Método de longitud de transferencia

Método de longitud de transferencia (también conocido como medición de línea de transmisión)

El Método de Longitud de Transferencia o "Modelo de Línea de Transmisión" (ambos abreviados como TLM) es una técnica utilizada en física e ingeniería de semiconductores para determinar la resistividad de contacto específica entre un metal y un semiconductor. ^{[1] [2] [3]} TLM se desarrolló porque con la actual contracción de los dispositivos en microelectrónica, la contribución relativa de la resistencia de contacto en las interfaces metal-semiconductor en un dispositivo ya no podía despreciarse y era un método de medición preciso para determinar la Se requería una resistividad de contacto específica. ^[4]

Descripción general

El objetivo del método de longitud de transferencia (TLM) es la determinación de la resistividad de contacto específica de una unión metal-semiconductor . Para crear una unión metal-semiconductor se deposita una película metálica sobre la superficie de un sustrato semiconductor. El TLM se utiliza generalmente para determinar la resistividad de contacto específica cuando la unión metal-semiconductor muestra un comportamiento óhmico . En este caso, la resistividad de contacto se puede definir como la diferencia de voltaje a través de la capa interfacial entre el metal depositado y el sustrato semiconductor dividida por la densidad de corriente que se define como la corriente dividida por el área interfacial a través de la cual pasa la corriente: ^{[5 ]} ${\displaystyle \rho _{C}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$ ${\displaystyle \Delta V}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \rho _{C}={\frac {\Delta V}{J}}={\frac {(V_{Semiconductor}-V_{Metal})A}{I}}}$

En esta definición de resistividad de contacto específica se refiere al valor de voltaje justo debajo de la capa interfacial metal-semiconductor, mientras que representa el valor de voltaje justo encima de la capa interfacial metal-semiconductor. Hay dos métodos diferentes para realizar mediciones TLM que se presentan en el resto de esta sección. Uno se llama método de longitud de transferencia simple mientras que el otro se llama método de longitud de transferencia circular (c-TLM). ^[1] ${\displaystyle V_{Semiconductor}}$ ${\displaystyle V_{Metal}}$

TLM

Descripción gráfica del método de longitud de transferencia (TLM)

Para determinar la resistividad de contacto específica, se deposita una serie de almohadillas metálicas rectangulares sobre la superficie de un sustrato semiconductor, como se muestra en la imagen de la derecha. La definición de las almohadillas rectangulares se puede realizar mediante fotolitografía, mientras que la deposición del metal se puede realizar mediante deposición por pulverización catódica , evaporación térmica o deposición no electrolítica . ^{[6] [7]} ${\displaystyle \rho _{C}}$

En la imagen de la derecha, la distancia entre las almohadillas aumenta de abajo hacia arriba. Por lo tanto, cuando se mide la resistencia entre almohadillas adyacentes, la resistencia total aumenta en consecuencia, como se indica en el gráfico debajo de la representación de las almohadillas metálicas. En este gráfico, la abscisa representa la distancia entre dos almohadillas metálicas adyacentes, mientras que los círculos representan los valores de resistencia medidos. La resistividad total se puede separar en un componente debido al sustrato semiconductor descubierto y un componente que corresponde a la caída de voltaje en dos áreas cubiertas de metal. El primer componente se puede describir con la fórmula , mientras que representa la resistencia de la lámina del sustrato semiconductor y el ancho de las almohadillas metálicas. El otro componente que contribuye a la resistencia total se denota porque cuando se caracterizan dos pastillas adyacentes se deben considerar dos áreas metalizadas idénticas. Esto significa que la resistencia total se puede escribir en la siguiente forma funcional, con la distancia entre las almohadillas como variable independiente: ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle R_{Tot}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R_{Tot}}$ ${\displaystyle {\frac {R_{S}}{Z}}d_{i}}$ ${\displaystyle R_{S}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 2R_{C}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{Tot}={\frac {R_{S}}{Z}}d+2R_{C}}$

Si se desprecia la contribución de la propia capa metálica, se produce una caída de tensión en la interfaz metal-semiconductor, así como en el sustrato semiconductor situado debajo. Esto significa que durante una medición de resistencia total, el voltaje cae exponencialmente (y por lo tanto también la densidad de corriente) en las regiones metálicas (consulte también la sección teórica para una explicación más detallada). ^[8] Como se deduce en la siguiente sección de este artículo, la mayor parte de la caída de voltaje debajo de una almohadilla metálica tiene lugar dentro de la longitud que se define como longitud de transferencia . ^{[1] [4] [8]} Físicamente hablando, esto significa que la parte principal del área debajo de un contacto metálico a través del cual la corriente ingresa al metal a través de la interfaz metal-semiconductor está dada por la longitud de transferencia multiplicada por el ancho de la almohadilla . Esta situación también se muestra en la figura de esta sección, donde la distribución de la densidad de corriente debajo de dos almohadillas metálicas adyacentes durante una medición de resistencia se muestra con un color verde. En definitiva, esto significa que (si la longitud de la almohadilla metálica es mucho mayor que la longitud de transferencia) se puede establecer una relación entre y : ^{[3] [4]} ${\displaystyle R_{C}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\rho _{C}}{R_{S}}}}}$ ${\displaystyle L_{T}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle R_{C}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$

${\displaystyle R_{C}\approx {\frac {\rho _{C}}{ZL_{T}}}={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}}$

Dado que se puede extraer de un ajuste lineal a través de los puntos de datos y se puede obtener a partir de la intersección y del ajuste lineal, es posible una estimación. ${\displaystyle R_{S}}$ ${\displaystyle R_{C}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$

TLM circular

Estructura de almohadilla para mediciones de líneas de transmisión circulares (c-TLM)

El método TLM original descrito anteriormente tiene el inconveniente de que la corriente no fluye simplemente dentro del área dada por los tiempos . Esto significa que la distribución de densidad de corriente también se extiende a los lados verticales de las almohadillas metálicas en la figura de la sección TLM, un fenómeno que no se considera en la derivación de la fórmula que describe . ^{[4] [1]} Para tener en cuenta este problema geométrico, en lugar de almohadillas metálicas rectangulares, se utilizan almohadillas circulares con radio que están separadas de un recubrimiento metálico holoédrico por una distancia (ver figura a la derecha). Cuando se mide la resistencia total entre la almohadilla circular y el revestimiento holoédrico, tres componentes distinguibles contribuyen al valor medido, a saber, la resistencia del espacio y las resistencias de contacto en el extremo interior y exterior del área del espacio ( y ). Esto se expresa en la siguiente fórmula: ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle R_{Tot}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle d=r_{o}-r_{i}}$ ${\displaystyle R_{Gap}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{o}}$

${\displaystyle R_{Tot}=R_{Gap}+R_{i}+R_{o}}$

Como se derivará en la sección de teoría, una expresión para que permita la extracción de datos experimentales siempre que sea mucho mayor que : ${\displaystyle R_{Tot}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle L_{T}}$

${\displaystyle R_{Tot}\approx {\frac {R_{S}}{2\pi }}\left[\ln \left({\frac {r_{o}}{r_{o}-d}}\right)+L_{T}\left({\frac {1}{r_{o}-d}}+{\frac {1}{r_{o}}}\right)\right]}$

Similar al método TLM y se puede obtener con un análisis de regresión lineal múltiple utilizando pares de datos de y . ^[1] ${\displaystyle R_{S}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$ ${\displaystyle R_{Tot}(d)}$ ${\displaystyle d}$

Teoría

TLM

Red de resistencias para derivar las ecuaciones diferenciales de TLM y un gráfico de la caída de voltaje en dos paneles de medición adyacentes

En la última sección se introdujo el principio básico de TLM y ahora se brindan más detalles sobre los antecedentes teóricos. El objetivo principal aquí es encontrar una expresión que relacione la cantidad medible con la resistividad de contacto específica que se pretende determinar con TLM. Por lo tanto, en la imagen de la derecha se ilustra una red de resistencias que describe la situación cuando se aplica un voltaje entre dos almohadillas metálicas adyacentes. La resistencia ( ) en el medio tiene en cuenta la parte que no está cubierta con metal mientras que el resto describe la situación de las almohadillas metálicas. Los elementos de resistencia horizontales ( ) representan la resistencia debida al sustrato semiconductor y los elementos de resistencia verticales ( ) tienen en cuenta la resistencia debida a la capa interfacial metal-semiconductor. En esta descripción, pares de elementos de resistencia horizontales y verticales describen la situación dentro de un elemento de volumen de longitud en un área de almohadilla metálica. Esta metodología también se utiliza para la derivación de las ecuaciones del telegrafista que se utilizan para describir el comportamiento de las líneas de transmisión . Debido a esta analogía, la técnica de medición descrita en este artículo a menudo se denomina método de línea de transmisión. ^[1] ${\displaystyle R_{C}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$ ${\displaystyle {\frac {R_{S}d_{i}}{Z}}}$ ${\displaystyle {\frac {R_{S}\Delta x}{Z}}}$ ${\displaystyle {\frac {\rho _{C}}{Z\Delta x}}}$ ${\displaystyle \Delta x}$

Al utilizar las leyes del circuito de Kirchhoff, se obtienen las siguientes expresiones para el voltaje y la corriente dentro del elemento de longitud considerado anteriormente (léase cuadrado en la figura de esta sección) para una situación de estado estable donde tanto el voltaje como la corriente no son función de tiempo :

${\displaystyle V(x)={\frac {R_{S}\Delta xI(x)}{Z}}+V(x+\Delta x)}$

${\displaystyle I(x)={\frac {Z\Delta xV(x)}{\rho _{C}}}+I(x+\Delta x)}$

Tomando el límite se obtienen las dos ecuaciones diferenciales siguientes: ^[9] ${\displaystyle \Delta x\to 0}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {R_{S}}{Z}}I(x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {Z}{\rho _{C}}}V(x)}$

Estas dos ecuaciones diferenciales acopladas se pueden separar diferenciando una respecto de tal que la otra pueda enchufarse. Al hacerlo finalmente se obtienen dos ecuaciones diferenciales que no dependen una de otra: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}V2}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}V(x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}I}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}I(x)}$

Ambas ecuaciones diferenciales tienen soluciones de la forma donde y son constantes que deben determinarse utilizando condiciones de contorno apropiadas y está dada por . Se pueden obtener dos condiciones límite definiendo el voltaje y la corriente al comienzo de un área de almohadilla metálica como y respectivamente. De manera formal, esto significa que y cuando se utilizan las configuraciones en la figura de esta sección. Al utilizar el par de ecuaciones diferenciales acopladas anteriores, se obtienen dos condiciones de contorno más, a saber, y, que es la inversa de la longitud de transferencia definida previamente . Finalmente, se obtienen dos ecuaciones que describen el voltaje y la corriente en función de la distancia utilizando las cuatro condiciones de contorno establecidas: ^[4] ${\displaystyle f(x)=Acosh(\alpha x)+Bsinh(\alpha x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\sqrt {R_{S}/\rho _{C}}}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle V(x=0)=V_{0}}$ ${\displaystyle I(x=0)=I_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V(x=0)}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {R_{S}}{Z}}I_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I(x=0)}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {R_{S}}{Z}}V_{0}}$ ${\displaystyle L_{T}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle V(x)=V_{O}\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}-{\frac {I_{0}{\sqrt {R_{s}\rho _{C}}}}{Z}}\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}}$

${\displaystyle I(x)=I_{O}\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}-{\frac {V_{0}Z}{\sqrt {R_{s}\rho _{C}}}}\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}}$

Cuando se realiza una medición, se puede suponer que no fluye corriente en el extremo opuesto de cada almohadilla metálica, lo que a su vez significa que . Esto permite un mayor refinamiento de la ecuación que describe el voltaje cuando se usa la relación : ${\displaystyle I(x=w)=0}$ ${\displaystyle \sinh(x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y}$

${\displaystyle V(x)={\frac {I_{O}{\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}}{Z}}{\frac {\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}(w-x)\right)}}{\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}}}$

La última ecuación describe la caída de voltaje en la región cubierta por una almohadilla metálica (compárese con la figura de esta sección). Al darse cuenta de que el valor de la resistencia se puede expresar con y estableciendo la última fórmula, se puede encontrar una expresión que se relaciona con la resistividad de contacto específica : ${\displaystyle R_{C}}$ ${\displaystyle {\frac {V_{0}}{I_{0}}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle R_{C}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$

${\displaystyle R_{C}={\frac {V_{0}}{I_{0}}}={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}{\frac {\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}{\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}}={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}\coth {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}$

La última ecuación permite el cálculo utilizando datos experimentales. Dado que llega a 1 a medida que aumenta y es significativamente mayor que la duración de la transferencia, a menudo se utiliza la estimación en lugar de la igualdad estrictamente derivada. Esto es idéntico a lo que se indicó en la sección de descripción general. ^{[3] [8] [4]} En resumen, el voltaje y la corriente en función de la distancia en la región de una almohadilla metálica se han obtenido utilizando un modelo que es similar a las ecuaciones del telégrafo. Esto permitió encontrar una expresión que permite calcular la resistividad de contacto específica de la unión metal-semiconductor utilizando las cantidades encontradas experimentalmente y el ancho de una almohadilla metálica. ${\displaystyle \rho _{C}}$ ${\displaystyle \coth {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L_{T}={\sqrt {\frac {\rho _{C}}{R_{S}}}}}$ ${\displaystyle R_{C}\approx {\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$ ${\displaystyle R_{C}}$ ${\displaystyle R_{S}}$ ${\displaystyle Z}$

TLM circular

Red de resistencias infinitesimales para la derivación de las ecuaciones diferenciales de c-TLM

La idea física de derivar ecuaciones diferenciales para el método c-TLM es la misma que para TLM, pero se utilizan coordenadas polares en lugar de coordenadas cartesianas . Esto cambia la red de resistencias que describe el área cubierta de metal, como se puede ver en la figura de la derecha. Al igual que para TLM, al utilizar las leyes del circuito de Kirchhoff se obtienen dos ecuaciones diferenciales acopladas.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {R_{S}}{2\pi r}}I(r)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {2\pi r}{\rho _{C}}}V(r)}$

Cuando se elimina la corriente se obtiene una ecuación diferente para el voltaje: ^[10] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}-{\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}V=0}$

A continuación se proporciona una solución general a este tipo de ecuaciones diferenciales, donde y son constantes no especificadas y es . Las funciones y son funciones de Bessel modificadas de orden cero del primer y segundo tipo respectivamente. ^[11] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\sqrt {R_{C}/\rho _{C}}}}$ ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle K_{0}}$

${\displaystyle V(r)=AI_{0}(\alpha r)+BK_{0}(\alpha r)}$

Utilizando las ecuaciones diferenciales acopladas anteriores y las reglas de diferenciación para funciones de Bessel modificadas ( , ) ^[11] se puede obtener una expresión para la corriente. Las funciones y son funciones de Bessel de primer orden de primer y segundo tipo respectivamente. ${\displaystyle I_{0}'(x)=I_{1}(x)}$ ${\displaystyle K_{0}'(x)=-K_{1}(x)}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle K_{1}}$

${\displaystyle I(r)=-{\frac {2\pi r}{R_{S}}}\left[A\alpha I_{1}(\alpha r)-B\alpha K_{1}(\alpha r)\right]}$

Funciones de Bessel modificadas de primer tipo, I _α ( x ) , para α = 0, 1, 2, 3

Funciones de Bessel modificadas de segundo tipo, K _α ( x ) , para α = 0, 1, 2, 3

Ahora, después de haber obtenido las expresiones para la corriente y la tensión, es necesario encontrar las expresiones para las resistencias de contacto correspondientes a los límites interior y exterior del área de separación (compárese con la ilustración esquemática de la metalización de medición en la sección general). . La resistencia de contacto en el límite interior viene dada por y durante una medición, la corriente en el medio de la almohadilla metálica circular es cero ( ). Dado que la función de Bessel modificada tiende a infinito cuando tiende a cero (ver figuras a la derecha), la constante tiene que ser cero porque el voltaje no puede ser infinito. Teniendo esto en cuenta, la resistencia de contacto en el límite interior del área del espacio equivale a: ${\displaystyle R_{i}={\frac {V(r_{i})}{|I(r_{i})|}}}$ ${\displaystyle I(r=0)=0}$ ${\displaystyle K_{0}(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle R_{i}={\frac {V(r_{i})}{|I(r_{i})|}}={\frac {R_{S}}{2\pi r_{i}\alpha }}{\frac {I_{0}(\alpha r_{i})}{I_{1}(\alpha r_{i})}}}$

De manera similar, se puede encontrar una expresión para la resistencia de contacto en el límite exterior del área de separación cuando se reemplaza con (compárese con el dibujo en la sección general). Aquí también se puede dar una condición límite para la corriente, a saber . Esto significa que A tiene que ser cero porque la función tiende al infinito (ver figura a la derecha) cuando tiende al infinito. A su vez, esto significa que la resistencia de contacto en el límite exterior del área del espacio viene dada por: ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{o}}$ ${\displaystyle I(r=\infty )=0}$ ${\displaystyle I_{0}(r)}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle R_{o}={\frac {V(r_{o})}{|I(r_{o})|}}={\frac {R_{S}}{2\pi r_{o}\alpha }}{\frac {K_{0}(\alpha r_{o})}{K_{1}(\alpha r_{o})}}}$

La resistencia debida al área de separación misma se puede encontrar considerando la resistencia diferencial horizontal en la figura de esta sección e integrando desde a . Sumando , y se puede obtener una expresión para la resistencia total: ${\displaystyle R_{Gap}}$ ${\displaystyle {\frac {R_{S}dr}{2\pi r}}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{o}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{o}}$ ${\displaystyle R_{Gap}}$

${\displaystyle R_{Tot}={\frac {R_{S}}{2\pi }}\left[ln\left({\frac {r_{o}}{r_{i}}}\right)+{\frac {L_{T}}{r_{i}}}{\frac {I_{0}(r_{i}/L_{T})}{I_{1}(r_{i}/L_{T})}}+{\frac {L_{T}}{r_{o}}}{\frac {K_{0}(r_{o}/L_{T})}{K_{1}(r_{o}/L_{T})}}\right]}$

Cuando los radios exterior e interior son mucho mayores que la longitud de transferencia, los cocientes de las funciones de Bessel modificadas son aproximadamente uno. ^[1] Esto significa que cuando se sustituye con la misma fórmula dada en la sección general se encuentra, que se puede utilizar para extraer y a partir de datos experimentales: ${\displaystyle L_{T}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{o}-d}$ ${\displaystyle R_{Tot}}$ ${\displaystyle R_{S}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$

${\displaystyle R_{Tot}\approx {\frac {R_{S}}{2\pi }}\left[\ln \left({\frac {r_{o}}{r_{o}-d}}\right)+L_{T}\left({\frac {1}{r_{o}-d}}+{\frac {1}{r_{o}}}\right)\right]}$

Ejemplo práctico

Gráficos de corriente-voltaje correspondientes a la serie de mediciones c-TLM. La flecha verde indica un aumento del espacio entre espacios de 20 μm a 200 μm.

Gráfico de la resistencia total versus la longitud del espacio correspondiente a una serie de mediciones c-TLM. Los círculos representan los datos de medición mientras que la curva representa un ajuste según el texto.

En esta sección se presenta un ejemplo práctico de una medición c-TLM. Mediante la utilización de fotolitografía y deposición por pulverización catódica , se depositaron almohadillas metálicas de c-TLM sobre la superficie de una película delgada semiconductora. Los espacios entre las almohadillas c-TLM oscilaron entre 20 μm y 200 μm, mientras que se eligieron tamaños de paso de 20 μm. Para obtener valores para la resistencia total correspondiente a cada almohadilla c-TLM, se realizaron mediciones de corriente-voltaje en cada espacio. El gráfico de la izquierda muestra los datos de medición registrados, mientras que la flecha verde indica un aumento de la longitud del espacio. Las curvas son lineales (lo que demuestra que existe un contacto óhmico entre el metal y la capa semiconductora) y el valor de la resistencia total para cada almohadilla c-TLM se obtiene tomando la inversa de la pendiente .

Para la extracción de , y la resistividad de contacto específica, la ecuación obtenida para la resistencia total se reescribe de la siguiente manera, con , , y : ${\displaystyle L_{T}}$ ${\displaystyle R_{S}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$ ${\displaystyle R_{Tot}}$ ${\displaystyle A={\frac {R_{S}}{2\pi }}}$ ${\displaystyle g(d)=ln({\frac {r_{i}+d}{r_{i}}})}$ ${\displaystyle B={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{2\pi }}}$ ${\displaystyle h(d)={\frac {1}{r_{i}}}+{\frac {1}{r_{i}+d}}}$

${\displaystyle R_{Tot}(d)=Ag(d)+Bh(d)}$.

Esta reescritura se realizó para compactar la notación y también porque en este ejemplo particular el diámetro interior se mantuvo constante para cada pad c-TLM. Dado que se realizaron 10 mediciones, cada una de las cuales corresponde a una longitud de espacio diferente , se puede obtener un sistema de ecuaciones lineales, que se puede escribir en forma matricial - vectorial . ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle R_{Tot}}$ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R(d_{1})\\R(d_{2})\\\vdots \\R(d_{10})\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g(d_{1})&h(d_{1})\\g(d_{2})&h(d_{1})\\\vdots &\vdots \\g(d_{10})&h(d_{10})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon (d_{1})\\\epsilon (d_{2})\\\vdots \\\epsilon (d_{10})\end{bmatrix}}}$

El vector del lado izquierdo contiene los valores de las mediciones de resistencia , todos ellos presentan un error de medición . Por lo tanto, se suma un vector de error de medición al producto matriz-vector. Antes de continuar, la ecuación matriz-vector se escribe de una forma más compacta: ${\displaystyle R(d_{i})}$ ${\displaystyle \epsilon (d_{i})}$

${\displaystyle \mathbf {R} =X{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}+\mathbf {E} }$

El objetivo es encontrar valores de y tales que la norma euclidiana del vector de error sea mínima. Con esta premisa el vector de error debe ser normal al espacio columna de , lo que significa que . ^[12] Esto significa que la multiplicación de la ecuación matriz-vector con la matriz de transpuesta produce : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle X^{T}\mathbf {E} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}={(X^{T}X)}^{-1}X^{T}\mathbf {R} }$.

Dado que todos los componentes de se pueden calcular y los componentes de son proporcionados por las mediciones de resistencia, los coeficientes y se pueden calcular. Finalmente, a partir de los dos coeficientes, también se pueden calcular los valores de y la resistividad de contacto específica . Un gráfico a la izquierda muestra los valores de resistencia medidos en función de la longitud del espacio junto con la función de ajuste correspondiente a los coeficientes determinados y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle L_{T}}$ ${\displaystyle R_{S}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

El siguiente script GNU Octave corresponde a la serie de mediciones realizadas y también incluye los valores de resistencia obtenidos. Se crea un gráfico de los puntos de medición junto con la función de ajuste y también se calculan los valores de y la resistividad de contacto específica . ${\displaystyle L_{T}}$ ${\displaystyle R_{S}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$

%vectores que contienen los datos de medición obtenidos d  =  20 : 20 : 200 ;  #este vector contiene las longitudes de los espacios R_row  =  [ 112.258772 ,  125.071437 ,  130.619235 ,  138.959548 ,  139.110758 ,  148.420932 ,  148.474871 ,  160.83128 ,  0412 ,  167.614947 ]; R  =  transponer ( R_row );%Aquí se definen los vectores columna de X r_i  =  200 ; x1  =  transponer ( log (( r_i . + d ) / r_i )); x2  =  transponer ( 1. / ( r_i . + d )  +  1 / r_i );%Definir la matriz X X  =  [ x1 ,  x2 ];%Obtener los valores A y B beta  =  inv ( transponer ( X ) * X ) * transponer ( X ) * R ; A  =  beta ( 1 ); B  =  beta ( 2 );%Definir la función de ajuste d_fit  =  0 : 1 : 200 ; R_fit  =  A * log (( r_i . + d_fit ) / r_i )  +  B * ( 1. / ( r_i . + d_fit )  +  1 / r_i );% Trazar la función de ajuste y la dispersión de los valores de medición ( d , R ,  "r" ); esperar  ;​ trama ( d_fit , R_fit ); establecer ( gca , 'tamaño de fuente' , 14 ); xlabel ( 'Longitud del espacio [μm]' ); ylabel ( 'Resistencia total [Ohmios]' ); %Calcular las propiedades físicas R_S  =  A * 2 * pi ;  #dado en ohmios L_T  =  2 * pi * B / R_S ;  #dado en μm rho_c  =  ( R_S * ( L_T ) ^ 2 ) * 10 ^ ( - 8 );  #dado en ohmios*cm^2

Ver también

• Detección de cuatro terminales  : método de medición de la impedancia eléctrica
• Método de Van der Pauw  : una forma precisa de medir la resistencia y el voltaje Hall

Referencias

1. Cohen, SS; Gildenblatt, G Sh. (1986). Capítulo 4 - Estructuras de prueba para la caracterización de contactos óhmicos . VLSI Electronics Microstructure Science Volumen 13 Capítulo 4. Elsevier. ISBN 9780122341137.
2. Williams, Ralph (1990). "Métodos modernos de procesamiento de GaAs" . Casa Artech. ISBN 0890063435.
3. Schroder, Dieter K. (2006). Caracterización de dispositivos y materiales semiconductores . John Wiley e hijos. ISBN 0471739065.
4. Berger HH (junio de 1971). "Modelos de contactos para dispositivos planos". Electrónica de estado sólido . 15 (2): 145-158. doi :10.1016/0038-1101(72)90048-2.
5. Saraswat K. "Notas de conferencias EE311 Procesos avanzados de fabricación de circuitos integrados Universidad de Stanford" (PDF) . web.stanford.edu .
6. Porter L, Davis RF (mayo de 1995). "Una revisión crítica de los contactos rectificadores y óhmicos para carburo de silicio" (PDF) . Ciencia e Ingeniería de Materiales: B . 34 (2–3): 83–105. doi :10.1016/0921-5107(95)01276-1.
7. Braun S, Emre E, Raabe B, Hahn G (septiembre de 2010). Metalización no electrolítica de níquel y cobre: ​​formación de contactos sobre silicio cristalino y comportamiento del revestimiento de fondo en capas de silicio PECVD SiNx: H (PDF) . 25ª Conferencia y Exposición Europea de Energía Solar Fotovoltaica. V Conferencia Mundial sobre Conversión de Energía Fotovoltaica. Valencia, España. págs. 1892–1895. doi :10.4229/25thEUPVSEC2010-2CV.2.51.
8. Marlow GS, Murkund BD (1982). "Los efectos del tamaño de contacto y la resistencia del metal distinta de cero en la determinación de la resistencia de contacto específica". Electrónica de estado sólido . 25 (2): 91–84. Código Bib : 1982SSEle..25...91M. doi :10.1016/0038-1101(82)90036-3.
9. Peterson AF, Durgin GD (2009). Señales Transitorias en Líneas de Transmisión . Editores Morgan y Claypool. ISBN 9781598298253.
10. Reeves GK (1979). "Resistencia de contacto específica utilizando un modelo de línea de transmisión circular". Electrónica de estado sólido . 23 (5): 487–490. doi :10.1016/0038-1101(80)90086-6.
11. McLachlan, noroeste (1954). Funciones de Bessel para ingenieros . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 1124148620.
12. Strang, Gilbert (2016). Introducción al álgebra lineal (Quinta ed.). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. págs.128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC  956503593.

Otras lecturas

• Gary Tuttle, Departamento de Ingeniería Eléctrica e Informática, Universidad Estatal de Iowa. «Medidas de resistencia de contacto y TLM» (PDF) .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)