Métodos de partículas de campo medio

Amplia clase de algoritmos de Monte Carlo de tipo interactivo

Los métodos de partículas de campo medio son una amplia clase de algoritmos de Monte Carlo de tipo interactivo para simular a partir de una secuencia de distribuciones de probabilidad que satisfacen una ecuación de evolución no lineal. ^{[1] [2] [3] [4]} Estos flujos de medidas de probabilidad siempre se pueden interpretar como las distribuciones de los estados aleatorios de un proceso de Markov cuyas probabilidades de transición dependen de las distribuciones de los estados aleatorios actuales. ^{[1] [2]} Una forma natural de simular estos sofisticados procesos de Markov no lineales es muestrear una gran cantidad de copias del proceso, reemplazando en la ecuación de evolución las distribuciones desconocidas de los estados aleatorios por las medidas empíricas muestreadas . A diferencia de los métodos tradicionales de Monte Carlo y Monte Carlo de cadena de Markov, estas técnicas de partículas de campo medio se basan en muestras interactuantes secuenciales . La terminología campo medio refleja el hecho de que cada una de las muestras (también conocidas como partículas, individuos, caminantes, agentes, criaturas o fenotipos) interactúa con las medidas empíricas del proceso. Cuando el tamaño del sistema tiende a infinito, estas medidas empíricas aleatorias convergen a la distribución determinista de los estados aleatorios de la cadena de Markov no lineal, de modo que la interacción estadística entre partículas se desvanece. En otras palabras, a partir de una configuración caótica basada en copias independientes del estado inicial del modelo de cadena de Markov no lineal, el caos se propaga en cualquier horizonte temporal a medida que el tamaño del sistema tiende a infinito; es decir, los bloques finitos de partículas se reducen a copias independientes del proceso de Markov no lineal. Este resultado se denomina propiedad de propagación del caos. ^{[5] [6] [7]} La ​​terminología "propagación del caos" se originó con el trabajo de Mark Kac en 1976 sobre un modelo cinético de gas de campo medio en colisión. ^[8]

Historia

La teoría de modelos de partículas interactuantes de campo medio ciertamente había comenzado a mediados de la década de 1960, con el trabajo de Henry P. McKean Jr. sobre las interpretaciones de Markov de una clase de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas no lineales que surgieron en la mecánica de fluidos. ^{[5] [9]} Los fundamentos matemáticos de estas clases de modelos fueron desarrollados desde mediados de la década de 1980 hasta mediados de la década de 1990 por varios matemáticos, entre ellos Werner Braun, Klaus Hepp, ^[10] Karl Oelschläger, ^{[11] [12] [13]} Gérard Ben Arous y Marc Brunaud, ^[14] Donald Dawson, Jean Vaillancourt ^[15] y Jürgen Gärtner, ^{[16] [17]} Christian Léonard, ^[18] Sylvie Méléard , Sylvie Roelly , ^[6] Alain-Sol Sznitman ^{[7] [19]} e Hiroshi Tanaka ^[20] para modelos de tipo difusión; F. Alberto Grünbaum, ^[21] Tokuzo Shiga, Hiroshi Tanaka, ^[22] Sylvie Méléard y Carl Graham ^{[23] [24] [25]} para clases generales de procesos de difusión por salto en interacción.

También citamos un artículo pionero anterior de Theodore E. Harris y Herman Kahn , publicado en 1951, que utiliza métodos genéticos de campo medio pero similares a los heurísticos para estimar las energías de transmisión de partículas. ^[26] Los métodos de partículas de tipo genético de campo medio también se utilizan como algoritmos de búsqueda natural heurísticos (también conocidos como metaheurísticos ) en la computación evolutiva. Los orígenes de estas técnicas computacionales de campo medio se pueden rastrear hasta 1950 y 1954 con el trabajo de Alan Turing sobre máquinas de aprendizaje de selección por mutación de tipo genético ^[27] y los artículos de Nils Aall Barricelli en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey . ^{[28] [29]} El genetista australiano Alex Fraser también publicó en 1957 una serie de artículos sobre la simulación de tipo genético de la selección artificial de organismos. ^[30]

Los métodos de Monte Carlo cuántico , y más específicamente los métodos de Monte Carlo de difusión, también se pueden interpretar como una aproximación de partículas de campo medio de las integrales de trayectoria de Feynman-Kac. ^{[3] [4] [31] [32] [33] [34] [35]} Los orígenes de los métodos de Monte Carlo cuántico a menudo se atribuyen a Enrico Fermi y Robert Richtmyer, quienes desarrollaron en 1948 una interpretación de partículas de campo medio de las reacciones en cadena de neutrones, [ ^36] pero el primer algoritmo de partículas de tipo heurístico y genético (también conocido como métodos de Monte Carlo remuestreados o de reconfiguración) para estimar las energías del estado fundamental de los sistemas cuánticos (en modelos de matriz reducida) se debe a Jack H. Hetherington en 1984 ^[35] En química molecular, el uso de métodos de partículas de tipo heurístico genético (también conocidos como estrategias de poda y enriquecimiento) se remonta a 1955 con el trabajo seminal de Marshall, N. Rosenbluth y Arianna, W. Rosenbluth. ^[37]

Los primeros artículos pioneros sobre las aplicaciones de estos métodos de partículas similares a heurísticas en problemas de filtrado no lineal fueron los estudios independientes de Neil Gordon, David Salmon y Adrian Smith (filtro bootstrap), ^[38] Genshiro Kitagawa (filtro de Monte Carlo), ^[39] y el de Himilcon Carvalho, Pierre Del Moral, André Monin y Gérard Salut ^[40] publicado en la década de 1990. El término "filtros de partículas" interactuantes fue acuñado por primera vez en 1996 por Del Moral. ^[41] Los filtros de partículas también fueron desarrollados en el procesamiento de señales a principios de 1989-1992 por P. Del Moral, JC Noyer, G. Rigal y G. Salut en el LAAS-CNRS en una serie de informes de investigación restringidos y clasificados con STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), la empresa de TI DIGILOG y el LAAS-CNRS (el Laboratorio de Análisis y Arquitectura de Sistemas) sobre problemas de procesamiento de señales RADAR/SONAR y GPS. ^{[42] [43] [44] [45] [46] [47]}

Los fundamentos y el primer análisis riguroso sobre la convergencia de los modelos de tipo genético y los métodos de partículas Feynman-Kac de campo medio se deben a Pierre Del Moral ^{[48] [49]} en 1996. Los métodos de partículas de tipo ramificado con tamaños de población variables también fueron desarrollados a finales de los años 1990 por Dan Crisan, Jessica Gaines y Terry Lyons, ^{[50] [51] [52]} y por Dan Crisan, Pierre Del Moral y Terry Lyons. ^[53] Los primeros resultados de convergencia uniforme con respecto al parámetro de tiempo para modelos de partículas de campo medio fueron desarrollados a finales de los años 1990 por Pierre Del Moral y Alice Guionnet ^{[54] [55]} para procesos de tipo salto interactuantes, y por Florent Malrieu para procesos de tipo difusión no lineal. ^[56]

Las nuevas clases de técnicas de simulación de partículas de campo medio para problemas de integración de trayectorias de Feynman-Kac incluyen modelos basados ​​en árboles genealógicos, ^{[2] [3] [57]} modelos de partículas hacia atrás, ^{[2] [58]} modelos de partículas de campo medio adaptativos, ^[59] modelos de partículas de tipo isla, ^{[60] [61]} y métodos de Monte Carlo de cadena de Markov de partículas ^{[62] [63]}

Aplicaciones

En física , y más particularmente en mecánica estadística , estas ecuaciones de evolución no lineal se utilizan a menudo para describir el comportamiento estadístico de partículas microscópicas interactuantes en un fluido o en alguna materia condensada. En este contexto, la evolución aleatoria de un fluido virtual o una partícula de gas se representa mediante procesos de difusión de McKean-Vlasov , sistemas de reacción-difusión o procesos de colisión de tipo Boltzmann . ^{[11] [12] [13] [25] [64]} Como su nombre indica, el modelo de partículas de campo medio representa el comportamiento colectivo de partículas microscópicas que interactúan débilmente con sus medidas de ocupación. El comportamiento macroscópico de estos sistemas de partículas de muchos cuerpos se encapsula en el modelo límite obtenido cuando el tamaño de la población tiende a infinito. Las ecuaciones de Boltzmann representan la evolución macroscópica de partículas en colisión en gases enrarecidos, mientras que las difusiones de McKean-Vlasov representan el comportamiento macroscópico de partículas de fluidos y gases granulares.

En física computacional y más específicamente en mecánica cuántica , las energías del estado fundamental de los sistemas cuánticos están asociadas con la parte superior del espectro de los operadores de Schrödinger. La ecuación de Schrödinger es la versión de mecánica cuántica de la segunda ley de movimiento de Newton de la mecánica clásica (la masa por la aceleración es la suma de las fuerzas). Esta ecuación representa la evolución de la función de onda (también conocida como estado cuántico) de algún sistema físico, incluidos los sistemas moleculares, atómicos o subatómicos, así como los sistemas macroscópicos como el universo. ^[65] La solución de la ecuación de Schrödinger de tiempo imaginario (también conocida como ecuación del calor) está dada por una distribución de Feynman-Kac asociada con un proceso de Markov de evolución libre (a menudo representado por movimientos brownianos) en el conjunto de configuraciones electrónicas o macromoleculares y alguna función de energía potencial. El comportamiento a largo plazo de estos semigrupos no lineales está relacionado con los valores propios superiores y las energías del estado fundamental de los operadores de Schrödinger. ^{[3] [32] [33] [34] [35] [66]} La interpretación del campo medio de tipo genético de estos modelos de Feynman-Kac se denominan métodos de Monte Carlo de remuestreo o de Monte Carlo de difusión. Estos algoritmos evolutivos de tipo ramificado se basan en transiciones de mutación y selección. Durante la transición de mutación, los caminantes evolucionan aleatoriamente e independientemente en un paisaje de energía potencial en configuraciones de partículas. El proceso de selección de campo medio (también conocido como teletransportación cuántica, reconfiguración de población, transición remuestreada) está asociado con una función de aptitud que refleja la absorción de partículas en un pozo de energía. Las configuraciones con baja energía relativa tienen más probabilidades de duplicarse. En química molecular y física estadística, los métodos de partículas de campo medio también se utilizan para muestrear medidas de Boltzmann-Gibbs asociadas con algún programa de enfriamiento y para calcular sus constantes de normalización (también conocidas como energías libres o funciones de partición). ^{[2] [67] [68] [69]}

En biología computacional , y más específicamente en genética de poblaciones , los procesos de ramificación espacial con mecanismos de selección y migración competitivos también pueden representarse mediante modelos de dinámica de poblaciones de tipo genético de campo medio . ^{[4] [70]} Los primeros momentos de las medidas de ocupación de un proceso de ramificación espacial están dados por flujos de distribución de Feynman-Kac. ^{[71] [72]} La aproximación de tipo genético de campo medio de estos flujos ofrece una interpretación de tamaño de población fijo de estos procesos de ramificación. ^{[2] [3] [73]} Las probabilidades de extinción pueden interpretarse como probabilidades de absorción de algún proceso de Markov que evoluciona en algún entorno absorbente. Estos modelos de absorción están representados por modelos de Feynman-Kac. ^{[74] [75] [76] [77]} El comportamiento a largo plazo de estos procesos condicionado a la no extinción puede expresarse de forma equivalente mediante medidas cuasi-invariantes , límites de Yaglom , ^[78] o medidas invariantes de flujos de Feynman-Kac normalizados no lineales. ^{[2] [3] [54] [55] [66] [79]}

En ciencias de la computación , y más particularmente en inteligencia artificial, estos algoritmos genéticos de tipo campo medio se utilizan como heurísticas de búsqueda aleatoria que imitan el proceso de evolución para generar soluciones útiles a problemas de optimización complejos. ^{[80] [81] [82]} Estos algoritmos de búsqueda estocástica pertenecen a la clase de modelos evolutivos . La idea es propagar una población de soluciones candidatas factibles utilizando mecanismos de mutación y selección. La interacción del campo medio entre los individuos está encapsulada en los mecanismos de selección y cruce.

En las teorías de los juegos de campo medio y de los sistemas de interacción de múltiples agentes , los procesos de partículas de campo medio se utilizan para representar el comportamiento colectivo de sistemas complejos con individuos que interactúan. ^{[83] [84] [85] [86] [ 87 ] [88] [89] [90]} En este contexto, la interacción de campo medio se encapsula en el proceso de decisión de los agentes que interactúan. El modelo limitante a medida que el número de agentes tiende al infinito a veces se denomina modelo continuo de agentes ^[91]

En teoría de la información , y más específicamente en aprendizaje automático estadístico y procesamiento de señales , los métodos de partículas de campo medio se utilizan para muestrear secuencialmente de las distribuciones condicionales de algún proceso aleatorio con respecto a una secuencia de observaciones o una cascada de eventos raros . ^{[2] [3] [73] [92]} En problemas de filtrado no lineal de tiempo discreto , las distribuciones condicionales de los estados aleatorios de una señal dadas observaciones parciales y ruidosas satisfacen una ecuación de evolución de predicción-actualización no lineal. El paso de actualización está dado por la regla de Bayes , y el paso de predicción es una ecuación de transporte de Chapman-Kolmogorov . La interpretación de partículas de campo medio de estas ecuaciones de filtrado no lineal es un algoritmo de partículas de mutación-selección de tipo genético ^[48] Durante el paso de mutación, las partículas evolucionan independientemente unas de otras de acuerdo con las transiciones de Markov de la señal. Durante la etapa de selección, las partículas con valores de probabilidad relativa pequeños se eliminan, mientras que las que tienen valores relativos altos se multiplican. ^{[93] [94]} Estas técnicas de partículas de campo medio también se utilizan para resolver problemas de seguimiento de múltiples objetos y, más específicamente, para estimar medidas de asociación ^{[2] [73] [95]}

La versión de tiempo continuo de estos modelos de partículas son interpretaciones de partículas de tipo Moran de campo medio de las ecuaciones de evolución de filtro óptimo robusto o la ecuación diferencial parcial estocástica de Kushner-Stratonotich. ^{[4] [31] [94]} Estos algoritmos de partículas de campo medio de tipo genético también denominados filtros de partículas y métodos de Monte Carlo secuencial se utilizan de forma extensa y rutinaria en la investigación de operaciones y la inferencia estadística. ^{[96] [97] [98]} El término "filtros de partículas" fue acuñado por primera vez en 1996 por Del Moral, ^[41] y el término "Monte Carlo secuencial" por Liu y Chen en 1998. Las técnicas de simulación de subconjuntos y división de Monte Carlo ^[99] son ​​casos particulares de esquemas de partículas genéticas y modelos de partículas de Feynman-Kac equipados con transiciones de mutación de Monte Carlo de cadena de Markov ^{[67] [100] [101]}

Ilustraciones del método de simulación del campo medio

Modelos de espacio de estados contables

Para motivar el algoritmo de simulación de campo medio, comenzamos con S, un espacio de estados finito o contable , y dejamos que P ( S ) denote el conjunto de todas las medidas de probabilidad en S . Consideremos una secuencia de distribuciones de probabilidad en S que satisfacen una ecuación de evolución: ${\displaystyle (\eta _{0},\eta _{1},\cdots )}$

para algunas asignaciones, posiblemente no lineales. Estas distribuciones se dan mediante vectores. ${\displaystyle \Phi :P(S)\to P(S).}$

${\displaystyle \eta _{n}=(\eta _{n}(x))_{x\in S},}$

que satisfacen:

${\displaystyle 0\leqslant \eta _{n}(x)\leqslant 1,\qquad \sum \nolimits _{x\in S}\eta _{n}(x)=1.}$

Por lo tanto, es una aplicación del símplex unitario en sí mismo, donde s representa la cardinalidad del conjunto S. Cuando s es demasiado grande, la solución de la ecuación ( 1 ) es intratable o computacionalmente muy costosa. Una forma natural de aproximar estas ecuaciones de evolución es reducir secuencialmente el espacio de estados utilizando un modelo de partículas de campo medio. Uno de los esquemas de simulación de campo medio más simples está definido por la cadena de Markov. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (s-1)}$

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

en el espacio del producto , comenzando con N variables aleatorias independientes con distribución de probabilidad y transiciones elementales ${\displaystyle S^{N}}$ ${\displaystyle \eta _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right|\xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}\Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)\left(y^{i}\right),}$

con la medida empírica

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}1_{\xi _{n}^{(N,j)}}}$

donde es la función indicadora del estado x . ${\displaystyle 1_{x}}$

En otras palabras, dado que las muestras son variables aleatorias independientes con distribución de probabilidad . La lógica detrás de esta técnica de simulación de campo medio es la siguiente: esperamos que cuando es una buena aproximación de , entonces es una aproximación de . Por lo tanto, dado que es la medida empírica de N variables aleatorias condicionalmente independientes con distribución de probabilidad común , esperamos que sea una buena aproximación de . ${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}}$ ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N)}}$ ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$ ${\displaystyle \eta _{n}^{N}}$ ${\displaystyle \eta _{n}}$ ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$ ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}\right)=\eta _{n+1}}$ ${\displaystyle \eta _{n+1}^{N}}$ ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$ ${\displaystyle \eta _{n+1}^{N}}$ ${\displaystyle \eta _{n+1}}$

Otra estrategia es encontrar una colección

${\displaystyle K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}}$

de matrices estocásticas indexadas por tales que ${\displaystyle \eta _{n}\in P(S)}$

Esta fórmula nos permite interpretar la secuencia como las distribuciones de probabilidad de los estados aleatorios del modelo de cadena de Markov no lineal con transiciones elementales. ${\displaystyle (\eta _{0},\eta _{1},\cdots )}$ ${\displaystyle \left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.{\overline {X}}_{n+1}=y\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)=K_{\eta _{n}}(x,y),\qquad {\text{Law}}({\overline {X}}_{n})=\eta _{n}.}$

Una colección de transiciones de Markov que satisfacen la ecuación ( 1 ) se denomina interpretación McKean de la secuencia de medidas . La interpretación de la partícula del campo medio de ( 2 ) ahora está definida por la cadena de Markov. ${\displaystyle K_{\eta _{n}}}$ ${\displaystyle \eta _{n}}$

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

en el espacio del producto , comenzando con N copias aleatorias independientes de y transiciones elementales ${\displaystyle S^{N}}$ ${\displaystyle X_{0}}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right|\xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y^{i}\right),}$

con la medida empírica

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}1_{\xi _{n}^{(N,j)}}}$

Bajo algunas condiciones de regularidad débil ^[2] en la aplicación para cualquier función , tenemos la convergencia casi segura ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle f:S\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)}$

Estos procesos de Markov no lineales y su interpretación de partículas de campo medio se pueden extender a modelos no homogéneos en el tiempo en espacios de estados medibles generales . ^[2]

Modelos de Feynman-Kac

Para ilustrar los modelos abstractos presentados anteriormente, consideramos una matriz estocástica y una función . Asociamos a estos dos objetos la función de mapeo ${\displaystyle M=(M(x,y))_{x,y\in S}}$ ${\displaystyle G:S\to (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Phi :P(S)\to P(S)\\(\eta _{n}(x))_{x\in S}\mapsto \left(\Phi (\eta _{n})(y)\right)_{y\in S}\end{cases}}\qquad \Phi (\eta _{n})(y)=\sum _{x\in S}\Psi _{G}(\eta _{n})(x)M(x,y)}$

y las medidas de Boltzmann-Gibbs definidas por ${\displaystyle \Psi _{G}(\eta _{n})(x)}$

${\displaystyle \Psi _{G}(\eta _{n})(x)={\frac {\eta _{n}(x)G(x)}{\sum _{z\in S}\eta _{n}(z)G(z)}}.}$

Denotamos por la colección de matrices estocásticas indexadas por dadas por ${\displaystyle K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}}$ ${\displaystyle \eta _{n}\in P(S)}$

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,y)=\epsilon G(x)M(x,y)+(1-\epsilon G(x))\Phi (\eta _{n})(y)}$

para algún parámetro . Se comprueba fácilmente que se satisface la ecuación ( 2 ). Además, también podemos demostrar (cf. por ejemplo ^[3] ) que la solución de ( 1 ) viene dada por la fórmula de Feynman-Kac ${\displaystyle \epsilon \in [0,1]}$

${\displaystyle \eta _{n}(x)={\frac {E\left(1_{x}(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}},}$

con una cadena de Markov con distribución inicial y transición de Markov M . ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \eta _{0}}$

Para cualquier función que tengamos ${\displaystyle f:S\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \eta _{n}(f):=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)={\frac {E\left(f(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}}}$

Si es la función unitaria y , entonces tenemos ${\displaystyle G(x)=1}$ ${\displaystyle \epsilon =1}$

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,y)=M(x,y)=\mathbf {P} \left(\left.X_{n+1}=y\right|X_{n}=x\right),\qquad \eta _{n}(x)=E\left(1_{x}(X_{n})\right)=\mathbf {P} (X_{n}=x).}$

Y la ecuación ( 2 ) se reduce a la ecuación de Chapman-Kolmogorov

${\displaystyle \eta _{n+1}(y)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)M(x,y)\qquad \Leftrightarrow \qquad \mathbf {P} \left(X_{n+1}=y\right)=\sum _{x\in S}\mathbf {P} (X_{n+1}=y|X_{n}=x)\mathbf {P} \left(X_{n}=x\right)}$

La interpretación de partículas de campo medio de este modelo de Feynman-Kac se define muestreando secuencialmente N variables aleatorias condicionalmente independientes con distribución de probabilidad. ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}}$

${\displaystyle K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)=\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)+\left(1-\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)\sum _{j=1}^{N}{\frac {G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}{\sum _{k=1}^{N}G\left(\xi _{n}^{(N,k)}\right)}}M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right)}$

En otras palabras, con una probabilidad la partícula evoluciona a un nuevo estado elegido aleatoriamente con la distribución de probabilidad ; de lo contrario, salta a una nueva ubicación elegida aleatoriamente con una probabilidad proporcional a y evoluciona a un nuevo estado elegido aleatoriamente con la distribución de probabilidad Si es la función unitaria y , la interacción entre la partícula se desvanece y el modelo de partícula se reduce a una secuencia de copias independientes de la cadena de Markov . Cuando el modelo de partícula de campo medio descrito anteriormente se reduce a un algoritmo genético de selección de mutación simple con función de aptitud G y transición de mutación M . Estos modelos de cadena de Markov no lineales y su interpretación de partícula de campo medio se pueden extender a modelos no homogéneos en el tiempo en espacios de estados medibles generales (incluidos estados de transición, espacios de trayectorias y espacios de excursión aleatoria) y modelos de tiempo continuo. ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle \epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)}$ ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,i)}}$ ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=y}$ ${\displaystyle M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)}$ ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,i)}}$ ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,j)}}$ ${\displaystyle G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}$ ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=y}$ ${\displaystyle M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right).}$ ${\displaystyle G(x)=1}$ ${\displaystyle \epsilon =1}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \epsilon =0}$

Modelos de espacio de estados no lineales gaussianos

Consideramos una secuencia de variables aleatorias de valor real definidas secuencialmente por las ecuaciones ${\displaystyle \left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)}$

con una colección de variables aleatorias gaussianas estándar independientes , un parámetro positivo σ , algunas funciones y un estado aleatorio inicial gaussiano estándar . Sea la distribución de probabilidad del estado aleatorio ; es decir, para cualquier función medible acotada f , tenemos ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle a,b,c:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ,}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$ ${\displaystyle \eta _{n}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

${\displaystyle E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(x)\eta _{n}(dx),}$

con

${\displaystyle \mathbf {P} \left({\overline {X}}_{n}\in dx\right)=\eta _{n}(dx)}$

La integral es la integral de Lebesgue y dx representa una vecindad infinitesimal del estado x . La transición de Markov de la cadena se da para cualquier función medible acotada f mediante la fórmula

${\displaystyle E\left(\left.f\left({\overline {X}}_{n+1}\right)\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)=\int _{\mathbf {R} }K_{\eta _{n}}(x,dy)f(y),}$

con

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,dy)=\mathbf {P} \left(\left.{\overline {X}}_{n+1}\in dy\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {\left\{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(y-\left[b(x)\int _{\mathbf {R} }a(z)\eta _{n}(dz)+c(x)\right]\right)^{2}\right\}}dy}$

Utilizando la propiedad de la torre de las expectativas condicionales demostramos que las distribuciones de probabilidad satisfacen la ecuación no lineal ${\displaystyle \eta _{n}}$

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\eta _{n+1}(dy)f(y)=\int _{\mathbf {R} }\left[\int _{\mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)\right]f(y)}$

para cualquier función medible acotada f . Esta ecuación a veces se escribe en la forma más sintética

${\displaystyle \eta _{n+1}=\Phi \left(\eta _{n}\right)=\eta _{n}K_{\eta _{n}}\quad \Leftrightarrow \quad \eta _{n+1}(dy)=\left(\eta _{n}K_{\eta _{n}}\right)(dy)=\int _{x\in \mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)}$

La interpretación de partículas de campo medio de este modelo está definida por la cadena de Markov.

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

en el espacio del producto por ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+c\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+\sigma W_{n}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N}$

dónde

${\displaystyle \xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left(W_{n}^{1},\cdots ,W_{n}^{N}\right)}$

representan N copias independientes de y respectivamente. Para los modelos regulares (por ejemplo, para las funciones Lipschitz acotadas a , b , c ) tenemos la convergencia casi segura ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$ ${\displaystyle W_{n};n\geqslant 1,}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}(dy),}$

con la medida empírica

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{(N,i)}}}$

para cualquier función medible acotada f (cf. por ejemplo ^[2] ). En la representación anterior, representa la medida de Dirac en el estado x . ${\displaystyle \delta _{x}}$

Modelos de campo medio de tiempo continuo

Consideramos un movimiento browniano estándar (también conocido como proceso de Wiener ) evaluado en una secuencia de malla temporal con un paso de tiempo dado . Elegimos en la ecuación ( 1 ), reemplazamos y σ por y , y escribimos en lugar de los valores de los estados aleatorios evaluados en el paso de tiempo. Recordando que son variables aleatorias gaussianas centradas independientes con varianza, la ecuación resultante se puede reescribir en la siguiente forma ${\displaystyle {\overline {W}}_{t_{n}}}$ ${\displaystyle t_{0}=0<t_{1}<\cdots <t_{n}<\cdots }$ ${\displaystyle t_{n}-t_{n-1}=h}$ ${\displaystyle c(x)=x}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle b(x)\times h}$ ${\displaystyle \sigma \times {\sqrt {h}}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{t_{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}.}$ ${\displaystyle \left({\overline {W}}_{t_{n+1}}-{\overline {W}}_{t_{n}}\right)}$ ${\displaystyle t_{n}-t_{n-1}=h,}$

Cuando h → 0, la ecuación anterior converge al proceso de difusión no lineal.

${\displaystyle d{\overline {X}}_{t}=E\left(a\left({\overline {X}}_{t}\right)\right)b({\overline {X}}_{t})dt+\sigma d{\overline {W}}_{t}}$

El modelo de tiempo continuo de campo medio asociado con estas difusiones no lineales es el proceso de difusión (interactuante) en el espacio del producto definido por ${\displaystyle \xi _{t}^{(N)}=\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

${\displaystyle d\xi _{t}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)+\sigma d{\overline {W}}_{t}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N}$

dónde

${\displaystyle \xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left({\overline {W}}_{t}^{1},\cdots ,{\overline {W}}_{t}^{N}\right)}$

son N copias independientes de y Para los modelos regulares (por ejemplo, para funciones de Lipschitz acotadas a , b ) tenemos la convergencia casi segura ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$ ${\displaystyle {\overline {W}}_{t}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{t})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}(dy)}$,

con y la medida empírica ${\displaystyle \eta _{t}={\text{Law}}\left({\overline {X}}_{t}\right),}$

${\displaystyle \eta _{t}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\delta _{\xi _{t}^{(N,i)}}}$

para cualquier función medible acotada f (cf. por ejemplo, ^[7] ). Estos procesos no lineales de Markov y su interpretación de partículas de campo medio se pueden extender a procesos de difusión por saltos interactivos ^{[1] [2] [23] [25]}

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Enlaces externos

• Modelos de Feynman-Kac y sistemas de partículas interactuantes, aspectos teóricos y una lista de dominios de aplicación de los métodos de partículas de Feynman-Kac
• Recursos sobre el método Monte Carlo secuencial y filtros de partículas
• Recursos sobre sistemas de partículas en interacción
• QMC en Cambridge y en todo el mundo, información general sobre Quantum Monte Carlo
• Paquete de software EVOLVER para optimización estocástica mediante algoritmos genéticos
• Programa CASINO Quantum Monte Carlo desarrollado por el grupo de Teoría de la Materia Condensada del Laboratorio Cavendish en Cambridge
• Biips es un software de programación probabilística para la inferencia bayesiana con sistemas de partículas en interacción.