un campo , el campo se representa como una función de la posición x y el tiempo t . Por ejemplo, la velocidad del flujo se representa mediante una función
Por otra parte, en la especificación lagrangiana , se siguen las parcelas de fluido individuales a través del tiempo. Las parcelas de fluido están etiquetadas por algún campo vectorial (independiente del tiempo) x 0 . (A menudo, x 0 se elige como la posición del centro de masa de las parcelas en algún tiempo inicial t 0 . Se elige de esta manera particular para tener en cuenta los posibles cambios de la forma a lo largo del tiempo. Por lo tanto, el centro de masa es una buena parametrización de la velocidad de flujo u de la parcela). [1] En la descripción lagrangiana, el flujo se describe mediante una función que da la posición de la partícula etiquetada x 0 en el tiempo t .
Las dos especificaciones están relacionadas de la siguiente manera: [2] porque ambos lados describen la velocidad de la partícula denominada x 0 en el tiempo t .
Dentro de un sistema de coordenadas elegido, x 0 y x se denominan coordenadas lagrangianas y coordenadas eulerianas del flujo respectivamente.
Las especificaciones lagrangianas y eulerianas de la cinemática y la dinámica del campo de flujo están relacionadas por la derivada del material (también llamada derivada lagrangiana, derivada convectiva, derivada sustancial o derivada de partículas). [1]
Supongamos que tenemos un campo de flujo u , y también se nos da un campo genérico con especificación euleriana F ( x , t ). Ahora uno podría preguntarse sobre la tasa total de cambio de F experimentado por una parcela de flujo específica. Esto se puede calcular como donde ∇ denota el operador nabla con respecto a x , y el operador u ⋅∇ se debe aplicar a cada componente de F . Esto nos dice que la tasa total de cambio de la función F a medida que las parcelas de fluido se mueven a través de un campo de flujo descrito por su especificación euleriana u es igual a la suma de la tasa de cambio local y la tasa de cambio convectivo de F . Esto es una consecuencia de la regla de la cadena ya que estamos diferenciando la función F ( X ( x 0 , t ), t ) con respecto a t .
Las leyes de conservación para una unidad de masa tienen una forma lagrangiana, que junto con la conservación de la masa produce la conservación euleriana; por el contrario, cuando las partículas de un fluido pueden intercambiar una cantidad (como energía o momento), solo existen leyes de conservación eulerianas. [7]
[1] Objetividad en mecánica clásica del continuo: Movimientos, funciones eulerianas y lagrangianas; Gradiente de deformación; Derivadas de Lie; Fórmula de adición de velocidad, Coriolis; Objetividad.
