Técnica del diagrama de triángulo espacio-temporal.

En física y matemáticas , la técnica del diagrama triangular espacio-temporal (STTD) , también conocida como método de Smirnov de separación incompleta de variables , es el método directo en el dominio espacio-temporal para el movimiento ondulatorio electromagnético y escalar.

Etapas básicas

1. ( Electromagnética ) El sistema de ecuaciones de Maxwell se reduce a una PDE de segundo orden para las componentes del campo, o potenciales, o sus derivadas.
2. Las variables espaciales se separan mediante expansiones convenientes en series y/o transformaciones integrales, excepto una que permanece limitada a la variable de tiempo, lo que da como resultado una PDE de tipo hiperbólico .
3. La PDE hiperbólica resultante y las condiciones iniciales transformadas simultáneamente componen un problema que se resuelve utilizando la fórmula integral de Riemann-Volterra. Esto produce la solución genérica expresada mediante una integral doble sobre un dominio triangular en el espacio de tiempo de coordenadas acotadas. Luego, este dominio se reemplaza por uno más complicado pero más pequeño, en el que el integrante es esencialmente distinto de cero, encontrado usando un procedimiento estrictamente formalizado que involucra diagramas de triángulos espacio-temporales específicos (ver, por ejemplo, Refs. ^{[1] [2] [3]} ).
4. En la mayoría de los casos, las soluciones obtenidas, al multiplicarse por funciones conocidas de las variables previamente separadas, dan como resultado expresiones de un significado físico claro (modos de estado no estacionario). En muchos casos, sin embargo, se pueden encontrar soluciones más explícitas sumando las expansiones o haciendo la transformada integral inversa.

STTD versus técnica de la función de Green

La técnica STTD pertenece al segundo de los dos métodos principales para el tratamiento teórico de las ondas: el dominio de la frecuencia y el dominio del espacio-tiempo directo. El método mejor establecido para las ecuaciones descriptivas no homogéneas (relacionadas con la fuente) del movimiento ondulatorio se basa en la técnica de la función de Green. ^{[4] Para las circunstancias descritas en la Sección 6.4 y el Capítulo 14 de} Electrodinámica clásica de Jackson , ^[4] se puede reducir al cálculo del campo de ondas mediante potenciales retardados (en particular, los potenciales de Liénard-Wiechert ).

A pesar de cierta similitud entre los métodos de Green y Riemann-Volterra (en cierta literatura la función de Riemann se llama función de Riemann-Green ^[5] ), su aplicación a los problemas del movimiento ondulatorio da como resultado situaciones distintas:

• Las definiciones tanto de la función de Green como de la correspondiente solución de Green no son únicas ya que dejan espacio para la suma de soluciones arbitrarias de la ecuación homogénea; en algunas circunstancias, la elección particular de la función de Green y la solución final están definidas por condiciones de contorno o plausibilidad y admisibilidad física de las funciones de onda construidas. ^[6] La función de Riemann es una solución de la ecuación homogénea que además debe tomar un cierto valor en las características y por lo tanto se define de manera única.
• A diferencia del método de Green que proporciona una solución particular de la ecuación no homogénea , el método de Riemann-Volterra está relacionado con el problema correspondiente , que comprende la PDE y las condiciones iniciales,

^{[7] [8]} y fue la representación de Riemann-Volterra la que Smirnov utilizó en su Curso de Matemáticas Superiores para demostrar la unicidad de la solución al problema anterior (ver, ^[8] ítem 143).

• En el caso general, la fórmula de Green implica la integración en todo el dominio de variación de coordenadas y tiempo, mientras que la integración en la solución de Riemann-Volterra se lleva a cabo dentro de una región triangular limitada, asegurando la limitación del soporte de la solución .
• La causalidad de la (única) solución de Riemann-Volterra se proporciona automáticamente, sin necesidad de recurrir a consideraciones adicionales, como la naturaleza retardada del argumento, la propagación de ondas en cierta dirección, la elección específica de la ruta de integración, etc. (normalmente la solución descriptiva Las ecuaciones, como la ecuación de onda escalar clásica, poseen la simetría T. Son las condiciones iniciales asimétricas en el tiempo las que definen la flecha del tiempo a través de la limitación del dominio de integración en la fórmula de Riemann , ver más en ^[2] y. un ejemplo particular dado a continuación.) ${\displaystyle t>0}$
• La función de Green puede derivarse fácilmente del potencial de Liénard-Wiechert de una fuente puntual en movimiento, pero el cálculo concreto de la función de onda, que inevitablemente implica el análisis del argumento retardado, puede convertirse en una tarea bastante complicada a menos que se utilicen técnicas especiales, como el método paramétrico. , ^[9]

son invocados. El enfoque de Riemann-Volterra presenta dificultades iguales o incluso más serias, especialmente cuando se trata de fuentes de soporte acotado: aquí los límites reales de integración deben definirse a partir del sistema de desigualdades que involucran las variables espacio-temporales y los parámetros de la fuente. término. Sin embargo, esta definición puede formalizarse estrictamente utilizando los diagramas triangulares del espacio-tiempo. Al desempeñar el mismo papel que los diagramas de Feynman en la física de partículas, los STTD proporcionan un procedimiento estricto e ilustrativo para la definición de áreas con la misma representación analítica del dominio de integración en el espacio 2D abarcado por la variable espacial no separada y el tiempo.

Desventajas del método

• El método sólo se puede aplicar a problemas que posean una función de Riemann conocida.
• La aplicación del método y el análisis de los resultados obtenidos requieren un conocimiento más profundo de las funciones especiales de la física matemática (por ejemplo, operar con funciones generalizadas , funciones de Mathieu de diferentes tipos y funciones de dos variables de Lommel) que el método de funciones de Green.
• En algunos casos, las integrales finales requieren una consideración especial en los dominios de oscilación rápida de la función de Riemann.

Concretizaciones más importantes

Consideraciones Generales

Borisov analizó varios métodos eficientes para escalar problemas electromagnéticos en coordenadas ortogonales en la Ref. ^[10] Las condiciones más importantes de su aplicabilidad son y , donde están los coeficientes métricos (Lamé) (de modo que el elemento de longitud al cuadrado sea ). Sorprendentemente, esta condición se cumple para la mayoría de los sistemas de coordenadas prácticamente importantes, incluidos los cartesianos, cilíndricos y esféricos de tipo general. ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle h_{3}=1}$ ${\displaystyle \partial _{3}(h_{1}/h_{2})=0}$ ${\displaystyle h_{i},i=1,2,3}$ ${\displaystyle ds^{2}=h_{1}^{2}dx_{1}^{2}+h_{2}^{2}dx_{2}^{2}+h_{3}^{2}dx_{3}^{2}}$

Para los problemas de movimiento ondulatorio en el espacio libre, el método básico de separación de variables espaciales es la aplicación de transformadas integrales, mientras que para los problemas de generación y propagación de ondas en los sistemas guía las variables suelen separarse mediante expansiones en términos de las funciones básicas. (modos) que cumplen las condiciones límite requeridas en la superficie del sistema de guía.

Coordenadas cartesianas y cilíndricas.

En las coordenadas cartesianas y cilíndricas de tipo general, la separación de las variables espaciales da como resultado el problema del valor inicial para una PDE hiperbólica conocida como ecuación 1D de Klein-Gordon (KGE) ${\displaystyle \left\{x_{1}=x,\;x_{2}=y,\;x_{3}=z\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{1}=x_{1}(x,y),\;x_{2}=x_{2}(x,y),\;x_{3}=z\right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\partial _{\tau }^{2}-\partial _{z}^{2}+k^{2}\right)\psi (\tau ,z)=f(\tau ,z)\\&\psi (\tau ,z)=0{\text{ for }}\tau <0\end{aligned}}}$

Aquí la variable tiempo expresada en unidades de longitud usando alguna velocidad característica (por ejemplo, la velocidad de la luz o el sonido), es una constante que se origina a partir de la separación de variables y representa una parte del término fuente en la ecuación de onda inicial que queda después aplicación de los procedimientos de separación de variables (un coeficiente en serie o el resultado de una transformada integral). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f(\tau ,z)}$

El problema anterior posee la función de Riemann conocida.

${\displaystyle R_{k}(\tau ,z;\tau ',z')=J_{0}\left(k{\sqrt {(\tau -\tau ')^{2}-(z-z')^{2}}}\right),}$

¿Dónde está la función de Bessel de primer tipo de orden cero? ${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$

El STTD más simple que representa un dominio de integración triangular resultó de la fórmula integral de Riemann-Volterra.

Pasando a las variables canónicas se obtiene el diagrama STTD más simple que refleja la aplicación directa del método Riemann-Volterra, ^{[7] [8]} con el dominio de integración fundamental representado por el triángulo espacio-temporal MPQ (en gris oscuro). ${\displaystyle z,\tau \to \xi ,\eta }$

La rotación del STTD 45° en sentido antihorario produce una forma más común del STTD en el espacio-tiempo convencional . ${\displaystyle z,\tau }$

Para condiciones iniciales homogéneas, la solución (única ^[8] ) del problema viene dada por la fórmula de Riemann.

${\displaystyle \psi (\tau ,z)={\frac {1}{2}}\iint \limits _{\triangle MPQ}\,d\tau '\,dz'R(\tau ,z;\tau ',z')f(\tau ',z').}$

La evolución del proceso ondulatorio se puede rastrear utilizando un punto de observación fijo ( ) aumentando sucesivamente la altura del triángulo ( ) o, alternativamente, tomando una "imagen momentánea" de la función de onda desplazando el triángulo espacio-temporal a lo largo del eje ( ). ${\displaystyle z={\text{const}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \tau ={\text{const}}}$

Los STTD más útiles y sofisticados corresponden a fuentes pulsadas cuyo soporte está limitado en el espacio-tiempo. Cada limitación produce modificaciones específicas en el STTD, lo que da como resultado dominios de integración más pequeños y complicados en los que el integrando es esencialmente distinto de cero. A continuación se ilustran ejemplos de las modificaciones más comunes y sus acciones combinadas.

Limitaciones estáticas al área de origen ^[10]

Acción combinada de limitaciones de diferente tipo, ver Refs. ^{[1] [10] [11] [12] [13]} para detalles y ejemplos más complicados

Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas , que por consideraciones generales deben representarse en secuencia , asegurando , se pueden escalar problemas para las ondas eléctricas transversales (TE) o magnéticas transversales (TM) utilizando las funciones de Borgnis, los potenciales de Debye o los vectores de Hertz. . Separación posterior de las variables angulares mediante la expansión de la función de onda inicial y la fuente. ${\displaystyle \left\{x_{1}=\theta ,\;x_{2}=\varphi ,\;x_{3}=r\right\}}$ ${\displaystyle h_{3}=1}$ ${\displaystyle \theta ,\varphi }$ ${\displaystyle \psi \left(\tau ,\theta ,\varphi ,r\right)}$

${\displaystyle \;f\left(\tau ,\theta ,\varphi ,r\right)}$en términos de

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}\sin m\varphi \\\cos m\varphi \end{array}}\right)P_{n}^{(m)}(\cos \theta ),}$

donde está el polinomio de grado y orden de Legendre asociado , da como resultado el problema de valor inicial para la ecuación hiperbólica de Euler-Poisson-Darboux ^{[3] [10]} ${\displaystyle P_{n}^{(m)}\!\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\partial _{\tau }^{2}-\partial _{r}^{2}+{\frac {n(n+1)}{r^{2}}}\right)\psi _{nm}(\tau ,r)=f_{nm}(\tau ,r)\\&\psi _{nm}(\tau ,r)=0{\text{ for }}\tau <0\end{aligned}}}$

Se sabe que tiene la función de Riemann.

${\displaystyle R(\tau ,r;\tau ',r')={P_{n}}\left({\frac {r^{2}+{r'}^{2}-(\tau -\tau ')^{2}}{2rr'}}\right),}$

donde está el polinomio de grado (ordinario) de Legendre . ${\displaystyle P_{n}\!\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle n}$

Equivalencia de las soluciones de la función STTD (Riemann) y de Green

La técnica STTD representa una alternativa al método clásico de la función de Green. Debido a la unicidad de la solución al problema de valor inicial en cuestión, ^[8] en el caso particular de condiciones iniciales cero, la solución de Riemann proporcionada por la técnica STTD debe coincidir con la convolución de la función causal de Green y el término fuente.

Los dos métodos proporcionan descripciones aparentemente diferentes de la función de onda: por ejemplo, la función de Riemann para el problema de Klein-Gordon es una función de Bessel (que debe integrarse, junto con el término fuente, sobre el área restringida representada por el triángulo fundamental MPQ ), mientras que La función de Green retrasada para la ecuación de Klein-Gordon es una transformada de Fourier del término exponencial imaginario (que se integrará en todo el plano , véase, por ejemplo, la sección 3.1. de la referencia ^[14] ) reducible a ${\displaystyle z',\tau '}$

${\displaystyle G_{k}(\tau ,z;\tau ',z')=-{\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,{\rm {e}}^{ip(z-z')}\int \limits _{-\infty }^{\infty }d\Omega \,{\frac {{\rm {e}}^{i\Omega (\tau -\tau ')}}{\Omega ^{2}-p^{2}-k^{2}}}.}$

Extendiendo la integración con respecto al dominio complejo, utilizando el teorema del residuo ( con los polos elegidos para satisfacer las condiciones de causalidad ), se obtiene ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega _{1,2}}$ ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\pm {\sqrt {p^{2}+k^{2}+i\varepsilon }}\right)}$

${\displaystyle G_{k}(\tau ,z;\tau ',z')={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }dp\,{\frac {\sin \left((\tau -\tau '){\sqrt {p^{2}+k^{2}}}\right)}{\sqrt {p^{2}+k^{2}}}}\cos(p(z-z')).}$

Usando la fórmula 3.876-1 de Gradshteyn y Ryzhik , ^[15]

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }dx\,{\frac {\sin(p{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}\cos(bx)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\pi }{2}}J_{0}(a{\sqrt {p^{2}-b^{2}}})&{\text{ for }}&0<b<p\\&0&{\text{ for }}&b>p>0\end{aligned}}\right.\qquad (a>0),}$

la última representación de la función de Green se reduce a la expresión ^[16]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}J_{0}\left(k{\sqrt {(\tau -\tau ')^{2}-(z-z')^{2}}}\right)h(\tau -\tau '-|z-z'|),}$

en el que 1/2 es el factor de escala de la fórmula de Riemann y la función de Riemann, mientras que la función escalón de Heaviside reduce, para , el área de integración al triángulo fundamental MPQ , igualando la solución de la función de Green a la proporcionada por la técnica STTD . ${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$ ${\displaystyle h(\cdot )}$ ${\displaystyle \tau >0}$

Referencias y notas

1. AB Utkin, Ondas localizadas emanadas por fuentes pulsadas: el enfoque de Riemann-Volterra . En: Hugo E. Hernández-Figueroa, Erasmo Recami y Michel Zamboni-Rached (eds.) Ondas no difractantes. Wiley-VCH: Berlín, ISBN  978-3-527-41195-5 , págs. 287–306 (2013)
2. AB Utkin, La técnica en el dominio del tiempo de Riemann-Volterra para guías de ondas: un estudio de caso para la geometría elíptica. Movimiento ondulatorio 49 (2), 347–363 (2012), doi: 10.1016/j.wavemoti.2011.12.001
3. VV Borisov, AV Manankova, AB Utkin, Representación armónica esférica del campo electromagnético producido por un pulso en movimiento de densidad de corriente, Journal of Physics A: Mathematical and General 29 (15), 4493–4514 (1996), doi: 10.1088 /0305-4470/29/15/020
4. JD Jackson, Electrodinámica clásica, 3.ª ed., Wiley, Nueva York (1999)
5. ver, por ejemplo, GA Korn y TM Korn , Mathematical Handbook for Scientists and Engineers , Courier Dover Publications, Nueva York (2000)
6. Se puede encontrar una discusión exhaustiva de este tema en H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 5ª ed., World Scientific, Singapur (2009).
7. R. Courant y D. Hilbert, Métodos de física matemática, vol. 2, Wiley, Nueva York (1989)
8. VI Smirnov, Un curso de matemáticas superiores, vol. 4: Ecuaciones integrales y ecuaciones diferenciales parciales, Pergamon Press, Oxford (1964)
9. CJ Chapman, La función espiral verde en acústica y electromagnetismo, Proc. Roy. Soc. A 431 (1881), 157–167 (1990), doi: 10.1098/rspa.1990.0124
10. VV Borisov, Campos electromagnéticos de corrientes transitorias . Prensa de la Universidad Estatal de Leningrado: Leningrado (1996, en ruso)
11. VV Borisov y AB Utkin, El campo electromagnético transitorio producido por un pulso en movimiento de corriente de línea, Journal of Physics D: Applied Physics 28 (4), 614-622 (1995), doi: 10.1088/0022-3727/28/4 /003
12. AB Utkin, Ondas en forma de gota: análogos casuales de soporte finito de ondas en forma de X, J. Opt. Soc. Soy. A 29 (4), 457-462 (2012), doi: 10.1364/JOSAA.29.000457
13. AB Utkin, Onda en forma de gota producida por un pulso de corriente macroscópico lineal de longitud finita, IEEE Xplore DD-2013 , ISBN 978-1-4799-1037-3 , 145-150 (2013), doi: 10.1109/DD.2013.6712820 
14. W. Geyi, Una teoría de la guía de ondas en el dominio del tiempo, Progress in Electromagnetics Research 59 , 267–297 (2006), doi: 10.2528/PIER05102102
15. Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "3.876." En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8ª ed.). Prensa académica, Inc. pág. 486.ISBN​ 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
16. Aparentemente, este resultado fue publicado por primera vez por Geyi (2006: 275), simplemente como una forma de simplificar la solución de los Verdes y reducir el dominio de la integración.

• VV Borisov, NM Reutova, AB Utkin, Ondas electromagnéticas producidas por un pulso de corriente viajera con llenado de alta frecuencia. Revista de Física A: Matemática y General , 38 (10), 2225–2240 (2005), doi: 10.1088/0305-4470/38/10/012
• VV Borisov, Ondas electromagnéticas en estado no estacionario . Leningrado: Prensa de la Universidad Estatal de Leningrado: Leningrado (1987, en ruso)