La prueba por agotamiento , también conocida como prueba por casos , prueba por análisis de casos , inducción completa o método de fuerza bruta , es un método de prueba matemática en el que la afirmación que se va a demostrar se divide en un número finito de casos o conjuntos de casos equivalentes, y donde se comprueba cada tipo de caso para ver si la proposición en cuestión se cumple. [1] Este es un método de prueba directa . Una prueba por agotamiento normalmente contiene dos etapas:
La prevalencia de las computadoras digitales ha aumentado enormemente la conveniencia de utilizar el método de agotamiento (por ejemplo, la primera prueba asistida por computadora del teorema de los cuatro colores en 1976), aunque estos enfoques también pueden ser cuestionados sobre la base de la elegancia matemática . Los sistemas expertos se pueden utilizar para llegar a respuestas a muchas de las preguntas que se les plantean. En teoría, el método de prueba por agotamiento se puede utilizar siempre que el número de casos sea finito. Sin embargo, debido a que la mayoría de los conjuntos matemáticos son infinitos, este método rara vez se utiliza para derivar resultados matemáticos generales. [2]
En el isomorfismo de Curry-Howard , la prueba por agotamiento y el análisis de casos están relacionados con la correspondencia de patrones al estilo ML . [ cita requerida ]
La prueba por agotamiento se puede utilizar para demostrar que si un número entero es un cubo perfecto , entonces debe ser un múltiplo de 9, 1 más que un múltiplo de 9 o 1 menos que un múltiplo de 9. [3]
Demostración :
Cada cubo perfecto es el cubo de algún entero n , donde n es un múltiplo de 3, 1 más que un múltiplo de 3 o 1 menos que un múltiplo de 3. Por lo tanto, estos tres casos son exhaustivos:
Los matemáticos prefieren evitar las demostraciones por agotamiento con un gran número de casos, que se consideran poco elegantes . Un ejemplo de por qué tales demostraciones pueden resultar poco elegantes es observar las siguientes demostraciones de que todos los Juegos Olímpicos de Verano modernos se celebran en años que son divisibles por 4:
Prueba : Los primeros Juegos Olímpicos de verano modernos se celebraron en 1896 y, a partir de entonces, cada 4 años (sin tener en cuenta situaciones excepcionales como cuando el calendario de los juegos se vio interrumpido por la Primera Guerra Mundial, la Segunda Guerra Mundial y la pandemia de COVID-19 ). Como 1896 = 474 × 4 es divisible por 4, los próximos Juegos Olímpicos se celebrarían en el año 474 × 4 + 4 = (474 + 1) × 4, que también es divisible por cuatro, y así sucesivamente (esta es una prueba por inducción matemática ). Por lo tanto, la afirmación queda demostrada.
La afirmación también se puede probar por agotamiento enumerando todos los años en los que se celebraron los Juegos Olímpicos de verano y comprobando que cada uno de ellos puede dividirse por cuatro. Con un total de 28 Juegos Olímpicos de verano hasta 2016, esta es una prueba por agotamiento con 28 casos.
Además de ser menos elegante, la prueba por agotamiento también requerirá un caso adicional cada vez que se celebren unos nuevos Juegos Olímpicos de verano. Esto debe contrastarse con la prueba por inducción matemática, que demuestra la afirmación indefinidamente en el futuro.
No existe un límite superior para el número de casos permitidos en una demostración por agotamiento. A veces, solo hay dos o tres casos. A veces, puede haber miles o incluso millones. Por ejemplo, resolver rigurosamente un problema de final de ajedrez puede implicar considerar una gran cantidad de posiciones posibles en el árbol de juego de ese problema.
La primera demostración del teorema de los cuatro colores fue una demostración por agotamiento con 1834 casos. [4] Esta demostración fue controvertida porque la mayoría de los casos se comprobaron mediante un programa informático, no a mano. La demostración más corta conocida del teorema de los cuatro colores todavía tiene más de 600 casos.
En general, la probabilidad de un error en toda la prueba aumenta con el número de casos. Una prueba con un gran número de casos deja la impresión de que el teorema solo es verdadero por coincidencia, y no debido a algún principio o conexión subyacente. Otros tipos de pruebas, como la prueba por inducción ( inducción matemática ), se consideran más elegantes . Sin embargo, hay algunos teoremas importantes para los que no se ha encontrado otro método de prueba, como
{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )De las 1834 configuraciones en 𝓤