Métodos de partículas de campo medio

Amplia clase de algoritmos de Monte Carlo de tipo interactivo

Los métodos de partículas de campo medio son una amplia clase de algoritmos de Monte Carlo de tipo interactivo para simular a partir de una secuencia de distribuciones de probabilidad que satisfacen una ecuación de evolución no lineal. ^{[1] [2] [3] [4]} Estos flujos de medidas de probabilidad siempre se pueden interpretar como las distribuciones de los estados aleatorios de un proceso de Markov cuyas probabilidades de transición dependen de las distribuciones de los estados aleatorios actuales. ^{[1] [2]} Una forma natural de simular estos sofisticados procesos de Markov no lineales es muestrear una gran cantidad de copias del proceso, reemplazando en la ecuación de evolución las distribuciones desconocidas de los estados aleatorios por las medidas empíricas muestreadas . A diferencia de los métodos tradicionales de Monte Carlo y Monte Carlo de cadena de Markov, estas técnicas de partículas de campo medio se basan en muestras interactuantes secuenciales . La terminología campo medio refleja el hecho de que cada una de las muestras (también conocidas como partículas, individuos, caminantes, agentes, criaturas o fenotipos) interactúa con las medidas empíricas del proceso. Cuando el tamaño del sistema tiende a infinito, estas medidas empíricas aleatorias convergen a la distribución determinista de los estados aleatorios de la cadena de Markov no lineal, de modo que la interacción estadística entre partículas se desvanece. En otras palabras, a partir de una configuración caótica basada en copias independientes del estado inicial del modelo de cadena de Markov no lineal, el caos se propaga en cualquier horizonte temporal a medida que el tamaño del sistema tiende a infinito; es decir, los bloques finitos de partículas se reducen a copias independientes del proceso de Markov no lineal. Este resultado se denomina propiedad de propagación del caos. ^{[5] [6] [7]} La ​​terminología "propagación del caos" se originó con el trabajo de Mark Kac en 1976 sobre un modelo cinético de gas de campo medio en colisión. ^[8]

Historia

La teoría de modelos de partículas interactuantes de campo medio ciertamente había comenzado a mediados de la década de 1960, con el trabajo de Henry P. McKean Jr. sobre las interpretaciones de Markov de una clase de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas no lineales que surgieron en la mecánica de fluidos. ^{[5] [9]} Los fundamentos matemáticos de estas clases de modelos fueron desarrollados desde mediados de la década de 1980 hasta mediados de la década de 1990 por varios matemáticos, entre ellos Werner Braun, Klaus Hepp, ^[10] Karl Oelschläger, ^{[11] [12] [13]} Gérard Ben Arous y Marc Brunaud, ^[14] Donald Dawson, Jean Vaillancourt ^[15] y Jürgen Gärtner, ^{[16] [17]} Christian Léonard, ^[18] Sylvie Méléard , Sylvie Roelly , ^[6] Alain-Sol Sznitman ^{[7] [19]} e Hiroshi Tanaka ^[20] para modelos de tipo difusión; F. Alberto Grünbaum, ^[21] Tokuzo Shiga, Hiroshi Tanaka, ^[22] Sylvie Méléard y Carl Graham ^{[23] [24] [25]} para clases generales de procesos de difusión por salto en interacción.

También citamos un artículo pionero anterior de Theodore E. Harris y Herman Kahn , publicado en 1951, que utiliza métodos genéticos de campo medio pero similares a los heurísticos para estimar las energías de transmisión de partículas. ^[26] Los métodos de partículas de tipo genético de campo medio también se utilizan como algoritmos de búsqueda natural heurísticos (también conocidos como metaheurísticos ) en la computación evolutiva. Los orígenes de estas técnicas computacionales de campo medio se pueden rastrear hasta 1950 y 1954 con el trabajo de Alan Turing sobre máquinas de aprendizaje de selección por mutación de tipo genético ^[27] y los artículos de Nils Aall Barricelli en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey . ^{[28] [29]} El genetista australiano Alex Fraser también publicó en 1957 una serie de artículos sobre la simulación de tipo genético de la selección artificial de organismos. ^[30]

Los métodos de Monte Carlo cuántico , y más específicamente los métodos de Monte Carlo de difusión, también se pueden interpretar como una aproximación de partículas de campo medio de las integrales de trayectoria de Feynman-Kac. ^{[3] [4] [31] [32] [33] [34] [35]} Los orígenes de los métodos de Monte Carlo cuántico a menudo se atribuyen a Enrico Fermi y Robert Richtmyer, quienes desarrollaron en 1948 una interpretación de partículas de campo medio de las reacciones en cadena de neutrones, [ ^36] pero el primer algoritmo de partículas de tipo heurístico y genético (también conocido como métodos de Monte Carlo remuestreados o de reconfiguración) para estimar las energías del estado fundamental de los sistemas cuánticos (en modelos de matriz reducida) se debe a Jack H. Hetherington en 1984 ^[35] En química molecular, el uso de métodos de partículas de tipo heurístico genético (también conocidos como estrategias de poda y enriquecimiento) se remonta a 1955 con el trabajo seminal de Marshall, N. Rosenbluth y Arianna, W. Rosenbluth. ^[37]

Los primeros artículos pioneros sobre las aplicaciones de estos métodos de partículas similares a heurísticos en problemas de filtrado no lineal fueron los estudios independientes de Neil Gordon, David Salmon y Adrian Smith (filtro bootstrap), ^[38] Genshiro Kitagawa (filtro de Monte Carlo), ^[39] y el de Himilcon Carvalho, Pierre Del Moral, André Monin y Gérard Salut ^[40] publicado en la década de 1990. El término "filtros de partículas" interactuantes fue acuñado por primera vez en 1996 por Del Moral. ^[41] Los filtros de partículas también fueron desarrollados en el procesamiento de señales a principios de 1989-1992 por P. Del Moral, JC Noyer, G. Rigal y G. Salut en el LAAS-CNRS en una serie de informes de investigación restringidos y clasificados con STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), la empresa de TI DIGILOG y el LAAS-CNRS (el Laboratorio de Análisis y Arquitectura de Sistemas) sobre problemas de procesamiento de señales RADAR/SONAR y GPS. ^{[42] [43] [44] [45] [46] [47]}

Las bases y el primer análisis riguroso sobre la convergencia de los modelos de tipo genético y los métodos de partículas Feynman-Kac de campo medio se deben a Pierre Del Moral ^{[48] [49]} en 1996. Los métodos de partículas de tipo ramificado con tamaños de población variables también fueron desarrollados a finales de los años 1990 por Dan Crisan, Jessica Gaines y Terry Lyons, ^{[50] [51] [52]} y por Dan Crisan, Pierre Del Moral y Terry Lyons. ^[53] Los primeros resultados de convergencia uniforme con respecto al parámetro de tiempo para modelos de partículas de campo medio fueron desarrollados a finales de los años 1990 por Pierre Del Moral y Alice Guionnet ^{[54] [55]} para procesos de tipo salto interactuantes, y por Florent Malrieu para procesos de tipo difusión no lineal. ^[56]

Las nuevas clases de técnicas de simulación de partículas de campo medio para problemas de integración de trayectorias de Feynman-Kac incluyen modelos basados ​​en árboles genealógicos, ^{[2] [3] [57]} modelos de partículas hacia atrás, ^{[2] [58]} modelos de partículas de campo medio adaptativos, ^[59] modelos de partículas de tipo isla, ^{[60] [61]} y métodos de Monte Carlo de cadena de Markov de partículas ^{[62] [63]}

Aplicaciones

En física , y más particularmente en mecánica estadística , estas ecuaciones de evolución no lineal se utilizan a menudo para describir el comportamiento estadístico de partículas microscópicas que interactúan en un fluido o en alguna materia condensada. En este contexto, la evolución aleatoria de un fluido virtual o una partícula de gas se representa mediante procesos de difusión de McKean-Vlasov , sistemas de reacción-difusión o procesos de colisión de tipo Boltzmann . ^{[11] [12] [13] [25] [64]} Como su nombre lo indica, el modelo de partículas de campo medio representa el comportamiento colectivo de partículas microscópicas que interactúan débilmente con sus medidas de ocupación. El comportamiento macroscópico de estos sistemas de partículas de muchos cuerpos se encapsula en el modelo límite obtenido cuando el tamaño de la población tiende a infinito. Las ecuaciones de Boltzmann representan la evolución macroscópica de partículas en colisión en gases enrarecidos, mientras que las difusiones de McKean-Vlasov representan el comportamiento macroscópico de partículas de fluidos y gases granulares.

En física computacional y más específicamente en mecánica cuántica , las energías del estado fundamental de los sistemas cuánticos están asociadas con la parte superior del espectro de los operadores de Schrödinger. La ecuación de Schrödinger es la versión de mecánica cuántica de la segunda ley de movimiento de Newton de la mecánica clásica (la masa por la aceleración es la suma de las fuerzas). Esta ecuación representa la evolución de la función de onda (también conocida como estado cuántico) de algún sistema físico, incluidos los sistemas moleculares, atómicos o subatómicos, así como los sistemas macroscópicos como el universo. ^[65] La solución de la ecuación de Schrödinger de tiempo imaginario (también conocida como ecuación del calor) está dada por una distribución de Feynman-Kac asociada con un proceso de Markov de evolución libre (a menudo representado por movimientos brownianos) en el conjunto de configuraciones electrónicas o macromoleculares y alguna función de energía potencial. El comportamiento a largo plazo de estos semigrupos no lineales está relacionado con los valores propios superiores y las energías del estado fundamental de los operadores de Schrödinger. ^{[3] [32] [33] [34] [35] [66]} La interpretación del campo medio de tipo genético de estos modelos de Feynman-Kac se denomina métodos de Monte Carlo de remuestreo o de Monte Carlo de difusión. Estos algoritmos evolutivos de tipo ramificado se basan en transiciones de mutación y selección. Durante la transición de mutación, los caminantes evolucionan de forma aleatoria e independiente en un paisaje de energía potencial en configuraciones de partículas. El proceso de selección de campo medio (también conocido como teletransportación cuántica, reconfiguración de población, transición remuestreada) está asociado con una función de aptitud que refleja la absorción de partículas en un pozo de energía. Las configuraciones con baja energía relativa tienen más probabilidades de duplicarse. En química molecular y física estadística, los métodos de partículas de campo medio también se utilizan para muestrear medidas de Boltzmann-Gibbs asociadas con algún programa de enfriamiento y para calcular sus constantes de normalización (también conocidas como energías libres o funciones de partición). ^{[2] [67] [68] [69]}

En biología computacional , y más específicamente en genética de poblaciones , los procesos de ramificación espacial con mecanismos de selección y migración competitivos también pueden representarse mediante modelos de dinámica de poblaciones de tipo genético de campo medio . ^{[4] [70]} Los primeros momentos de las medidas de ocupación de un proceso de ramificación espacial están dados por flujos de distribución de Feynman-Kac. ^{[71] [72]} La aproximación de tipo genético de campo medio de estos flujos ofrece una interpretación de tamaño de población fijo de estos procesos de ramificación. ^{[2] [3] [73]} Las probabilidades de extinción pueden interpretarse como probabilidades de absorción de algún proceso de Markov que evoluciona en algún entorno absorbente. Estos modelos de absorción están representados por modelos de Feynman-Kac. ^{[74] [75] [76] [77]} El comportamiento a largo plazo de estos procesos condicionado a la no extinción puede expresarse de forma equivalente mediante medidas cuasi-invariantes , límites de Yaglom , ^[78] o medidas invariantes de flujos de Feynman-Kac normalizados no lineales. ^{[2] [3] [54] [55] [66] [79]}

En ciencias de la computación , y más particularmente en inteligencia artificial, estos algoritmos genéticos de tipo campo medio se utilizan como heurísticas de búsqueda aleatoria que imitan el proceso de evolución para generar soluciones útiles a problemas de optimización complejos. ^{[80] [81] [82]} Estos algoritmos de búsqueda estocástica pertenecen a la clase de modelos evolutivos . La idea es propagar una población de soluciones candidatas factibles utilizando mecanismos de mutación y selección. La interacción del campo medio entre los individuos está encapsulada en los mecanismos de selección y cruce.

En las teorías de los juegos de campo medio y de los sistemas de interacción de múltiples agentes , los procesos de partículas de campo medio se utilizan para representar el comportamiento colectivo de sistemas complejos con individuos que interactúan. ^{[83] [84] [85] [86] [ 87 ] [88] [89] [90]} En este contexto, la interacción de campo medio se encapsula en el proceso de decisión de los agentes que interactúan. El modelo limitante a medida que el número de agentes tiende al infinito a veces se denomina modelo continuo de agentes ^[91]

En teoría de la información , y más específicamente en aprendizaje automático estadístico y procesamiento de señales , los métodos de partículas de campo medio se utilizan para muestrear secuencialmente de las distribuciones condicionales de algún proceso aleatorio con respecto a una secuencia de observaciones o una cascada de eventos raros . ^{[2] [3] [73] [92]} En problemas de filtrado no lineal de tiempo discreto , las distribuciones condicionales de los estados aleatorios de una señal dadas observaciones parciales y ruidosas satisfacen una ecuación de evolución de predicción-actualización no lineal. El paso de actualización está dado por la regla de Bayes , y el paso de predicción es una ecuación de transporte de Chapman-Kolmogorov . La interpretación de partículas de campo medio de estas ecuaciones de filtrado no lineal es un algoritmo de partículas de mutación-selección de tipo genético ^[48] Durante el paso de mutación, las partículas evolucionan independientemente unas de otras de acuerdo con las transiciones de Markov de la señal. Durante la etapa de selección, las partículas con valores de probabilidad relativa pequeños se eliminan, mientras que las que tienen valores relativos altos se multiplican. ^{[93] [94]} Estas técnicas de partículas de campo medio también se utilizan para resolver problemas de seguimiento de múltiples objetos y, más específicamente, para estimar medidas de asociación ^{[2] [73] [95]}

La versión de tiempo continuo de estos modelos de partículas son interpretaciones de partículas de tipo Moran de campo medio de las ecuaciones de evolución de filtro óptimo robusto o la ecuación diferencial parcial estocástica de Kushner-Stratonotich. ^{[4] [31] [94]} Estos algoritmos de partículas de campo medio de tipo genético también denominados filtros de partículas y métodos de Monte Carlo secuencial se utilizan de forma extensa y rutinaria en la investigación de operaciones y la inferencia estadística. ^{[96] [97] [98]} El término "filtros de partículas" fue acuñado por primera vez en 1996 por Del Moral, ^[41] y el término "Monte Carlo secuencial" por Liu y Chen en 1998. Las técnicas de simulación de subconjuntos y división de Monte Carlo ^[99] son ​​casos particulares de esquemas de partículas genéticas y modelos de partículas de Feynman-Kac equipados con transiciones de mutación de Monte Carlo de cadena de Markov ^{[67] [100] [101]}

Ilustraciones del método de simulación del campo medio

Modelos de espacio de estados contables

Para motivar el algoritmo de simulación de campo medio, comenzamos con S, un espacio de estados finito o contable , y dejamos que P ( S ) denote el conjunto de todas las medidas de probabilidad en S . Consideremos una secuencia de distribuciones de probabilidad en S que satisfacen una ecuación de evolución: ${\displaystyle (\eta _{0},\eta _{1},\cdots )}$

para algunas asignaciones, posiblemente no lineales. Estas distribuciones se dan mediante vectores. ${\displaystyle \Phi :P(S)\to P(S).}$

${\displaystyle \eta _{n}=(\eta _{n}(x))_{x\in S},}$

que satisfacen:

${\displaystyle 0\leqslant \eta _{n}(x)\leqslant 1,\qquad \sum \nolimits _{x\in S}\eta _{n}(x)=1.}$

Por lo tanto, es una aplicación del símplex unitario en sí mismo, donde s representa la cardinalidad del conjunto S. Cuando s es demasiado grande, la solución de la ecuación ( 1 ) es inviable o computacionalmente muy costosa. Una forma natural de aproximar estas ecuaciones de evolución es reducir secuencialmente el espacio de estados utilizando un modelo de partículas de campo medio. Uno de los esquemas de simulación de campo medio más simples está definido por la cadena de Markov. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (s-1)}$

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

en el espacio del producto , comenzando con N variables aleatorias independientes con distribución de probabilidad y transiciones elementales ${\displaystyle S^{N}}$ ${\displaystyle \eta _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right|\xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}\Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)\left(y^{i}\right),}$

con la medida empírica

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}1_{\xi _{n}^{(N,j)}}}$

donde es la función indicadora del estado x . ${\displaystyle 1_{x}}$

En otras palabras, dado que las muestras son variables aleatorias independientes con distribución de probabilidad . La lógica detrás de esta técnica de simulación de campo medio es la siguiente: esperamos que cuando es una buena aproximación de , entonces es una aproximación de . Por lo tanto, dado que es la medida empírica de N variables aleatorias condicionalmente independientes con distribución de probabilidad común , esperamos que sea una buena aproximación de . ${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}}$ ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N)}}$ ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$ ${\displaystyle \eta _{n}^{N}}$ ${\displaystyle \eta _{n}}$ ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$ ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}\right)=\eta _{n+1}}$ ${\displaystyle \eta _{n+1}^{N}}$ ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$ ${\displaystyle \eta _{n+1}^{N}}$ ${\displaystyle \eta _{n+1}}$

Otra estrategia es encontrar una colección

${\displaystyle K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}}$

de matrices estocásticas indexadas por tales que ${\displaystyle \eta _{n}\in P(S)}$

Esta fórmula nos permite interpretar la secuencia como las distribuciones de probabilidad de los estados aleatorios del modelo de cadena de Markov no lineal con transiciones elementales. ${\displaystyle (\eta _{0},\eta _{1},\cdots )}$ ${\displaystyle \left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.{\overline {X}}_{n+1}=y\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)=K_{\eta _{n}}(x,y),\qquad {\text{Law}}({\overline {X}}_{n})=\eta _{n}.}$

Una colección de transiciones de Markov que satisfacen la ecuación ( 1 ) se denomina interpretación McKean de la secuencia de medidas . La interpretación de la partícula del campo medio de ( 2 ) ahora está definida por la cadena de Markov. ${\displaystyle K_{\eta _{n}}}$ ${\displaystyle \eta _{n}}$

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

en el espacio del producto , comenzando con N copias aleatorias independientes de y transiciones elementales ${\displaystyle S^{N}}$ ${\displaystyle X_{0}}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right|\xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y^{i}\right),}$

con la medida empírica

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}1_{\xi _{n}^{(N,j)}}}$

Bajo algunas condiciones de regularidad débil ^[2] en la aplicación para cualquier función , tenemos la convergencia casi segura ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle f:S\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)}$

Estos procesos de Markov no lineales y su interpretación de partículas de campo medio se pueden extender a modelos no homogéneos en el tiempo en espacios de estados medibles generales . ^[2]

Modelos de Feynman-Kac

Para ilustrar los modelos abstractos presentados anteriormente, consideramos una matriz estocástica y una función . Asociamos a estos dos objetos la función de mapeo ${\displaystyle M=(M(x,y))_{x,y\in S}}$ ${\displaystyle G:S\to (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Phi :P(S)\to P(S)\\(\eta _{n}(x))_{x\in S}\mapsto \left(\Phi (\eta _{n})(y)\right)_{y\in S}\end{cases}}\qquad \Phi (\eta _{n})(y)=\sum _{x\in S}\Psi _{G}(\eta _{n})(x)M(x,y)}$

y las medidas de Boltzmann-Gibbs definidas por ${\displaystyle \Psi _{G}(\eta _{n})(x)}$

${\displaystyle \Psi _{G}(\eta _{n})(x)={\frac {\eta _{n}(x)G(x)}{\sum _{z\in S}\eta _{n}(z)G(z)}}.}$

Denotamos por la colección de matrices estocásticas indexadas por dadas por ${\displaystyle K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}}$ ${\displaystyle \eta _{n}\in P(S)}$

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,y)=\epsilon G(x)M(x,y)+(1-\epsilon G(x))\Phi (\eta _{n})(y)}$

para algún parámetro . Se comprueba fácilmente que se satisface la ecuación ( 2 ). Además, también podemos demostrar (cf. por ejemplo ^[3] ) que la solución de ( 1 ) viene dada por la fórmula de Feynman-Kac ${\displaystyle \epsilon \in [0,1]}$

${\displaystyle \eta _{n}(x)={\frac {E\left(1_{x}(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}},}$

con una cadena de Markov con distribución inicial y transición de Markov M . ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \eta _{0}}$

Para cualquier función que tengamos ${\displaystyle f:S\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \eta _{n}(f):=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)={\frac {E\left(f(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}}}$

Si es la función unitaria y , entonces tenemos ${\displaystyle G(x)=1}$ ${\displaystyle \epsilon =1}$

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,y)=M(x,y)=\mathbf {P} \left(\left.X_{n+1}=y\right|X_{n}=x\right),\qquad \eta _{n}(x)=E\left(1_{x}(X_{n})\right)=\mathbf {P} (X_{n}=x).}$

Y la ecuación ( 2 ) se reduce a la ecuación de Chapman-Kolmogorov

${\displaystyle \eta _{n+1}(y)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)M(x,y)\qquad \Leftrightarrow \qquad \mathbf {P} \left(X_{n+1}=y\right)=\sum _{x\in S}\mathbf {P} (X_{n+1}=y|X_{n}=x)\mathbf {P} \left(X_{n}=x\right)}$

La interpretación de partículas de campo medio de este modelo de Feynman-Kac se define muestreando secuencialmente N variables aleatorias condicionalmente independientes con distribución de probabilidad. ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}}$

${\displaystyle K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)=\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)+\left(1-\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)\sum _{j=1}^{N}{\frac {G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}{\sum _{k=1}^{N}G\left(\xi _{n}^{(N,k)}\right)}}M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right)}$

En otras palabras, con una probabilidad la partícula evoluciona a un nuevo estado elegido aleatoriamente con la distribución de probabilidad ; de lo contrario, salta a una nueva ubicación elegida aleatoriamente con una probabilidad proporcional a y evoluciona a un nuevo estado elegido aleatoriamente con la distribución de probabilidad Si es la función unitaria y , la interacción entre la partícula se desvanece y el modelo de partícula se reduce a una secuencia de copias independientes de la cadena de Markov . Cuando el modelo de partícula de campo medio descrito anteriormente se reduce a un algoritmo genético de selección de mutación simple con función de aptitud G y transición de mutación M . Estos modelos de cadena de Markov no lineales y su interpretación de partícula de campo medio se pueden extender a modelos no homogéneos en el tiempo en espacios de estados medibles generales (incluidos estados de transición, espacios de trayectorias y espacios de excursión aleatoria) y modelos de tiempo continuo. ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle \epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)}$ ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,i)}}$ ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=y}$ ${\displaystyle M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)}$ ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,i)}}$ ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,j)}}$ ${\displaystyle G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}$ ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=y}$ ${\displaystyle M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right).}$ ${\displaystyle G(x)=1}$ ${\displaystyle \epsilon =1}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \epsilon =0}$

Modelos de espacio de estados no lineales gaussianos

Consideramos una secuencia de variables aleatorias de valor real definidas secuencialmente por las ecuaciones ${\displaystyle \left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)}$

con una colección de variables aleatorias gaussianas estándar independientes , un parámetro positivo σ , algunas funciones y un estado aleatorio inicial gaussiano estándar . Sea la distribución de probabilidad del estado aleatorio ; es decir, para cualquier función medible acotada f , tenemos ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle a,b,c:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ,}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$ ${\displaystyle \eta _{n}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

${\displaystyle E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(x)\eta _{n}(dx),}$

con

${\displaystyle \mathbf {P} \left({\overline {X}}_{n}\in dx\right)=\eta _{n}(dx)}$

La integral es la integral de Lebesgue y dx representa una vecindad infinitesimal del estado x . La transición de Markov de la cadena se da para cualquier función medible acotada f mediante la fórmula

${\displaystyle E\left(\left.f\left({\overline {X}}_{n+1}\right)\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)=\int _{\mathbf {R} }K_{\eta _{n}}(x,dy)f(y),}$

con

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,dy)=\mathbf {P} \left(\left.{\overline {X}}_{n+1}\in dy\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {\left\{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(y-\left[b(x)\int _{\mathbf {R} }a(z)\eta _{n}(dz)+c(x)\right]\right)^{2}\right\}}dy}$

Utilizando la propiedad de la torre de las expectativas condicionales demostramos que las distribuciones de probabilidad satisfacen la ecuación no lineal ${\displaystyle \eta _{n}}$

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\eta _{n+1}(dy)f(y)=\int _{\mathbf {R} }\left[\int _{\mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)\right]f(y)}$

para cualquier función medible acotada f . Esta ecuación a veces se escribe en la forma más sintética

${\displaystyle \eta _{n+1}=\Phi \left(\eta _{n}\right)=\eta _{n}K_{\eta _{n}}\quad \Leftrightarrow \quad \eta _{n+1}(dy)=\left(\eta _{n}K_{\eta _{n}}\right)(dy)=\int _{x\in \mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)}$

La interpretación de partículas de campo medio de este modelo está definida por la cadena de Markov.

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

en el espacio del producto por ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+c\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+\sigma W_{n}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N}$

dónde

${\displaystyle \xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left(W_{n}^{1},\cdots ,W_{n}^{N}\right)}$

representan N copias independientes de y respectivamente. Para los modelos regulares (por ejemplo, para las funciones Lipschitz acotadas a , b , c ) tenemos la convergencia casi segura ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$ ${\displaystyle W_{n};n\geqslant 1,}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}(dy),}$

con la medida empírica

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{(N,i)}}}$

para cualquier función medible acotada f (cf. por ejemplo ^[2] ). En la representación anterior, representa la medida de Dirac en el estado x . ${\displaystyle \delta _{x}}$

Modelos de campo medio de tiempo continuo

Consideramos un movimiento browniano estándar (también conocido como proceso de Wiener ) evaluado en una secuencia de malla temporal con un paso de tiempo dado . Elegimos en la ecuación ( 1 ), reemplazamos y σ por y , y escribimos en lugar de los valores de los estados aleatorios evaluados en el paso de tiempo. Recordando que son variables aleatorias gaussianas centradas independientes con varianza, la ecuación resultante se puede reescribir en la siguiente forma ${\displaystyle {\overline {W}}_{t_{n}}}$ ${\displaystyle t_{0}=0<t_{1}<\cdots <t_{n}<\cdots }$ ${\displaystyle t_{n}-t_{n-1}=h}$ ${\displaystyle c(x)=x}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle b(x)\times h}$ ${\displaystyle \sigma \times {\sqrt {h}}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{t_{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}.}$ ${\displaystyle \left({\overline {W}}_{t_{n+1}}-{\overline {W}}_{t_{n}}\right)}$ ${\displaystyle t_{n}-t_{n-1}=h,}$

Cuando h → 0, la ecuación anterior converge al proceso de difusión no lineal.

${\displaystyle d{\overline {X}}_{t}=E\left(a\left({\overline {X}}_{t}\right)\right)b({\overline {X}}_{t})dt+\sigma d{\overline {W}}_{t}}$

El modelo de tiempo continuo de campo medio asociado con estas difusiones no lineales es el proceso de difusión (interactuante) en el espacio del producto definido por ${\displaystyle \xi _{t}^{(N)}=\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

${\displaystyle d\xi _{t}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)+\sigma d{\overline {W}}_{t}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N}$

dónde

${\displaystyle \xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left({\overline {W}}_{t}^{1},\cdots ,{\overline {W}}_{t}^{N}\right)}$

son N copias independientes de y Para los modelos regulares (por ejemplo, para funciones de Lipschitz acotadas a , b ) tenemos la convergencia casi segura ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$ ${\displaystyle {\overline {W}}_{t}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{t})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}(dy)}$,

con y la medida empírica ${\displaystyle \eta _{t}={\text{Law}}\left({\overline {X}}_{t}\right),}$

${\displaystyle \eta _{t}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\delta _{\xi _{t}^{(N,i)}}}$

para cualquier función medible acotada f (cf. por ejemplo, ^[7] ). Estos procesos no lineales de Markov y su interpretación de partículas de campo medio se pueden extender a procesos de difusión por saltos interactivos ^{[1] [2] [23] [25]}

Referencias

1. Kolokoltsov, Vassili (2010). Procesos no lineales de Markov . Cambridge Univ. Press. pág. 375.
2. Del Moral, Pierre (2013). Simulación de campo medio para integración de Monte Carlo. Monografías sobre estadística y probabilidad aplicada. Vol. 126. ISBN 9781466504059.
3. Del Moral, Pierre (2004). Fórmulas de Feynman-Kac. Aproximaciones genealógicas y de partículas interactuantes. Probabilidad y sus aplicaciones. Springer. p. 575. ISBN 9780387202686Serie : Probabilidad y aplicaciones
4. Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent (2000). "Aproximaciones de fórmulas de Feynman-Kac con aplicaciones al filtrado no lineal mediante sistemas de partículas ramificadas e interactuantes". Séminaire de Probabilités XXXIV (PDF) . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1729. págs. 1–145. doi :10.1007/bfb0103798. ISBN 978-3-540-67314-9.
5. McKean, Henry, P. (1967). "Propagación del caos para una clase de ecuaciones parabólicas no lineales". Serie de conferencias sobre ecuaciones diferenciales, Universidad Católica . 7 : 41–57.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Méléard, Sylvie ; Roelly, Sylvie (1987). "Un resultado de propagación del caos para un sistema de partículas con interacción moderada". Stoch. Proc. And Appl . 26 : 317–332. doi : 10.1016/0304-4149(87)90184-0 .
7. Sznitman, Alain-Sol (1991). Temas de propagación del caos . Springer, Berlín. pp. 164-251. Saint-Flour Probability Summer School, 1989
8. Kac, Mark (1976). Probabilidad y temas relacionados en ciencias físicas . Temas de ciencias físicas. Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, Rhode Island.
9. McKean, Henry, P. (1966). "Una clase de procesos de Markov asociados con ecuaciones parabólicas no lineales". Proc. Natl. Sci. USA . 56 (6): 1907–1911. Bibcode :1966PNAS...56.1907M. doi : 10.1073/pnas.56.6.1907 . PMC 220210 . PMID  16591437. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. Braun, Werner; Hepp, Klaus (1977). "La dinámica de Vlasov y sus fluctuaciones en el límite 1 de partículas clásicas en interacción". Communications in Mathematical Physics . 56 (2): 101–113. Bibcode :1977CMaPh..56..101B. doi :10.1007/bf01611497. S2CID  55238868.
11. Oelschläger, Karl (1984). "Un enfoque martingala para la ley de los grandes números para procesos estocásticos de interacción débil". Ann. Probab . 12 (2): 458–479. doi : 10.1214/aop/1176993301 .
12. Oelschläger, Karl (1989). "Sobre la derivación de ecuaciones de reacción-difusión como límite de la dinámica de sistemas de procesos estocásticos moderadamente interactuantes". Prob. Th. Rel. Fields . 82 (4): 565–586. doi : 10.1007/BF00341284 . S2CID  115773110.
13. Oelschläger, Karl (1990). "Grandes sistemas de partículas interactuantes y ecuación de medio poroso". J. Differential Equations . 88 (2): 294–346. Bibcode :1990JDE....88..294O. doi : 10.1016/0022-0396(90)90101-t .
14. Ben Arous, Gerard; Brunaud, Marc (1990). "Méthode de Laplace: Estudio de variación de las fluctuaciones de difusiones de tipo "champ moyen"". Estocásticos . 31 : 79–144. doi :10.1080/03610919008833649.
15. Dawson, Donald; Vaillancourt, Jean (1995). "Ecuaciones estocásticas de McKean-Vlasov". Ecuaciones diferenciales no lineales y aplicaciones . 2 (2): 199–229. doi :10.1007/bf01295311. S2CID  121652411.
16. Dawson, Donald; Gartner, Jurgen (1987). "Grandes desviaciones del límite de McKean-Vlasov para difusiones con interacción débil". Estocástica . 20 (4): 247–308. doi :10.1080/17442508708833446. S2CID  122536900.
17. Gartner, Jurgen (1988). "J. GÄRTNER, Sobre el límite de McKean-Vlasov para difusiones interactuantes". Math. Nachr . 137 : 197–248. doi :10.1002/mana.19881370116.
18. Leonardo, Christian (1986). "Una ley de grandes nombres para los sistemas de difusión con interacción y coeficientes no nacidos". Anales del Instituto Henri Poincaré . 22 : 237–262.
19. Sznitman, Alain-Sol (1984). "Proceso de difusión reflectante no lineal y propagación del caos y fluctuaciones asociadas". J. Funct. Anal . 36 (3): 311–336. doi :10.1016/0022-1236(84)90080-6.
20. Tanaka, Hiroshi (1984). "Tanaka, H.: Teoremas límite para ciertos procesos de difusión con interacción". Actas del Simposio Internacional Taniguchi sobre Análisis Estocástico : 469–488. doi :10.1016/S0924-6509(08)70405-7.
21. Grunbaum., F. Alberto (1971). "Propagación del caos para la ecuación de Boltzmann". Archivo de Mecánica Racional y Análisis . 42 (5): 323–345. Bibcode :1971ArRMA..42..323G. doi :10.1007/BF00250440. S2CID  118165282.
22. Shiga, Tokuzo; Tanaka, Hiroshi (1985). "Teorema del límite central para un sistema de partículas de Markov con interacciones de campo medias". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 69 (3): 439–459. doi : 10.1007/BF00532743 . S2CID  121905550.
23. Graham, Carl (1992). "Difusiones no lineales con saltos". Ann. IHP . 28 (3): 393–402.
24. Méléard, Sylvie (1996). "Comportamiento asintótico de algunos sistemas de partículas en interacción; modelos de McKean-Vlasov y Boltzmann". Modelos probabilísticos para ecuaciones diferenciales parciales no lineales (Montecatini Terme, 1995) . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1627. págs. 42–95. doi :10.1007/bfb0093177. ISBN 978-3-540-61397-8.
25. Graham, Carl; Méléard, Sylvie (1997). "Aproximaciones de partículas estocásticas para modelos generalizados de Boltzmann y estimaciones de convergencia". Anales de probabilidad . 25 (1): 115–132. doi : 10.1214/aop/1024404281 .
26. Herman, Kahn; Harris, Theodore, E. (1951). "Estimación de la transmisión de partículas mediante muestreo aleatorio" (PDF) . Natl. Bur. Stand. Appl. Math. Ser . 12 : 27–30.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
27. Turing, Alan M. (octubre de 1950). «Maquinaria informática e inteligencia». Mind . LIX (238): 433–460. doi :10.1093/mind/LIX.236.433.
28. Barricelli, Nils Aall (1954). "Ejemplos numéricos de procesos de evolución". Métodos : 45–68.
29. Barricelli, Nils Aall (1957). "Procesos de evolución simbiogenética realizados mediante métodos artificiales". Methodos : 143–182.
30. Fraser, Alex (1957). "Simulación de sistemas genéticos mediante computadoras digitales automáticas. I. Introducción". Aust. J. Biol. Sci . 10 : 484–491. doi : 10.1071/BI9570484 .
31. Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent (2000). "Una aproximación del sistema de partículas de Moran de las fórmulas de Feynman-Kac". Procesos estocásticos y sus aplicaciones . 86 (2): 193–216. doi :10.1016/S0304-4149(99)00094-0.
32. Del Moral, Pierre (2003). "Aproximaciones de partículas de exponentes de Lyapunov conectados a operadores de Schrödinger y semigrupos de Feynman-Kac". ESAIM Probability & Statistics . 7 : 171–208. doi : 10.1051/ps:2003001 .
33. Assaraf, Roland; Caffarel, Michel; Khelif, Anatole (2000). "Métodos de difusión de Monte Carlo con un número fijo de caminantes" (PDF) . Phys. Rev. E . 61 (4): 4566–4575. Bibcode :2000PhRvE..61.4566A. doi :10.1103/physreve.61.4566. PMID  11088257. Archivado desde el original (PDF) el 2014-11-07.
34. Caffarel, Michel; Ceperley, David; Kalos, Malvin (1993). "Comentario sobre el cálculo de la integral de trayectorias de Feynman-Kac de las energías del estado fundamental de los átomos". Phys. Rev. Lett . 71 (13): 2159. Bibcode :1993PhRvL..71.2159C. doi :10.1103/physrevlett.71.2159. PMID  10054598.
35. Hetherington, Jack, H. (1984). "Observaciones sobre la iteración estadística de matrices". Phys. Rev. A . 30 (2713): 2713–2719. Código Bibliográfico :1984PhRvA..30.2713H. doi :10.1103/PhysRevA.30.2713.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
36. Fermi, Enrique; Richtmyer, Robert, D. (1948). "Nota sobre la realización de censos en los cálculos de Monte Carlo" (PDF) . LAM . 805 (A). Informe desclasificado Archivo de Los Álamos{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
37. Rosenbluth, Marshall, N.; Rosenbluth, Arianna, W. (1955). "Cálculos de Montecarlo de la extensión media de cadenas macromoleculares". J. Chem. Phys . 23 (2): 356–359. Bibcode :1955JChPh..23..356R. doi : 10.1063/1.1741967 . S2CID  89611599.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
38. Gordon, NJ; Salmond, DJ; Smith, AFM (1993). "Nuevo enfoque para la estimación de estado bayesiano no lineal/no gaussiano". IEE Proceedings F - Radar and Signal Processing . 140 (2): 107–113. doi :10.1049/ip-f-2.1993.0015. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2016 . Consultado el 19 de septiembre de 2009 .
39. Kitagawa, G. (1996). "Filtro de Monte Carlo y suavizador para modelos de espacio de estados no lineales no gaussianos". Journal of Computational and Graphical Statistics . 5 (1): 1–25. doi :10.2307/1390750. JSTOR  1390750.
40. Carvalho, Himilcon; Del Moral, Pierre; Monin, André; Salut, Gérard (julio de 1997). "Optimal Non-linear Filtering in GPS/INS Integration" (PDF) . IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems . 33 (3): 835. Bibcode :1997ITAES..33..835C. doi :10.1109/7.599254. S2CID  27966240. Archivado desde el original (PDF) el 2022-11-10 . Consultado el 2014-09-03 .
41. Del Moral, Pierre (1996). "Filtrado no lineal: solución de partículas interactuantes" (PDF) . Procesos de Markov y campos relacionados . 2 (4): 555–580. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 29 de agosto de 2014 .
42. P. Del Moral, G. Rigal y G. Salut. Estimación y control óptimo no lineal: un marco unificado para soluciones de partículas
    LAAS-CNRS, Toulouse, Informe de investigación n.º 91137, contrato DRET-DIGILOG-LAAS/CNRS, abril (1991).
43. P. Del Moral, G. Rigal y G. Salut. Filtros de partículas no lineales y no gaussianos aplicados al reposicionamiento de plataformas inerciales.
    LAAS-CNRS, Toulouse, Informe de investigación n.º 92207, Convenio STCAN/DIGILOG-LAAS/CNRS, STCAN n.º A.91.77.013, (94 págs.) Septiembre (1991).
44. P. Del Moral, G. Rigal y G. Salut. Estimación y control óptimo no lineal: Resolución de partículas en filtrado y estimación. Resultados experimentales.
    Convenio DRET n.º 89.34.553.00.470.75.01, Informe de investigación n.º 2 (54 págs.), enero (1992).
45. P. Del Moral, G. Rigal y G. Salut. Estimación y control óptimo no lineal: Resolución de partículas en filtrado y estimación. Resultados teóricos
    Convención DRET n.º 89.34.553.00.470.75.01, Informe de investigación n.º 3 (123 págs.), octubre (1992).
46. P. Del Moral, J.-Ch. Noyer, G. Rigal y G. Salut. Filtros de partículas en el procesamiento de señales de radar: detección, estimación y reconocimiento de objetivos aéreos.
    LAAS-CNRS, Toulouse, Informe de investigación n.° 92495, diciembre (1992).
47. P. Del Moral, G. Rigal y G. Salut. Estimación y control óptimo no lineal: Resolución de partículas en filtrado y estimación.
    Estudios sobre: ​​Filtrado, control óptimo y estimación de máxima verosimilitud. Convenio DRET n.º 89.34.553.00.470.75.01. Informe de investigación n.º 4 (210 págs.), enero (1993).
48. Del Moral, Pierre (1996). "Filtrado no lineal: solución de partículas interactuantes" (PDF) . Procesos de Markov y campos relacionados . 2 (4): 555–580. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 29 de agosto de 2014 .
49. Del Moral, Pierre (1998). "Procesos de medida y sistemas de partículas en interacción. Aplicación a problemas de filtrado no lineal". Annals of Applied Probability . 8 (2) (Publicaciones del Laboratoire de Statistique et Probabilités, 96-15 (1996) ed.): 438–495. doi : 10.1214/aoap/1028903535 .
50. Crisan, Dan; Gaines, Jessica; Lyons, Terry (1998). "Convergencia de un método de partículas ramificadas a la solución de Zakai". Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas . 58 (5): 1568–1590. doi :10.1137/s0036139996307371. S2CID  39982562.
51. Crisan, Dan; Lyons, Terry (1997). "Filtrado no lineal y procesos con valores medidos". Teoría de la probabilidad y campos relacionados . 109 (2): 217–244. doi : 10.1007/s004400050131 . S2CID  119809371.
52. Crisan, Dan; Lyons, Terry (1999). "Una aproximación de partículas de la solución de la ecuación de Kushner-Stratonovitch". Teoría de la probabilidad y campos relacionados . 115 (4): 549–578. doi : 10.1007/s004400050249 . S2CID  117725141.
53. Crisan, Dan; Del Moral, Pierre; Lyons, Terry (1999). "Filtrado discreto utilizando sistemas de partículas ramificadas e interactuantes" (PDF) . Procesos de Markov y campos relacionados . 5 (3): 293–318.
54. Del Moral, Pierre; Guionnet, Alice (2001). "Sobre la estabilidad de los procesos interactuantes con aplicaciones a algoritmos genéticos y de filtrado". Annales de l'Institut Henri Poincaré . 37 (2): 155–194. Bibcode :2001AIHPB..37..155D. doi :10.1016/s0246-0203(00)01064-5.
55. Del Moral, Pierre; Guionnet, Alice (1999). "Sobre la estabilidad de los procesos de medida con aplicaciones al filtrado". CR Acad. Sci. París . 39 (1): 429–434.
56. Malrieu, Florent (2001). "Desigualdades logarítmicas de Sobolev para algunas ecuaciones diferenciales parciales no lineales". Proceso estocástico. Appl . 95 (1): 109–132. doi :10.1016/s0304-4149(01)00095-3. S2CID  13915974.
57. Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent (2001). "Genealogías y propagación creciente del caos para modelos genéticos y de Feynman-Kac". Anales de probabilidad aplicada . 11 (4): 1166–1198.
58. Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud; Singh, Sumeetpal, S. (2010). "Una interpretación de partículas hacia atrás de las fórmulas de Feynman-Kac" (PDF) . M2AN . 44 (5): 947–976. arXiv : 0908.2556 . doi :10.1051/m2an/2010048. S2CID  14758161.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
59. Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud; Jasra, Ajay (2012). "Sobre procedimientos de remuestreo adaptativo para métodos secuenciales de Monte Carlo" (PDF) . Bernoulli . 18 (1): 252–278. arXiv : 1203.0464 . doi :10.3150/10-bej335. S2CID  4506682.
60. Vergé, Christelle; Dubarry, Cyrille; Del Moral, Pierre; Moulines, Eric (2013). "Sobre la implementación paralela de métodos secuenciales de Monte Carlo: el modelo de partículas isla". Estadística y computación . 25 (2): 243–260. arXiv : 1306.3911 . Código Bibliográfico :2013arXiv1306.3911V. doi :10.1007/s11222-013-9429-x. S2CID  39379264.
61. Chopin, Nicolas; Jacob, Pierre, E.; Papaspiliopoulos, Omiros (2011). "SMC^2: un algoritmo eficiente para el análisis secuencial de modelos de espacio de estados". arXiv : 1101.1528v3 [stat.CO].{{cite arXiv}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
62. Andrieu, Christophe; Doucet, Arnaud; Holenstein, Roman (2010). "Métodos de Monte Carlo de cadenas de Markov de partículas". Journal of the Royal Statistical Society, Serie B . 72 (3): 269–342. doi : 10.1111/j.1467-9868.2009.00736.x .
63. Del Moral, Pierre; Patras, Federico; Kohn, Robert (2014). "Sobre los modelos Monte Carlo de cadena de partículas de Markov y Feynman-Kac". arXiv : 1404.5733 [matemáticas.PR].
64. Cercignani, Carlo; Illner, Reinhard; Pulvirenti, Mario (1994). La teoría matemática de los gases diluidos . Springer.
65. Schrödinger, Erwin (1926). "Una teoría ondulatoria de la mecánica de átomos y moléculas". Physical Review . 28 (6): 1049–1070. Bibcode :1926PhRv...28.1049S. doi :10.1103/physrev.28.1049.
66. Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud (2004). "Movimientos de partículas en un medio absorbente con obstáculos duros y blandos". Análisis estocástico y aplicaciones . 22 (5): 1175–1207. doi :10.1081/SAP-200026444. S2CID  4494495.
67. Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud; Jasra, Ajay (2006). "Muestreos secuenciales de Monte Carlo" (PDF) . Revista de la Royal Statistical Society, Serie B (Metodología estadística) . 68 (3): 411–436. arXiv : cond-mat/0212648 . doi :10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x. S2CID  12074789.
68. Lelièvre, Tony; Rousset, Mathias; Stoltz, Gabriel (2007). "Cálculo de diferencias de energía libre a través de dinámica estocástica de no equilibrio: el caso de coordenadas de reacción". J. Comput. Phys . 222 (2): 624–643. arXiv : cond-mat/0603426 . Bibcode :2007JCoPh.222..624L. doi :10.1016/j.jcp.2006.08.003. S2CID  27265236.
69. Lelièvre, Tony; Rousset, Mathias; Stoltz, Gabriel (2010). "Cálculos de energía libre: una perspectiva matemática". Imperial College Press : 472.
70. Caron, F.; Del Moral, P.; Pace, M.; Vo, B.-N. (2011). "Sobre la estabilidad y la aproximación de flujos de distribución ramificados, con aplicaciones al filtrado no lineal de objetivos múltiples". Análisis estocástico y aplicaciones . 29 (6): 951–997. arXiv : 1009.1845 . doi :10.1080/07362994.2011.598797. ISSN  0736-2994. S2CID  303252.
71. Dynkin, Eugène, B. (1994). Introducción a los procesos de ramificación con valores medidos . Serie de monografías CRM. pág. 134. ISBN 978-0-8218-0269-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
72. Zoia, Andrea; Dumonteil, Eric; Mazzolo, Alain (2012). "Fórmulas discretas de Feynman-Kac para paseos aleatorios ramificados". EPL . 98 (40012): 40012. arXiv : 1202.2811 . Bibcode :2012EL.....9840012Z. doi :10.1209/0295-5075/98/40012. S2CID  119125770.
73. Caron, François; Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud; Pace, Michele (2011). "Aproximaciones de partículas de una clase de flujos de distribución ramificados que surgen en el seguimiento de múltiples objetivos" (PDF) . SIAM J. Control Optim. : 1766–1792. arXiv : 1012.5360 . doi :10.1137/100788987. S2CID  6899555.
74. Pitman, Jim; Fitzsimmons, Patrick, J. (1999). "Fórmula del momento de Kac y fórmula de Feynman–Kac para funcionales aditivos de un proceso de Markov". Procesos estocásticos y sus aplicaciones . 79 (1): 117–134. doi : 10.1016/S0304-4149(98)00081-7 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
75. Arendt, Wolfgang; Batty, Charles, JK (1993). "Semigrupos de absorción y condiciones de contorno de Dirichlet" (PDF) . Math. Ann . 295 : 427–448. doi :10.1007/bf01444895. S2CID  14021993.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
76. Lant, Timothy; Thieme, Horst (2007). "Perturbación de las funciones de transición y una fórmula de Feynman-Kac para la incorporación de la mortalidad". Positividad . 11 (2): 299–318. doi :10.1007/s11117-006-2044-8. S2CID  54520042.
77. Takeda, Masayoshi (2008). "Algunos temas relacionados con la calibrabilidad de los funcionales de Feynman-Kac" (PDF) . RIMS Kokyuroku Bessatsu . B6 : 221–236.
78. Yaglom, Isaak (1947). "Ciertos teoremas límite de la teoría de los procesos de ramificación". Dokl. Akad. Nauk SSSR . 56 : 795–798.
79. Del Moral, Pierre; Micló, Laurent (2002). "Sobre la estabilidad del semigrupo no lineal del tipo Feynman-Kac" (PDF) . Annales de la Facultad de Ciencias de Toulouse . 11 (2): 135-175. doi :10.5802/afst.1021.
80. Kallel, Leila; Naudts, Bart; Rogers, Alex (8 de mayo de 2001). Aspectos teóricos de la computación evolutiva . Springer, Berlín, Nueva York; Serie de computación natural. pág. 497. ISBN. 978-3540673965.
81. Del Moral, Pierre; Kallel, Leila; Rowe, Juan (2001). "Modelado de algoritmos genéticos con sistemas de partículas que interactúan". Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones . 8 (2): 19–77. CiteSeerX 10.1.1.87.7330 . doi : 10.15517/rmta.v8i2.201. 
82. Del Moral, Pierre; Guionnet, Alice (2001). "Sobre la estabilidad de los procesos interactuantes con aplicaciones a algoritmos genéticos y de filtrado". Annales de l'Institut Henri Poincaré . 37 (2): 155–194. Bibcode :2001AIHPB..37..155D. doi :10.1016/S0246-0203(00)01064-5.
83. Aumann, Robert John (1964). "Mercados con un continuo de comerciantes". Econometrica . 32 (1–2): 39–50. doi :10.2307/1913732. JSTOR  1913732.
84. Jovanovic, Boyan; Rosenthal, Robert W. (1988). "Juegos secuenciales anónimos". Revista de Economía Matemática . 17 (1): 77–87. doi :10.1016/0304-4068(88)90029-8.
85. Huang, Minyi.Y; Malhame, Roland P.; Caines, Peter E. (2006). "Juegos dinámicos estocásticos de gran población: sistemas McKean-Vlasov de bucle cerrado y el principio de equivalencia de certeza de Nash". Comunicaciones en información y sistemas . 6 (3): 221–252. doi : 10.4310/CIS.2006.v6.n3.a5 .
86. Maynard Smith, John (1982). Evolución y teoría de juegos . Cambridge University Press, Cambridge.
87. Kolokoltsov, Vassili; Li, Jiajie; Yang, Wei (2011). "Juegos de campo medio y procesos no lineales de Markov". arXiv : 1112.3744v2 [math.PR].
88. Lasry, Jean Michel; Lions, Pierre Louis (2007). "Juegos de campo promedio". Japanese J. Math . 2 (1): 229–260. doi :10.1007/s11537-007-0657-8. S2CID  1963678.
89. Carmona, René; Fouque, Jean Pierre; Sun, Li-Hsien (2014). "Juegos de campo medio y riesgo sistémico". Communications in Mathematical Sciences . arXiv : 1308.2172 . Bibcode :2013arXiv1308.2172C.
90. Budhiraja, Amarjit; Del Moral, Pierre; Rubenthaler, Sylvain (2013). "Agentes markovianos de tiempo discreto que interactúan a través de un potencial". ESAIM Probability & Statistics . 17 : 614–634. arXiv : 1106.3306 . doi :10.1051/ps/2012014. S2CID  28058111.
91. Aumann, Robert (1964). "Mercados con un continuo de comerciantes" (PDF) . Econometrica . 32 (1–2): 39–50. doi :10.2307/1913732. JSTOR  1913732.
92. Del Moral, Pierre; Lézaud, Pascal (2006). Interpretación de probabilidades de eventos raros mediante partículas que interactúan y se ramifican (PDF) (Sistemas híbridos estocásticos: teoría y aplicaciones críticas de seguridad, eds. H. Blom y J. Lygeros.). Springer, Berlín. págs. 277–323.
93. Crisan, Dan; Del Moral, Pierre; Lyons, Terry (1998). "Filtrado discreto mediante sistemas de partículas ramificadas e interactuantes" (PDF) . Procesos de Markov y campos relacionados . 5 (3): 293–318.
94. Crisan, Dan; Del Moral, Pierre; Lyons, Terry (1998). "Aproximaciones de la ecuación de Kushner Stratonovitch para sistemas de partículas en interacción" (PDF) . Avances en probabilidad aplicada . 31 (3): 819–838. doi :10.1239/aap/1029955206. hdl :10068/56073. S2CID  121888859.
95. Pace, Michele; Del Moral, Pierre (2013). "Filtros PHD de campo medio basados ​​en el flujo Feynman-Kac generalizado". IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing . 7 (3): 484–495. Bibcode :2013ISTSP...7..484P. doi :10.1109/JSTSP.2013.2250909. S2CID  15906417.
96. Cappe, O.; Moulines, E.; Ryden, T. (2005). Inferencia en modelos ocultos de Markov . Springer.
97. Liu, J. (2001). Estrategias de Monte Carlo en computación científica . Springer.
98. Doucet, A. (2001). de Freitas, JFG; Gordon, J. (eds.). Métodos secuenciales de Monte Carlo en la práctica . Springer.
99. Botev, ZI; Kroese, DP (2008). "Simulación eficiente de Monte Carlo mediante el método de división generalizado". Metodología y computación en probabilidad aplicada . 10 (4): 471–505. CiteSeerX 10.1.1.399.7912 . doi :10.1007/s11009-008-9073-7. S2CID  1147040. 
100. Botev, ZI; Kroese, DP (2012). "Simulación eficiente de Monte Carlo mediante el método de división generalizado". Estadística y computación . 22 (1): 1–16. doi :10.1007/s11222-010-9201-4. S2CID  14970946.
101. Cérou, Frédéric; Del Moral, Pierre; Furón, Teddy; Guyader, Arnaud (2012). "Monte Carlo secuencial para estimación de eventos raros" (PDF) . Estadística y Computación . 22 (3): 795–808. doi :10.1007/s11222-011-9231-6. S2CID  16097360.

Enlaces externos

• Modelos de Feynman-Kac y sistemas de partículas interactuantes, aspectos teóricos y una lista de dominios de aplicación de los métodos de partículas de Feynman-Kac
• Recursos sobre el método Monte Carlo secuencial y filtros de partículas
• Recursos sobre sistemas de partículas en interacción
• QMC en Cambridge y en todo el mundo, información general sobre Quantum Monte Carlo
• Paquete de software EVOLVER para optimización estocástica mediante algoritmos genéticos
• Programa CASINO Quantum Monte Carlo desarrollado por el grupo de Teoría de la Materia Condensada del Laboratorio Cavendish en Cambridge
• Biips es un software de programación probabilística para la inferencia bayesiana con sistemas de partículas en interacción.