Módulo y característica de convexidad

En matemáticas , el módulo de convexidad y la característica de convexidad son medidas de "qué tan convexa " es la bola unitaria en un espacio de Banach . En cierto sentido, el módulo de convexidad tiene la misma relación con la definición ε - δ de convexidad uniforme que el módulo de continuidad con la definición ε - δ de continuidad .

Definiciones

El módulo de convexidad de un espacio de Banach ( X , ||⋅||) es la función δ  : [0, 2] → [0, 1] definida por

${\displaystyle \delta (\varepsilon )=\inf \left\{1-\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\,:\,x,y\in S,\|x-y\|\geq \varepsilon \right\},}$

donde S denota la esfera unitaria de ( X , || ||). En la definición de  δ ( ε ), también se puede tomar el ínfimo sobre todos los vectores x , y en  X tales que ǁ x ǁ, ǁ y ǁ ≤ 1 y ǁ x − y ǁ ≥ ε . ^[1]

La característica de convexidad del espacio ( X , || ||) es el número ε ₀ definido por

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{\varepsilon \,:\,\delta (\varepsilon )=0\}.}$

Estas nociones están implícitas en el estudio general de la convexidad uniforme de J. A. Clarkson (Clarkson (1936); este es el mismo artículo que contiene los enunciados de las desigualdades de Clarkson ). El término "módulo de convexidad" parece deberse a M. M. Day. ^[2]

Propiedades

• El módulo de convexidad, δ ( ε ), es una función no decreciente de ε , y el cociente δ ( ε ) /  ε también es no decreciente en  (0, 2] . ^[3] El módulo de convexidad no necesita ser en sí mismo una función convexa de  ε . ^[4] Sin embargo, el módulo de convexidad es equivalente a una función convexa en el siguiente sentido: ^[5] existe una función convexa δ ₁ ( ε ) tal que

${\displaystyle \delta (\varepsilon /2)\leq \delta _{1}(\varepsilon )\leq \delta (\varepsilon ),\quad \varepsilon \in [0,2].}$

• El espacio normado ( X , ǁ ⋅ ǁ) es uniformemente convexo si y sólo si su característica de convexidad ε ₀ es igual a 0, es decir , si y sólo si δ ( ε ) > 0 para todo  ε > 0 .
• El espacio de Banach ( X , ǁ ⋅ ǁ) es un espacio estrictamente convexo (es decir, el límite de la esfera unitaria B no contiene segmentos de línea) si y solo si δ (2) = 1, es decir , si solo los puntos antípodas (de la forma x e y  = − x ) de la esfera unitaria pueden tener una distancia igual a 2.
• Cuando X es uniformemente convexo, admite una norma equivalente con módulo de convexidad de tipo potencia. ^[6] Es decir, existe q ≥ 2 y una constante  c > 0 tal que

${\displaystyle \delta (\varepsilon )\geq c\,\varepsilon ^{q},\quad \varepsilon \in [0,2].}$

Módulo de convexidad de layoPAGespacios

El módulo de convexidad es conocido para los espacios L ^{P. [7]} Si , entonces satisface la siguiente ecuación implícita: ${\displaystyle 1<p\leq 2}$

${\displaystyle \left(1-\delta _{p}(\varepsilon )+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}+\left(1-\delta _{p}(\varepsilon )-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}=2.}$

Sabiendo que se puede suponer que . Sustituyendo esto en lo anterior y desarrollando el lado izquierdo como una serie de Taylor alrededor de , se pueden calcular los coeficientes: ${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon +)=0,}$ ${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )=a_{0}\varepsilon +a_{1}\varepsilon ^{2}+\cdots }$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )={\frac {p-1}{8}}\varepsilon ^{2}+{\frac {1}{384}}(3-10p+9p^{2}-2p^{3})\varepsilon ^{4}+\cdots .}$

Para , se tiene la expresión explícita ${\displaystyle 2<p<\infty }$

${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )=1-\left(1-\left({\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Por lo tanto, . ${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )={\frac {1}{p2^{p}}}\varepsilon ^{p}+\cdots }$

Véase también

• Espacio uniformemente liso

Notas

1. p. 60 en Lindenstrauss y Tzafriri (1979).
2. Day, Mahlon (1944), "Convexidad uniforme en espacios factoriales y conjugados", Anales de Matemáticas , 2, 45 (2): 375–385, doi :10.2307/1969275, JSTOR  1969275
3. Lema 1.e.8, pág. 66 en Lindenstrauss y Tzafriri (1979).
4. ver Observaciones, p. 67 en Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
5. ver Proposición 1.e.6, p. 65 y Lema 1.e.7, 1.e.8, p. 66 en Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
6. Véase Pisier, Gilles (1975), "Martingales con valores en espacios uniformemente convexos", Israel Journal of Mathematics , 20 (3–4): 326–350, doi :10.1007/BF02760337, MR  0394135, S2CID  120947324.
7. Hanner, Olof (1955), "Sobre la convexidad uniforme de y ", Arkiv för Matematik , 3 : 239–244, doi : 10.1007/BF02589410 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Referencias

• Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introducción a los espacios de Banach y su geometría (segunda edición revisada). Holanda Septentrional. ISBN 0-444-86416-4.Sr. 0889253  .
• Clarkson, James (1936), "Espacios uniformemente convexos", Transactions of the American Mathematical Society , 40 (3), American Mathematical Society: 396–414, doi : 10.2307/1989630 , JSTOR  1989630
• Fuster, Enrique Llorens. Algunos módulos y constantes relacionados con la teoría del punto fijo métrico. Handbook of metric fixed point theory , 133–175, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2001. MR 1904276
• Lindenstrauss, Joram y Benyamini, Yoav. Análisis funcional geométrico no lineal. Publicaciones del Colloquium, 48. American Mathematical Society.
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1979), Espacios clásicos de Banach. II. Espacios funcionales , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines], vol. 97, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+243, ISBN 3-540-08888-1.
• Vitali D. Milman . Teoría geométrica de los espacios de Banach II. Geometría de la esfera unitaria. Uspechi Mat. Nauk, vol. 26, núm. 6, 73–149, 1971; Russian Math. Surveys , v. 26 6, 80–159.