En topografía , la triangulación es el proceso de determinar la ubicación de un punto midiendo únicamente los ángulos que forman puntos conocidos en cada extremo de una línea base fija mediante trigonometría , en lugar de medir distancias al punto directamente como en la trilateración . El punto puede entonces fijarse como el tercer punto de un triángulo con un lado conocido y dos ángulos conocidos.
La triangulación también puede referirse al levantamiento preciso de sistemas de triángulos muy grandes, llamados redes de triangulación . Esto surgió del trabajo de Willebrord Snell en 1615-17, quien mostró cómo un punto podía ubicarse a partir de los ángulos subtendidos desde tres puntos conocidos, pero medidos en el nuevo punto desconocido en lugar de los puntos previamente fijados, un problema llamado resección . El error de levantamiento se minimiza si primero se establece una malla de triángulos a la escala apropiada más grande. Luego, todos los puntos dentro de los triángulos pueden ubicarse con precisión con referencia a ella. Estos métodos de triangulación se utilizaron para el levantamiento preciso de tierras a gran escala hasta el surgimiento de los sistemas globales de navegación por satélite en la década de 1980.
La triangulación se puede utilizar para encontrar la posición del barco cuando se conocen las posiciones de A y B. Un observador en A mide el ángulo α , mientras que el observador en B mide β .
La posición de cualquier vértice de un triángulo se puede calcular si se conoce la posición de un lado y dos ángulos. Las siguientes fórmulas son estrictamente correctas sólo para una superficie plana. Si se debe tener en cuenta la curvatura de la Tierra, se debe utilizar la trigonometría esférica .
Siendo la distancia entre A y B se obtiene:
Usando las identidades trigonométricas tan α = sin α / cos α y sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, esto equivale a:
por lo tanto:
A partir de esto, es fácil determinar la distancia del punto desconocido desde cualquiera de los puntos de observación, sus desplazamientos norte/sur y este/oeste desde el punto de observación y, finalmente, sus coordenadas completas.
En la actualidad, la triangulación se utiliza para muchos fines, entre ellos la topografía , la navegación , la metrología , la astrometría , la visión binocular , la cohetería modelo y la orientación de armas .
En el campo, los métodos de triangulación aparentemente no fueron utilizados por los agrimensores, especialistas romanos , sino que se introdujeron en la España medieval a través de tratados árabes sobre el astrolabio , como el de Ibn al-Saffar (fallecido en 1035). [1] Abu Rayhan Biruni (fallecido en 1048) también introdujo técnicas de triangulación para medir el tamaño de la Tierra y las distancias entre varios lugares. [2] Las técnicas romanas simplificadas parecen haber coexistido con técnicas más sofisticadas utilizadas por los agrimensores profesionales. Pero era raro que tales métodos se tradujeran al latín (un manual de geometría, la Geomatria incerti auctoris del siglo XI , es una rara excepción), y tales técnicas parecen haberse filtrado solo lentamente en el resto de Europa. [1] El mayor conocimiento y uso de tales técnicas en España puede estar atestiguado por el bastón de Jacob medieval , utilizado específicamente para medir ángulos, que data de alrededor de 1300; y la aparición de líneas de costa estudiadas con precisión en los mapas portulanos , el más antiguo de los cuales que sobrevive data de 1296.
En tierra, el cartógrafo Gemma Frisius propuso utilizar la triangulación para ubicar con precisión lugares lejanos para la elaboración de mapas en su panfleto de 1533 Libellus de Locorum describendorum ratione ( Libro sobre una manera de describir lugares ), que encuadernó como apéndice en una nueva edición de la exitosa Cosmographica de Peter Apian de 1524. Esto se volvió muy influyente y la técnica se extendió por Alemania, Austria y los Países Bajos. El astrónomo Tycho Brahe aplicó el método en Escandinavia, completando una triangulación detallada en 1579 de la isla de Hven , donde estaba ubicado su observatorio, con referencia a puntos de referencia clave en ambos lados del Øresund , produciendo un plano de la isla en 1584. [3] En Inglaterra, el método de Frisius se incluyó en el creciente número de libros sobre topografía que aparecieron a partir de mediados de siglo, incluidos Cosmographical Glasse (1559) de William Cuningham , Treatise of Measuring All Kinds of Lands (1562) de Valentine Leigh, Rules of Navigation (1571) de William Bourne , Geometrical Practise named Pantometria (1571) de Thomas Digges y Surveyor's Dialogue (1607) de John Norden . Se ha sugerido que Christopher Saxton puede haber usado una triangulación aproximada para colocar características en sus mapas de condados de la década de 1570; Pero otros suponen que, habiendo obtenido orientaciones aproximadas de las características desde puntos estratégicos clave, pudo haber estimado las distancias hasta ellas simplemente mediante conjeturas. [4]
El uso sistemático moderno de las redes de triangulación se debe al trabajo del matemático holandés Willebrord Snell , quien en 1615 midió la distancia entre Alkmaar y Breda , aproximadamente 116 kilómetros (72 millas), utilizando una cadena de cuadrángulos que contenían 33 triángulos en total. Snell subestimó la distancia en un 3,5%. Las dos ciudades estaban separadas por un grado en el meridiano , por lo que a partir de su medición pudo calcular un valor para la circunferencia de la Tierra, una hazaña celebrada en el título de su libro Eratosthenes Batavus ( El Eratóstenes holandés ), publicado en 1617. Snell calculó cómo se podían corregir las fórmulas planas para tener en cuenta la curvatura de la Tierra. También mostró cómo resectar , o calcular, la posición de un punto dentro de un triángulo utilizando los ángulos trazados entre los vértices en el punto desconocido. Estos se podían medir con mucha más precisión que las orientaciones de los vértices, que dependían de una brújula. Esto estableció la idea clave de inspeccionar primero una red primaria a gran escala de puntos de control y luego ubicar puntos subsidiarios secundarios más tarde, dentro de esa red primaria.
Los métodos de Snell fueron retomados por Jean Picard , quien en 1669-70 midió un grado de latitud a lo largo del meridiano de París utilizando una cadena de trece triángulos que se extendían hacia el norte desde París hasta la torre del reloj de Sourdon , cerca de Amiens . Gracias a las mejoras en los instrumentos y la precisión, la de Picard se considera la primera medición razonablemente precisa del radio de la Tierra. Durante el siglo siguiente, este trabajo fue ampliado de manera notable por la familia Cassini: entre 1683 y 1718, Jean-Dominique Cassini y su hijo Jacques Cassini midieron todo el meridiano de París desde Dunkerque hasta Perpiñán ; y entre 1733 y 1740, Jacques y su hijo César Cassini emprendieron la primera triangulación de todo el país, incluido un nuevo levantamiento del arco del meridiano , lo que llevó a la publicación en 1745 del primer mapa de Francia construido sobre principios rigurosos.
Los métodos de triangulación ya estaban bien establecidos para la cartografía local, pero fue recién hacia fines del siglo XVIII que otros países comenzaron a establecer redes de triangulación detalladas para cartografiar países enteros. La Triangulación Principal de Gran Bretaña fue iniciada por el Ordnance Survey en 1783, aunque no se completó hasta 1853; y el Gran Estudio Trigonométrico de la India, que finalmente nombró y cartografió el Monte Everest y los otros picos del Himalaya, se inició en 1801. Para el estado francés napoleónico, la triangulación francesa fue extendida por Jean-Joseph Tranchot a la Renania alemana a partir de 1801, y posteriormente completada después de 1815 por el general prusiano Karl von Müffling . Mientras tanto, al matemático Carl Friedrich Gauss se le encomendó, entre 1821 y 1825, la triangulación del reino de Hannover (levantamiento topográfico gaussiano ), en la que aplicó el método de mínimos cuadrados para encontrar la solución más adecuada a problemas de grandes sistemas de ecuaciones simultáneas dadas más medidas del mundo real que incógnitas.
Hoy en día, las redes de triangulación a gran escala para posicionamiento han sido reemplazadas en gran medida por los sistemas globales de navegación por satélite establecidos desde la década de 1980, pero muchos de los puntos de control de los estudios anteriores aún sobreviven como características históricas valiosas en el paisaje, como los pilares de triangulación de hormigón establecidos para la retriangulación de Gran Bretaña (1936-1962), o los puntos de triangulación establecidos para el Arco Geodético de Struve (1816-1855), ahora programado como Patrimonio de la Humanidad por la UNESCO .
