Mapeo polinomial

Tipos de funciones en álgebra

En álgebra , un mapa polinomial o aplicación polinomial entre espacios vectoriales sobre un cuerpo infinito k es un polinomio en funcionales lineales con coeficientes en k ; es decir, se puede escribir como ${\displaystyle P:V\to W}$

${\displaystyle P(v)=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}}\lambda _{i_{1}}(v)\cdots \lambda _{i_{n}}(v)w_{i_{1},\dots ,i_{n}}}$

donde los son funcionales lineales y los son vectores en W . Por ejemplo, si , entonces una aplicación polinómica se puede expresar como donde los son funciones polinómicas (con valores escalares) en V . (La definición abstracta tiene la ventaja de que la aplicación está manifiestamente libre de una elección de base). ${\displaystyle \lambda _{i_{j}}:V\to k}$ ${\displaystyle w_{i_{1},\dots ,i_{n}}}$ ${\displaystyle W=k^{m}}$ ${\displaystyle P(v)=(P_{1}(v),\dots ,P_{m}(v))}$ ${\displaystyle P_{i}}$

Cuando V , W son espacios vectoriales de dimensión finita y se consideran variedades algebraicas , entonces una aplicación polinomial es precisamente un morfismo de variedades algebraicas .

Una cuestión fundamental pendiente con respecto a las aplicaciones polinómicas es la conjetura jacobiana , que se refiere a la suficiencia de una aplicación polinómica para ser invertible.

Véase también

• Functor polinomial

Referencias

• Claudio Procesi (2007) Grupos de Lie: una aproximación a través de invariantes y representación , Springer, ISBN  9780387260402 .