Localización de muchos cuerpos

Fenómeno de sistemas cuánticos de muchos cuerpos aislados que no alcanzan el equilibrio térmico

La localización de muchos cuerpos (MBL) es un fenómeno dinámico que ocurre en sistemas cuánticos de muchos cuerpos aislados . Se caracteriza por la incapacidad del sistema para alcanzar el equilibrio térmico y la conservación de un recuerdo de su condición inicial en observables locales durante tiempos infinitos. ^[1]

Termalización y localización

Los libros de texto de mecánica estadística cuántica ^[2] suponen que los sistemas alcanzan el equilibrio térmico ( termalización ). El proceso de termalización borra la memoria local de las condiciones iniciales. En los libros de texto, la termalización se garantiza acoplando el sistema a un entorno externo o "depósito", con el que el sistema puede intercambiar energía. ¿Qué sucede si el sistema está aislado del entorno y evoluciona de acuerdo con su propia ecuación de Schrödinger ? ¿El sistema sigue termalizándose?

La evolución temporal de la mecánica cuántica es unitaria y conserva formalmente toda la información sobre la condición inicial en el estado cuántico en todo momento. Sin embargo, un sistema cuántico contiene genéricamente un número macroscópico de grados de libertad, pero solo puede investigarse mediante mediciones de unos pocos cuerpos que son locales en el espacio real. La pregunta significativa entonces es si las mediciones locales accesibles muestran termalización.

Esta pregunta se puede formalizar considerando la matriz de densidad mecánica cuántica ρ del sistema. Si el sistema se divide en una subregión A (la región que se está sondeando) y su complemento B (todo lo demás), entonces toda la información que se puede extraer mediante mediciones realizadas solo en A se codifica en la matriz de densidad reducida . Si, en el límite de tiempo largo, se acerca a una matriz de densidad térmica a una temperatura establecida por la densidad de energía en el estado, entonces el sistema se ha "termalizado" y no se puede extraer información local sobre la condición inicial de las mediciones locales. Este proceso de "termalización cuántica" puede entenderse en términos de B actuando como un reservorio para A . En esta perspectiva, la entropía de entrelazamiento de un sistema termalizante en un estado puro juega el papel de la entropía térmica. ^{[3] [4] [5]} Por lo tanto, los sistemas termalizantes tienen genéricamente una entropía de entrelazamiento extensiva o de "ley de volumen" a cualquier temperatura distinta de cero. ^{[6] [7] [8]} También obedecen genéricamente la hipótesis de termalización de estados propios (ETH). ^{[9] [10] [11]} ${\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho (t)}$ ${\displaystyle \rho _{A}(t)}$ ${\displaystyle S=-\operatorname {Tr} (\rho _{A}\log \rho _{A})}$

Por el contrario, si no logra aproximarse a una matriz de densidad térmica incluso en el límite de tiempo largo, y permanece en cambio cerca de su condición inicial , entonces el sistema retiene para siempre un recuerdo de su condición inicial en observables locales. Esta última posibilidad se conoce como "localización de muchos cuerpos", e implica que B no actúa como reservorio para A. Un sistema en una fase localizada de muchos cuerpos exhibe MBL, y continúa exhibiendo MBL incluso cuando está sujeto a perturbaciones locales arbitrarias. Los estados propios de los sistemas que exhiben MBL no obedecen la ETH, y genéricamente siguen una "ley de área" para la entropía de entrelazamiento (es decir, la entropía de entrelazamiento escala con el área de superficie de la subregión A ). A continuación se proporciona una breve lista de propiedades que diferencian los sistemas termalizantes y MBL. ${\displaystyle \rho _{A}(T)}$ ${\displaystyle \rho _{A}(0)}$

• En los sistemas termalizantes, no se puede acceder a la memoria de las condiciones iniciales en los observables locales en tiempos largos. En los sistemas MBL, la memoria de las condiciones iniciales permanece accesible en los observables locales en tiempos largos.
• En los sistemas termalizantes, los estados propios de energía obedecen a ETH. En los sistemas MBL, los estados propios de energía no obedecen a ETH.
• En los sistemas termalizantes, los estados propios de energía tienen entropía de entrelazamiento de la ley del volumen. En los sistemas MBL, los estados propios de energía tienen entropía de entrelazamiento de la ley del área.
• Los sistemas termalizadores tienen, por lo general, una conductividad térmica distinta de cero. Los sistemas MBL tienen una conductividad térmica cero.
• Los sistemas termalizadores tienen espectros locales continuos. Los sistemas MBL tienen espectros locales discretos. ^[12]
• En sistemas termalizantes, la entropía de entrelazamiento crece como una ley de potencia en el tiempo a partir de condiciones iniciales de entrelazamiento bajo. ^[13] En sistemas MBL, la entropía de entrelazamiento crece logarítmicamente en el tiempo a partir de condiciones iniciales de entrelazamiento bajo. ^{[14] [15] [16]}
• En los sistemas termalizantes, la dinámica de los correladores ordenados fuera del tiempo forma un cono de luz lineal que refleja la propagación balística de la información. En los sistemas MBL, el cono de luz es logarítmico. ^{[17] [18] [19] [20] [21]}

Historia

La MBL fue propuesta por primera vez por PW Anderson en 1958 ^[22] como una posibilidad que podría surgir en sistemas cuánticos fuertemente desordenados. La idea básica era que si todas las partículas viven en un paisaje de energía aleatorio, entonces cualquier reordenamiento de partículas cambiaría la energía del sistema. Dado que la energía es una cantidad conservada en la mecánica cuántica, un proceso de este tipo solo puede ser virtual y no puede conducir a ningún transporte de cantidad de partículas o energía.

Aunque la localización de sistemas de partículas individuales ya se demostró en el artículo original de Anderson (que llegó a conocerse como localización de Anderson ), la existencia del fenómeno para muchos sistemas de partículas siguió siendo una conjetura durante décadas. En 1980, Fleishman y Anderson ^[23] demostraron que el fenómeno sobrevivió a la adición de interacciones al orden más bajo en la teoría de perturbaciones . En un estudio de 1998, ^[24] el análisis se extendió a todos los órdenes en la teoría de perturbaciones, en un sistema de dimensión cero, y se demostró que el fenómeno MBL sobrevivió. En 2005 ^[25] y 2006, ^[26] esto se extendió a órdenes altos en la teoría de perturbaciones en sistemas de alta dimensión. Se argumentó que MBL sobrevivía al menos a baja densidad de energía. Una serie de trabajos numéricos ^{[27] [14] [28] [29]} proporcionaron más evidencia del fenómeno en sistemas unidimensionales, en todas las densidades de energía ("temperatura infinita"). Finalmente, en 2014 ^[30] Imbrie presentó una prueba de MBL para ciertas cadenas de espín unidimensionales con fuerte desorden, con una localización estable a perturbaciones locales arbitrarias, es decir, se demostró que los sistemas estaban en una fase localizada de muchos cuerpos.

Ahora se cree que la MBL también puede surgir en sistemas "Floquet" accionados periódicamente, donde la energía se conserva solo en el módulo de la frecuencia de accionamiento. ^{[31] [32] [33]}

Integrabilidad emergente

Muchos sistemas localizados en el cuerpo exhiben un fenómeno conocido como integrabilidad emergente. En un aislante de Anderson que no interactúa, el número de ocupación de cada orbital de partícula individual localizado es por separado una integral local de movimiento. Se conjeturó ^{[34] [35]} (y fue demostrado por Imbrie) que también debería existir un conjunto extenso similar de integrales locales de movimiento en la fase MBL. Consideremos para mayor especificidad una cadena unidimensional de espín 1/2 con Hamiltoniano

${\displaystyle H=\sum _{i}\left[J\left(X_{i}X_{i+1}+Y_{i}Y_{i+1}\right)+J^{\prime }Z_{i}Z_{i+1}+h_{i}Z_{i}\right],}$

donde X , Y y Z son operadores de Pauli, y h _I son variables aleatorias extraídas de una distribución de cierta amplitud W. Cuando el desorden es lo suficientemente fuerte ( W > W _c ) como para que todos los estados propios estén localizados, entonces existe una transformación unitaria local a nuevas variables τ tales que

${\displaystyle H=\sum _{i}h_{i}^{\prime }\tau _{i}^{z}+\sum _{ij}J_{ij}\tau _{i}^{z}\tau _{j}^{z}+\sum _{ijk}K_{ijk}\tau _{i}^{z}\tau _{j}^{z}\tau _{k}^{z}+\cdots ,}$

donde τ son operadores de Pauli que están relacionados con los operadores físicos de Pauli mediante una transformación unitaria local, ... indica términos adicionales que solo involucran operadores τ ^z , y los coeficientes caen exponencialmente con la distancia. Este hamiltoniano contiene manifiestamente un gran número de integrales localizadas de movimiento o "l-bits" (los operadores τ ^z _i , que conmutan todos con el hamiltoniano). Si se perturba el hamiltoniano original, los l-bits se redefinen, pero la estructura integrable sobrevive.

Pedidos exóticos

La MBL permite la formación de formas exóticas de orden cuántico que no podrían surgir en equilibrio térmico, a través del fenómeno del orden cuántico protegido por localización . ^[36] Una forma de orden cuántico protegido por localización, que surge solo en sistemas controlados periódicamente, es el cristal de tiempo de Floquet . ^{[37] [38] [39] [40] [41]}

Realizaciones experimentales

Se han publicado varios experimentos que observan el fenómeno MBL. ^{[42] [43] [44] [45]} La mayoría de estos experimentos involucran sistemas cuánticos sintéticos, como conjuntos de átomos ultrafríos o iones atrapados . ^[46] Las exploraciones experimentales del fenómeno en sistemas de estado sólido aún están en sus inicios.

Véase también

• Cicatriz cuántica
• Termalización
• Cristal del tiempo

Referencias

1. Nandkishore, Rahul; Huse, David A. (2015). "Localización de muchos cuerpos y termalización en mecánica estadística cuántica". Revisión anual de física de la materia condensada . 6 (1): 15–38. arXiv : 1404.0686 . Código Bibliográfico :2015ARCMP...6...15N. doi :10.1146/annurev-conmatphys-031214-014726. ISSN  1947-5454. S2CID  118465889.
2. Sakurai JJ. 1985. Mecánica cuántica moderna . Menlo Park, CA: Benjamin/Cummings
3. Deutsch, JM (26 de julio de 2010). "Entropía termodinámica de un estado propio de energía de muchos cuerpos". New Journal of Physics . 12 (7): 075021. arXiv : 0911.0056 . doi :10.1088/1367-2630/12/7/075021. S2CID  119180376.
4. Santos, Lea F.; Polkovnikov, Anatoli; Rigol, Marcos (5 de julio de 2012). "Tipicidad débil y fuerte en sistemas cuánticos". Physical Review E . 86 (1): 010102. arXiv : 1202.4764 . doi : 10.1103/PhysRevE.86.010102 . PMID  23005351.
5. Deutsch, JM; Li, Haibin; Sharma, Auditya (30 de abril de 2013). "Origen microscópico de la entropía termodinámica en sistemas aislados". Physical Review E . 87 (4): 042135. arXiv : 1202.2403 . doi :10.1103/PhysRevE.87.042135. PMID  23679399. S2CID  699412.
6. Garrison, James R.; Grover, Tarun (30 de abril de 2018). "¿Un único estado propio codifica el hamiltoniano completo?". Physical Review X . 8 (2): 021026. arXiv : 1503.00729 . doi : 10.1103/PhysRevX.8.021026 .
7. Dymarsky, Anatoly; Lashkari, Nima; Liu, Hong (25 de enero de 2018). "Hipótesis de termalización de estados propios del subsistema". Physical Review E . 97 (1): 012140. doi :10.1103/PhysRevE.97.012140. hdl : 1721.1/114450 . PMID  29448325.
8. Huang, Yichen (enero de 2019). "Enredo universal de estados propios de hamiltonianos locales caóticos". Física nuclear B . 938 : 594–604. arXiv : 1708.08607 . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2018.09.013 .
9. Deutsch, JM (1 de febrero de 1991). "Mecánica estadística cuántica en un sistema cerrado". Physical Review A . 43 (4): 2046–2049. Bibcode :1991PhRvA..43.2046D. doi :10.1103/PhysRevA.43.2046. PMID  9905246. S2CID  40633146.
10. Srednicki, Mark (1 de agosto de 1994). "Caos y termalización cuántica". Physical Review E . 50 (2): 888–901. arXiv : cond-mat/9403051 . Código Bibliográfico :1994PhRvE..50..888S. doi :10.1103/PhysRevE.50.888. PMID  9962049. S2CID  16065583.
11. Rigol, Marcos; Dunjko, Vanja; Olshanii, Maxim (abril de 2008). "Termalización y su mecanismo para sistemas cuánticos aislados genéricos". Nature . 452 (7189): 854–858. arXiv : 0708.1324 . Bibcode :2008Natur.452..854R. doi :10.1038/nature06838. PMID  18421349. S2CID  4384040.
12. Nandkishore, Rahul; Gopalakrishnan, Sarang; Huse, David A. (2014). "Características espectrales de un sistema localizado en muchos cuerpos débilmente acoplado a un baño". Physical Review B . 90 (6): 064203. arXiv : 1402.5971 . doi :10.1103/PhysRevB.90.064203. ISSN  1098-0121. S2CID  118568500.
13. Kim, Hyungwon; Huse, David A. (2013). "Propagación balística del entrelazamiento en un sistema difusivo no integrable". Physical Review Letters . 111 (12): 127205. arXiv : 1306.4306 . doi :10.1103/PhysRevLett.111.127205. ISSN  0031-9007. PMID  24093298. S2CID  41548576.
14. Žnidarič, Marko; Prosen, Tomaž; Prelovšek, Peter (25 de febrero de 2008). "Localización de muchos cuerpos en el imán XXZ de Heisenberg en un campo aleatorio". Revisión Física B. 77 (6): 064426. arXiv : 0706.2539 . doi : 10.1103/PhysRevB.77.064426. S2CID  119132600.
15. Bardarson, Jens H.; Pollmann, Frank; Moore, Joel E. (2012). "Crecimiento ilimitado del entrelazamiento en modelos de localización de muchos cuerpos". Physical Review Letters . 109 (1): 017202. arXiv : 1202.5532 . doi : 10.1103/PhysRevLett.109.017202 . ISSN  0031-9007. PMID  23031128.
16. Huang, Yichen (mayo de 2017). "Dinámica de entrelazamiento en cadena de Ising cuántica aleatoria crítica con perturbaciones" (PDF) . Anales de Física . 380 : 224–227. doi :10.1016/j.aop.2017.02.018. S2CID  44548875.
17. Huang, Yichen; Zhang, Yong-Liang; Chen, Xie (julio de 2017). "Correladores ordenados fuera del tiempo en sistemas localizados de muchos cuerpos" (PDF) . Annalen der Physik . 529 (7): 1600318. doi :10.1002/andp.201600318. S2CID  42690831.
18. Fan, Ruihua; Zhang, Pengfei; Shen, Huitao; Zhai, Hui (mayo de 2017). "Correlación fuera de orden temporal para la localización de muchos cuerpos". Science Bulletin . 62 (10): 707–711. arXiv : 1608.01914 . doi : 10.1016/j.scib.2017.04.011 .
19. He, Rong-Qiang; Lu, Zhong-Yi (10 de febrero de 2017). "Caracterización de la localización de muchos cuerpos mediante correlación ordenada fuera del tiempo". Physical Review B . 95 (5): 054201. arXiv : 1608.03586 . doi :10.1103/PhysRevB.95.054201. S2CID  119268185.
20. Swingle, Brian; Chowdhury, Debanjan (21 de febrero de 2017). "Alteración lenta en sistemas cuánticos desordenados". Physical Review B . 95 (6): 060201. doi :10.1103/PhysRevB.95.060201. hdl : 1721.1/107244 . S2CID  53485500.
21. Chen, Xiao; Zhou, Tianci; Huse, David A.; Fradkin, Eduardo (julio de 2017). "Correlaciones fuera de orden temporal en fases termales y localizadas de muchos cuerpos". Annalen der Physik . 529 (7): 1600332. arXiv : 1610.00220 . doi :10.1002/andp.201600332. S2CID  119201477.
22. Anderson, PW (1958). "Ausencia de difusión en ciertas redes aleatorias". Physical Review . 109 (5): 1492–1505. Bibcode :1958PhRv..109.1492A. doi :10.1103/PhysRev.109.1492. ISSN  0031-899X.
23. Fleishman, L.; Anderson, PW (1980). "Interacciones y la transición de Anderson". Physical Review B . 21 (6): 2366–2377. doi :10.1103/PhysRevB.21.2366. ISSN  0163-1829.
24. Altshuler, Boris L.; Gefen, Yuval; Kamenev, Alex; Levitov, Leonid S. (1997). "Tiempo de vida de una cuasipartícula en un sistema finito: un enfoque no perturbativo". Physical Review Letters . 78 (14): 2803–2806. arXiv : cond-mat/9609132 . Código Bibliográfico :1997PhRvL..78.2803A. doi :10.1103/PhysRevLett.78.2803. ISSN  0031-9007. S2CID  18852288.
25. Gornyi, IV; Mirlin, AD; Polyakov, DG (2005). "Electrones que interactúan en cables desordenados: localización de Anderson y transporte de baja T". Physical Review Letters . 95 (20): 206603. arXiv : cond-mat/0506411 . doi :10.1103/PhysRevLett.95.206603. ISSN  0031-9007. PMID  16384079. S2CID  39376817.
26. Basko, DM; Aleiner, IL; Altshuler, BL (2006). "Transición metal-aislante en un sistema de muchos electrones con interacción débil con estados localizados de partículas individuales". Anales de Física . 321 (5): 1126–1205. arXiv : cond-mat/0506617 . Código Bibliográfico :2006AnPhy.321.1126B. doi :10.1016/j.aop.2005.11.014. ISSN  0003-4916. S2CID  18345541.
27. Oganesyan, Vadim; Huse, David A. (2007). "Localización de fermiones interactuantes a alta temperatura". Physical Review B . 75 (15): 155111. arXiv : cond-mat/0610854 . doi :10.1103/PhysRevB.75.155111. ISSN  1098-0121. S2CID  119488834.
28. Pal, Arijeet; Huse, David A. (2010). "Transición de fase de localización de muchos cuerpos". Physical Review B . 82 (17): 174411. arXiv : 1010.1992 . doi :10.1103/PhysRevB.82.174411. ISSN  1098-0121. S2CID  41528861.
29. Serbyn, Maksym; Papić, Z.; Abanin, DA (2014). "Apagados cuánticos en la fase localizada de muchos cuerpos". Physical Review B . 90 (17): 174302. doi :10.1103/PhysRevB.90.174302. hdl : 1721.1/91499 . ISSN  1098-0121. S2CID  18658716.
30. Imbrie, John Z. (2016). "Sobre la localización de muchos cuerpos para cadenas de espín cuántico". Revista de física estadística . 163 (5): 998–1048. arXiv : 1403.7837 . doi :10.1007/s10955-016-1508-x. ISSN  0022-4715. S2CID  11250762.
31. D'Alessio, Luca; Polkovnikov, Anatoli (2013). "Transición de localización de energía de muchos cuerpos en sistemas impulsados ​​periódicamente". Anales de Física . 333 : 19–33. arXiv : 1210.2791 . doi :10.1016/j.aop.2013.02.011. ISSN  0003-4916. S2CID  118476386.
32. Lazarides, Achilleas; Das, Arnab; Moessner, Roderich (2015). "Destino de la localización de muchos cuerpos bajo conducción periódica". Physical Review Letters . 115 (3): 030402. arXiv : 1410.3455 . doi :10.1103/PhysRevLett.115.030402. ISSN  0031-9007. PMID  26230771. S2CID  28538293.
33. Ponte, Pedro; Papić, Z.; Huveneers, François; Abanin, Dmitry A. (2015). "Localización de muchos cuerpos en sistemas controlados periódicamente" (PDF) . Physical Review Letters . 114 (14): 140401. doi :10.1103/PhysRevLett.114.140401. ISSN  0031-9007. PMID  25910094. S2CID  38608177.
34. Serbyn, Maksym; Papić, Z.; Abanin, Dmitry A. (2013). "Leyes de conservación local y la estructura de los estados localizados de muchos cuerpos". Physical Review Letters . 111 (12): 127201. arXiv : 1305.5554 . doi :10.1103/PhysRevLett.111.127201. ISSN  0031-9007. PMID  24093294. S2CID  13006260.
35. Huse, David A.; Nandkishore, Rahul; Oganesyan, Vadim (2014). "Fenomenología de sistemas completamente localizados en muchos cuerpos". Physical Review B . 90 (17): 174202. arXiv : 1305.4915 . doi :10.1103/PhysRevB.90.174202. ISSN  1098-0121. S2CID  5553355.
36. Huse, David A.; Nandkishore, Rahul; Oganesyan, Vadim; Pal, Arijeet; Sondhi, SL (2013). "Orden cuántico protegido por localización". Physical Review B . 88 (1): 014206. arXiv : 1304.1158 . Código Bibliográfico :2013PhRvB..88a4206H. doi : 10.1103/PhysRevB.88.014206 . ISSN  1098-0121.
37. Khemani, Vedika; Lázarides, Aquiles; Moessner, Roderich; Sondhi, SL (2016). "Estructura de fases de sistemas cuánticos impulsados". Cartas de revisión física . 116 (25): 250401. arXiv : 1508.03344 . Código Bib : 2016PhRvL.116y0401K. doi : 10.1103/PhysRevLett.116.250401 . ISSN  0031-9007. PMID  27391704.
38. Else, Dominic V.; Bauer, Bela; Nayak, Chetan (2016). "Cristales de tiempo de Floquet". Physical Review Letters . 117 (9): 090402. arXiv : 1603.08001 . Código Bibliográfico :2016PhRvL.117i0402E. doi :10.1103/PhysRevLett.117.090402. ISSN  0031-9007. PMID  27610834. S2CID  1652633.
39. von Keyserlingk, CW; Khemani, Vedika; Sondhi, SL (2016). "Estabilidad absoluta y orden espaciotemporal de largo alcance en sistemas Floquet". Physical Review B . 94 (8): 085112. arXiv : 1605.00639 . Código Bibliográfico :2016PhRvB..94h5112V. doi : 10.1103/PhysRevB.94.085112 . ISSN  2469-9950.
40. Zhang, J.; Hess, P. W.; Kyprianidis, A.; Becker, P.; Lee, A.; Smith, J.; Pagano, G.; Potirniche, I.-D.; Potter, AC; Vishwanath, A.; Yao, NY; Monroe, C. (2017). "Observación de un cristal de tiempo discreto". Nature . 543 (7644): 217–220. arXiv : 1609.08684 . Código Bibliográfico :2017Natur.543..217Z. doi :10.1038/nature21413. ISSN  0028-0836. PMID  28277505. S2CID  4450646.
41. Choi, Soonwon; Choi, Joonhee; Landig, Renate; Kucsko, Georg; Zhou, Hengyun; Isoya, Junichi; Jelezko, Fedor; Onoda, Shinobu; Sumiya, Hitoshi; Khemani, Vedika; von Keyserlingk, Curt; Yao, Norman Y.; Demler, Eugenio; Lukin, Mikhail D. (2017). "Observación del orden cristalino de tiempo discreto en un sistema dipolar desordenado de muchos cuerpos". Naturaleza . 543 (7644): 221–225. arXiv : 1610.08057 . Código Bib :2017Natur.543..221C. doi : 10.1038/naturaleza21426. ISSN  0028-0836. PMC 5349499 . Número de modelo:  PMID28277511. 
42. Kondov, SS; McGehee, WR; Xu, W.; DeMarco, B. (2015). "Localización inducida por desorden en un gas atómico de Hubbard fuertemente correlacionado". Physical Review Letters . 114 (8): 083002. arXiv : 1305.6072 . doi : 10.1103/PhysRevLett.114.083002 . ISSN  0031-9007. PMID  25768762.
43. Schreiber, M.; Hodgman, SS; Bordia, P.; Luschen, HP; Fischer, MH; Vosk, R.; Altman, E.; Schneider, U.; Bloch, I. (2015). "Observación de la localización de muchos cuerpos de fermiones interactuantes en una red óptica cuasialeatoria". Science . 349 (6250): 842–845. arXiv : 1501.05661 . doi :10.1126/science.aaa7432. ISSN  0036-8075. PMID  26229112. S2CID  5112350.
44. Choi, J.-y.; Hild, S.; Zeiher, J.; Schauss, P.; Rubio-Abadal, A.; Yefsah, T.; Khemani, V.; Huse, DA; Bloch, I.; Gross, C. (2016). "Explorando la transición de localización de muchos cuerpos en dos dimensiones". Science . 352 (6293): 1547–1552. arXiv : 1604.04178 . Bibcode :2016Sci...352.1547C. doi :10.1126/science.aaf8834. ISSN  0036-8075. PMID  27339981. S2CID  35012132.
45. Wei, Ken Xuan; Ramanathan, Chandrasekhar; Cappellaro, Paola (2018). "Explorando la localización en cadenas de espín nucleares". Physical Review Letters . 120 (7): 070501. arXiv : 1612.05249 . Código Bibliográfico :2018PhRvL.120g0501W. doi : 10.1103/PhysRevLett.120.070501 . ISSN  0031-9007. PMID  29542978.
46. Smith, J.; Lee, A.; Richerme, P.; Neyenhuis, B.; Hess, PW; Hauke, P.; Heyl, M.; Huse, DA; Monroe, C. (2016). "Localización de muchos cuerpos en un simulador cuántico con desorden aleatorio programable". Nature Physics . 12 (10): 907–911. arXiv : 1508.07026 . Código Bibliográfico :2016NatPh..12..907S. doi :10.1038/nphys3783. ISSN  1745-2473. S2CID  53408060.