Tamiz grande

Método matemático

El tamiz grande es un método (o familia de métodos e ideas relacionadas) en la teoría analítica de números . Es un tipo de tamiz en el que se eliminan hasta la mitad de todas las clases de residuos de números, a diferencia de los tamices pequeños como el tamiz de Selberg en el que solo se eliminan unas pocas clases de residuos. El método se ha mejorado aún más con el tamiz más grande que elimina arbitrariamente muchas clases de residuos. ^[1]

Nombre

Su nombre proviene de su aplicación original: dado un conjunto tal que los elementos de S tienen prohibido estar en un conjunto A _p ⊂ Z / p Z módulo todo primo p , ¿cuán grande puede ser S ? Aquí se piensa que A _p es grande, es decir, al menos tan grande como una constante por p ; si este no es el caso, hablamos de una criba pequeña . ${\displaystyle S\subset \{1,\ldots ,N\}}$

Historia

La historia temprana del tamiz grande se remonta al trabajo de Yu. B. Linnik , en 1941, trabajando en el problema del no residuo cuadrático mínimo . Posteriormente, Alfréd Rényi trabajó en él, utilizando métodos de probabilidad. Solo dos décadas después, después de una gran cantidad de contribuciones de otros, se formuló el tamiz grande de una manera más definitiva. Esto sucedió a principios de la década de 1960, en el trabajo independiente de Klaus Roth y Enrico Bombieri . También fue en esa época cuando se entendió mejor la conexión con el principio de dualidad. A mediados de la década de 1960, se demostró el teorema de Bombieri-Vinogradov como una aplicación importante de los tamices grandes utilizando estimaciones de valores medios de caracteres de Dirichlet . A fines de la década de 1960 y principios de la de 1970, Patrick X. Gallagher simplificó muchos de los ingredientes y estimaciones clave . ^[2]

Desarrollo

Los métodos de tamiz grande se han desarrollado lo suficiente como para que sean aplicables también a situaciones de tamiz pequeño. Algo se considera comúnmente relacionado con el tamiz grande no necesariamente en términos de si está relacionado con el tipo de situación descrita anteriormente, sino, más bien, si involucra uno de los dos métodos de prueba tradicionalmente utilizados para obtener un resultado de tamiz grande:

Desigualdad aproximada de Plancherel

Si un conjunto S está mal distribuido módulo p (en virtud, por ejemplo, de estar excluido de las clases de congruencia A _p ), entonces los coeficientes de Fourier de la función característica f _p del conjunto S  mod  p son, en promedio, grandes. Estos coeficientes pueden elevarse a valores de la transformada de Fourier de la función característica f del conjunto S (es decir, ${\displaystyle {\widehat {f_{p}}}(a)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)={\widehat {f_{p}}}(a)}$).

Al acotar las derivadas, podemos ver que debe ser grande, en promedio, para todos los x números racionales cercanos de la forma a / p . Grande aquí significa "una constante relativamente grande multiplicada por | S |". Dado que ${\displaystyle {\widehat {f}}(x)}$

${\displaystyle |f|_{2}={\sqrt {|S|}},}$

Obtenemos una contradicción con la identidad de Plancherel.

${\displaystyle |{\widehat {f}}|_{2}=|f|_{2}}$

a menos que | S | sea pequeño. (En la práctica, para optimizar los límites, hoy en día la gente modifica la identidad de Plancherel en una igualdad en lugar de derivadas de límites como se indicó anteriormente).

Principio de dualidad

Se puede demostrar fácilmente un resultado fuerte de tamiz grande observando el siguiente hecho básico del análisis funcional: la norma de un operador lineal (es decir,

${\displaystyle \sup _{v}|Av|_{W}/|v|_{V},\,}$

donde A es un operador de un espacio lineal V a un espacio lineal W ) es igual a la norma de su adjunto, es decir,

${\displaystyle \sup _{w}|A^{*}w|_{V}^{*}/|w|_{W}^{*}}$.

Este principio ha llegado a adquirir el nombre de "tamiz grande" en parte de la literatura matemática.

También es posible derivar el tamiz grande a partir de majorantes en el estilo de Selberg (ver Selberg, Collected Works , vol II, Lectures on sieves).

Véase también

• Teorema de Bombieri-Vinogradov
• Tamiz más grande

Referencias

1. Gallagher, Patrick (1971). "Un tamiz más grande". Acta Arithmetica . 18 : 77–81.
2. Tenenbaum, Gérald (2015). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 163. American Mathematical Society. págs. 102-104. ISBN. 9780821898543.

• "Gran tamiz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram . Introducción a los métodos de tamizado y sus aplicaciones . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 66. Cambridge University Press . págs. 135–155. ISBN 0-521-61275-6.Zbl 1121.11063  .
• Davenport, Harold (2000). Teoría de números multiplicativos . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 74. Revisado y con un prefacio de Hugh L. Montgomery (3.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN. 0-387-95097-4.Zbl1002.11001  .​
• Friedlander, Juan ; Iwaniec, Henryk (2010). Ópera de Cribro . Publicaciones del Coloquio AMS. ISBN 978-0-8218-4970-5.Zbl 1226.11099  .
• Hooley, Christopher (1976). Aplicaciones de los métodos de criba a la teoría de números . Cambridge University Press. pp. 17–20. ISBN 0-521-20915-3.
• Kowalski, Emmanuel (2008). El tamiz grande y sus aplicaciones . Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88851-6.
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press. págs. 62–73. ISBN 0-521-41261-7.